09 二次根式 专项练习 2026年中考数学一轮复习

中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版)09二次根式 (诊讲评提闭环专训) (解析篇) 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01二次根式有意义的条件及简单估算 题型02判断最简二次根式 题型03判断同类二次根式 题型04利用二次根式的性质化简 题型05二次根式的乘除运算 题型06二次根式的加减运算 题型07二次根式的混合运算学科素养渗透：代数推理能力的提升 题型08二次根式的化简求值 题型09二次根式的应用 二、依标扣本（课标相关要求） 1.理解二次根式定义，掌握根式有意义的条件： √a的双重非负性(a≥0Va≥0) 2.掌握最简二次根式判断的3不要：根号下不要分数、能够化成平方的因式（数） 根号不能放在分母上。 3.会辨同类二次根式，能熟练化简二次根式 4.掌握二次根式加减：先化简，再合并同类二次根式 5.掌握二次根式乘除法则并准确运算，结果化为最简 6.能运用二次根式运算解决简单实际问题 7.会对二次根式简单估算，并能够利用作图在数轴上找到无理数 三、诊断卷 1、下列式子中，一定是二次根式的为() A.5 B.a2-1 C.a2+1 D.√a+3 【答案】c 2.(2025广东中考)计算√12×√3的结果是() A.3 B.6 C.6 D.2W6 【答案】B. 3.(25-26九年级上云南昆明期末)二次根式x-1有意义的条件为() 2 A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1 【答案】c 4.下列计算正确的是() A.√81=±9 B.《-5=5.-)2=-70.品=号 【答案】B. 5、下列根式中，与18为同类二次根式的是() A.√5 B.√5 c.5 D.√6 【答案】A 6.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简（√@2+Vb的结果是(）. b01 A.-a+b B.-a-b C.a+b D.a-b 【答案】D 7.已知，b为实数，且b=√a-8-V8-a+36,则a+√b的值为（) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 8.若最简二次根式√a+1与最简二次根式√2a是同类二次根式，则a的值() A.a=1 B.a=-1 C.a=2 D.a=-2 【答案】A 9.(2025浙江中考)|-51+√一27= 解：原式=5-3=2， 故答案为：2. 10、已知实数a满足|2025-d+√a-2026=a,那么a-20252的值是 【答案】2026 解：根据题意得a-2026≥0， 解得a≥2026， 2025-d+Va-2026=a, .a-2025+Va-2026=a, .√a-2026=2025, .a-2026=20252, .a-20252=2026, 故答案为：2026. 11、计算： a-5xw6月 (1)解：原式=35-25-525 3 (2(2+5)(2-5)+-) (2)原式=4-5+5=4. -5 (3)解：+历-得 =2W2+5√2-2 =-56 5a (4)8+2-3x(12-1: 4)解：√8+2-5×(M2-1 =√49x2+√5-5x(4×3-1) =7√5+2-√3×23-) =82+√5-6. 12、配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数 学运算，常用的配方公式有：d+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)+2ab.用配方思 想方法，解答下面问题： 1)已知：x+5,求x+是的值； 1 1 2已知：万-5，)=万+V5,求3x-2w+3y的值： (3)已知：√a-√2历=3,5=2，(a≥0，b≥0)，求a+2b的值. 【答案】(1)23 (2)17 (3)9+4V2 解：(1)解：：x+5, 12 1-万+51√-√5 (2)解：万522，=7+52 x+y-545+7:5-万， 2 2 w=7+57-51 2 22’ 则3x-2y+3y2=3(x2+y）-2y=3(x+)2-2y-2y=3(x+yy2-8 =3x7-8x17. (3)解：：√a-√2历=3，=2， ∴.a+2b=(a+(西=（五-+2E.历 =(Na-V2历+2反.b=32+252=9+4迈. 四、例题示范： 1.若代数式x+1有意义，则x的取值范围是() x-1 A.x>-1且x≠1B.X≥-1 C.x≠1 D.x≥-1且x≠1 解：由题意得：x41≥0，且x-1≠0，解得：x≥-1，且x≠1， 【答案】D. 2.(2025春·耀州区校级月考)下列运算正确的是() A.V3-V2=1B.√2+√2=2W2C.V2×V5=3W2D.V6÷2=V3 【答案】B. 3.比较大小：25,3√2，√15的大小顺序是() A.25<35<M5 B.35<25<M5 C.√15<25<3√2 D.25<15<32 【答案】D 解：(2W3)=12,(32=18,(=15, .12<15<18, .25<V15<3V2; 4.(2025秋•海淀区校级期中)如果v17的整数部分是a,小数部分是b,那么a- b+√7=· 解：.16<17<25， ∴.V16<17<√25，即4<17<5， ∴.V17的整数部分是a=4,小数部分是b=√17-4， 则a-b+√17=4-(V17-4)+V17=8, 故答案为：8。 5.(2025秋·金风区校级期中)若y<0,则Vx2y化简后的结果是一-xV厅_· 解：xy<0, .若√x2y有意义，y>0,x<0, Vx2=VxzV=-x√， 故答案为：-x√万， 6.(2025秋•福田区校级期中)计算： (1)2W5-V20+V45; (2)细5-xa (3)(2-1)2-(5+V3)(W5-V3): (4)√-3)2×(-1)2026+8×V12-|2-V6. 解：(1)原式=2V5-2V5+3V5 =3vV5: (2)原式=V16-V4 =4-2 =2: (3)原式=2-22+1-(5-3) =2-2y2+1-2 =1-2v2: (4)原式=3×1+V96-(V6-2) =3+4v6-V6+2 =5+3W6】 7.(2025春·张店区期中)阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简 中的作用. 问题提出：√7+4V该如何化简？ 建立模型：形如Vm+2√m的化简，只要我们找到两个数a,b,使什b=m, ab=n,这样(Va)2+(√b)2=m,Vab=Vm 那么便有：√m±2元=(a±Vb2=Va±b(a>b), 问题解决：化简：√7+4V3, 解：首先把V7+4V3化为V7+2W12,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4 ×3=12,即(W④)2+(W3)2=7,√4×3=V12. ∴V7+4W3=V7+2W12=(W4+V3)2=2+V3, 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： (1)V6+2W5: (2)V13-4V10. 模型应用2： (3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4-V3,AC=V3,那么BC边的长为 多少？（直接写出结果，结果化成最简） 【答案】(1)1+V5;(2)22-5:(3)23-2. 解：(1)m=6,n=5. .1+5=6,1×5=5, .(V)2+(5)2=6,V×V5=V5, .V6+25=J(1+V⑤2=1+5. (2).V13-4V10=√13-2V40, .∴.m=13,n=40, .5+8=13,5×8=40, ∴.(V5)2+(V⑧)2=13，V5×V⑧=V40, ∴V13-4W10=(W⑧-V5)2=J(2W2-V5)2=2W2-V5. (3)BC-√4-V3)2-(V3)2=V16-8V5. :V16-8V5=√16-2W48, .m=16,n=48, .4+12=16,4×12=48, ∴.（√4）2+(V12)2=16,V4×V12=V48, ∴BC=V16-2W48=(12-V④2=J(2W3-2)2=2W3-2. 8.定义运算“★”：对于任意实数a,b,都有a★b=√a2+b2.若√x+2+y2-4y+4=0, 则x★y的值为() A.0B.2√2C.25D.5 【答案】B 解：由Vx+2+y2-4y+4=0,得Vx+2+(y-2)2=0 .Vx+2=0,(y-2)2=0 解得：x=-2,y=2 由题意可得x★y=Vx2+y2=(-2)2+22=22 五、评估卷 1.(2023·上海杨浦.二模)下列正确的是（) A.√4+9=2+3 B.√4×9=2×3 C.9=33 D.4.9=0.7 【答案】B 2.下列二次根式中，与√3可以合并的是( ) A.6 B.√0.3 c.3 D.√12 【答案】D. 3.已知1<x<2,则化简V(x-1)2-1x-21的结果是（) A.-1B.1C.2x-3D.3-2x 【答案】c 4.实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简Vc2+Ia+bl一 V(a-c)z得() A.-2a-b-2c B.-2a-b C.b D.-2atb 【答案】B 5.比较大小：V17 3√2（填“>”或“<”或“=”). 【答案】< 6、(2025·烟台)实数3V2的整数部分为4. 【答案】4. 解：3V2=V18, .16<18<25, ∴.4<√18<5， 则3V2的整数部分为4， 7.(2025江西中考)化简：⑧=2 解：根据开立方定义：x3=a,则x叫a的立方根，记作x=a,可得： V8=V23=2, 故答案为：2. 8、(2025春·志丹县期末)计算：V位-3，居-V4s+V27. 解：原式=2√3-V3-4V3+3v5=0. 9、(2025·永寿县一模)计算：-12+√16÷2-(-3-1) 【分析】先计算平方、算术平方根，然后再依据实数的运算法则进行计算即 可 【解答】解：-12+V16÷2-(-3-1) =-1+4÷2+4 =-1+2+4 =5. 10、(2025新城区校级三模)计算：(5+1)2+(-)2-(-3)×(-5)： 解：(5+1)2+(-)2-(-3)×(-5) =5+25+1+9-(-3)X(-5) =5+2V5+1+9-15 =2W5: 11.请阅读下列材料： 问题：已知x=V5+2,求代数式x-4x-7的值。 小明根据二次根式的性质：()2=a,联想到了以下的解题方法： 由x=V5+2得x-2=√5，则(x-2)2=5,即x-4+4=5,∴.x2-4x=1.把 -4x作为整体，得：x-4x-7=1-7=-6. 请回答下列问题： (1)已知x=√3-3，求代数式+68的值. 由x=V3-3得x+3=,则(x+3)2=X+6x49=,∴+6x= .X2+6x+8=,中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版)09二次根式 （诊讲评提闭环专训) 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01二次根式有意义的条件及简单估算 题型02判断最简二次根式 题型03判断同类二次根式 题型04利用二次根式的性质化简 题型05二次根式的乘除运算 题型06二次根式的加减运算 题型07二次根式的混合运算学科素养渗透：代数推理能力的提升 题型08二次根式的化简求值 题型09二次根式的应用 二、依标扣本（课标相关要求) 1.理解二次根式定义，掌握根式有意义的条件： √a的双重非负性(a≥0Wa≥0) 2.掌握最简二次根式判断的3不要：根号下不要分数、能够化成平方的因式（数） 根号不能放在分母上。 3.会辨同类二次根式，能熟练化简二次根式 4.掌握二次根式加减：先化简，再合并同类二次根式 5. 掌握二次根式乘除法则并准确运算，结果化为最简 6.能运用二次根式运算解决简单实际问题 7.会对二次根式简单估算，并能够利用作图在数轴上找到无理数 三、诊断卷 1、下列式子中，一定是二次根式的为() A.2 B./a2-1 C.a2+1 D.√a+3 2.(2025广东中考)计算V12×√3的结果是（) A.3 B.6 C.6 D.2W6 3.(25-26九年级上云南昆明，期末)二次根式三有意义的条件为（) A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1 4.下列计算正确的是（) A.√81=±9 8.（=5c.刃2=70.品= 5、下列根式中，与√18为同类二次根式的是() A.√2 B.3 c.√5 D.√6 6.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简（√@2+Vb2的结果是(）. b01a→ A.-a+b B.-a-b C.a+b D.a-b 7.已知a,b为实数，且b=√a-8-√8-a+36,则a+√b的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 8.若最简二次根式va+1与最简二次根式√2a是同类二次根式，则a的值() A.a=1 B.a=-1 C.a=2 D.a=-2 9.(2025浙江中考)|-5+V-27= 10、已知实数a满足2025-d+√a-2026=a,那么a-20252的值是 11、计算： a-x6眉 (2)(2+5)(2-5)+5)月 s (4)V8+V2-3×(M2-1). 12、配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数 学运算，常用的配方公式有：d2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)+2b.用配方思 想方法，解答下面问题： a倒已知：+5，求+是的值： 1 (2已知：X=万5’=7+5，求3x-2w+3w的值： (3)已知：√a-√2b=3,√b=2,(a≥0，b≥0)，求a+2b的值. 四、例题示范： 1.若代数式x+1有意义，则x的取值范围是() x-1 A.X>-1且X≠1B.X≥-1 C.x≠1 D.x≥-1且x≠1 2.(2025春•耀州区校级月考)下列运算正确的是() A.√3-V2=1B.√2+V2=22C.V2×V3=3V2D.√6÷2=√3 3.比较大小：25,3√2，V15的大小顺序是() A.25<35<M5 B.32<25<M5 4.(2025秋·海淀区校级期中)如果√17的整数部分是4，小数部分是b,那么a b+V17= 5.(2025秋·金凤区校级期中)若y<0,则√x2化简后的结果是_-xV厅_· 解：.y<0, 6.（2025秋•福田区校级期中)计算： (1)2W5-√20+V45: (2)Vs÷v3-xv⑧ (3)(V2-1)2-(5+V3)(5-V3): (4)√(-3)2×(-1)2026+V8×V12-12-V6. 7.（2025春·张店区期中)阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简 中的作用. 问题提出：√7+4√5该如何化简？ 建立模型：形如Vm+2√n的化简，只要我们找到两个数a,b,使atb=m, ab=n,这样（√a)2+(Vb)2=m,√aVb=Vm. 那么便有：√m±2W-J(a±Vb)2=Va±万(a>b), 问题解决：化简：√7+4V, 解：首先把V7+4V5化为√7+2W12,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4 ×3=12,即(V④)2+(V3)2=7,V4×V3=V12. ∴.V7+4W3=V7+212=JW4+V3)2=2+V3, 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： (1)V6+2W5; (2)√13-410. 模型应用2： (3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4-V3,AC=V3,那么BC边的长为 多少？（直接写出结果，结果化成最简). 8.定义运算“★”：对于任意实数a,b,都有a★b=√a2+b2.若√x+2+y2-4y+4=0, 则x★y的值为() A.0B.2√2C.25D.5 五、评估卷 1.（2023·上海杨浦·二模)下列正确的是（) A.V4+9=2+3B.V4x9=2x3C.V94=32 D.√4.9=0.7 2.下列二次根式中，与√3可以合并的是（) A.6 B.√0.3 C.3 D.√12 3.已知1<x<2,则化简V(x-1)2-|x-2的结果是（) A.-1B.1C.2x-3D.3-2x 4.实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简V区+|a+bl一 √(a-c)2得() 6c0a A.-2a-b-2c B.-2a-b C.b D.-2atb 5.比较大小：√17 3V2（填“>”或“<”或“=”). 6、(2025·烟台)实数3V2的整数部分为。 7.(2025江西中考)化简：V⑧=· 8、(2025春志丹县期未)计算：V反-3层-V⑧+v27. 9、(2025永寿县一模)计算：-12+V16÷2-(-3-1) 10、(2025·新城区校级三模)计算：(W5+1)2+(-)2-(-3)×(-5). 11.请阅读下列材料： 问题：已知x=V5+2,求代数式x-4x-7的值。 小明根据二次根式的性质：（√）2=a,联想到了以下的解题方法： 由x=√5+2得x-2=√5，则(x-2)2=5,即X-4x+4=5,.x-4x=1.把X -4x作为整体，得：-4x-7=1-7=-6. 请回答下列问题： (1)已知x=V3-3,求代数式x+6x48的值. 由x=V3-3得xH3= 一，则（x+3)2=+6x+9=_,.+6x= ∴.X+6x+8= (2)已知x= ,1,求代数式x2+x2的值. 2 12.小石根据学习数与式积累的经验，想通过由特殊到一般的方法探究下面 二次根式的运算规律 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律. 特例1： 特例2： 2- 2×5-2 2x5卫=2 特例3： 3×10-3 3×(10-1) 0 .3 10 特例4： = V17 特例5： 5 (填写运算结果). (2)观察、归纳，得出猜想， 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律 为： (3)证明你的猜想， (4)应用运算规律， ①化简：10 10大 10 202 5 (a,b均为正整数)，则a+b的值为 b 六、提升卷 1、(2025春·汉阴县校级期末)若V8=口V2,则“口”处应填的数字为() A.2 B.4 C.6 D.10 2.(22-23八年级上四川广安期末)要使得代数式5-有意义，则x的取值范 x-2 围是() A.x≠2 B.x≤5 3、(25-26八年级上·黑龙江绥化期末)已知1<x<2,化简V(x-1)+k-2的结果 为() A.-1 B.1 C.3-2x D.2-3x 4.若6-3的整数部分为x,小数部分为y,则(2x+3)y的值是() A.5-313 B.3 C.313-5 D.-3 5.(2025秋•鄂邑区期中)如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个 正方形ABCD,正方形ABCD的面积是27，AE=2V3,图中空白的地方是一 个正方形，那么这个小正方形的周长为（) E B A.V3 B.2V3 C.3v√3 D.4V3 6.(2025春·武城县期末)若2、5、n为三角形的三边长，则化简V3-n)2+ V(8-n)的结果为 A.5 B.2n-11 C.11-2n D.-5 7.计算：(3+2V22022×(3-2V22023 8、(2025甘肃中考)4分)计算：V2-V6×后 9、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a=、1 2+3,求2m-8a+1的值，他是这样解答的： .:a= 1 2-V5 +5(2+3)2-5) 25, .a-2=-V5, .(a-2)2=3,a2-4a+4=3, .a2-4a=-1. ∴.2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： 1 3+2 ； 1 1 1 1 2)化简：2+5+4+5+…+ V169+√1689 1 (3)若a=5-2’求a-4a-4a+3的值。 10.（24-25八年级下·云南临沧，期末)已知三角形三边之长能求出三角形的面积 吗？海伦公式告诉你计算的方法是：S=√p(p-a(p-b)(p-c),其中S表示三角 形的面积，a,b,c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p=a+b+c.我国 2 宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫 “海伦一秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题. (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为5m,12m,13m时，判断这块实践基地的 形状，并说明理由： (2)在△ABC中，已知AB=5,BC=6,CA=7,求△ABC的面积： 11.小明在解决问题：已知a=,1 2+3'求2x-8a+1的值.他是这样分析与 解的： 1 2-3 a2522酒2， ∴.a-2=-V5, .(a-22=3,d2-4a+4=3, ∴.a2-4a=-1, .2a2-8a+1=2(am2-4a)+1=2×（←1)+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简1+1 1 5+5+5+万+5++21+i四 (2)若a=- 1 5-11 求： ①求3a2-6a+1的值. ②直接写出代数式的值d-3a2+a+1=一：2a2-5a+】+2= 中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）09 二次根式（诊讲评提闭环专训） （解析篇） 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01 二次根式有意义的条件及简单估算 题型02 判断最简二次根式 题型03 判断同类二次根式 题型04 利用二次根式的性质化简 题型05 二次根式的乘除运算 题型06 二次根式的加减运算 题型07 二次根式的混合运算 学科素养渗透：代数推理能力的提升 题型08 二次根式的化简求值 题型09 二次根式的应用 二、依标扣本（课标相关要求） 1. 理解二次根式定义，掌握根式有意义的条件： 2. 掌握最简二次根式判断的3不要：根号下不要分数、能够化成平方的因式（数）根号不能放在分母上。 3. 会辨同类二次根式，能熟练化简二次根式 4. 掌握二次根式加减：先化简，再合并同类二次根式 5. 掌握二次根式乘除法则并准确运算，结果化为最简 6. 能运用二次根式运算解决简单实际问题 7. 会对二次根式简单估算，并能够利用作图在数轴上找到无理数 三、诊断卷 1、下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．（2025广东中考）计算的结果是（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）二次根式有意义的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4．下列计算正确的是（　　） A．＝±9 B．（﹣）2＝5 C．＝﹣7 D．＝3 【答案】B． 5、下列根式中，与为同类二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）． A． B． C． D．a-b 【答案】D 7．已知a，b为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 8．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值（　） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 【答案】A 9．（2025浙江中考）|﹣5|　 　 ． 解：原式＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 10、已知实数a满足，那么的值是 ． 【答案】2026 解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 11、计算： (1) （1）解：原式； (2) （2）原式． (3)； （3）解： ； (4)． 4）解： ． 12、配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，，求的值． 【答案】(1)23 (2)17 (3) 解：（1）解：∵， ∴； （2）解：，， ， ， 则 ． （3）解：∵，， ∴． 四、例题示范： 1．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1 解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥﹣1，且x≠1， 【答案】D． 2．（2025春•耀州区校级月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 3．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：，，， ∵， ∴； 4．（2025秋•海淀区校级期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么　 　 ． 解：∵16＜17＜25， ∴17，即4＜17＜5， ∴的整数部分是a＝4，小数部分是b4， 则a﹣b4﹣（4）8， 故答案为：8． 5．（2025秋•金凤区校级期中）若xy＜0，则化简后的结果是　　 ． 解：∵xy＜0， ∴若有意义，y＞0，x＜0， ∴， 故答案为：． 6．（2025秋•福田区校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）原式＝223 ＝3； （2）原式 ＝4﹣2 ＝2； （3）原式＝2﹣21﹣（5﹣3） ＝2﹣21﹣2 ＝1﹣2； （4）原式＝3×1（2） ＝3+42 ＝5+3． 7．（2025春•张店区期中）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 【答案】（1）1；（2）2；（3）22． 解：（1）m＝6，n＝5． ∵1+5＝6，1×5＝5， ∴（）2+（）2＝6，， ∴1． （2）∵． ∴m＝13，n＝40， ∵5+8＝13，5×8＝40， ∴（）2+（）2＝13，， ∴2． （3）BC． ∵， ∴m＝16，n＝48， ∵4+12＝16，4×12＝48， ∴（）2+（）2＝16，， ∴BC22． 8．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=．若，则★的值为（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 解：由，得 ∴， 解得：x=-2，y=2 由题意可得★= 五、评估卷 1．（2023·上海杨浦·二模）下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．下列二次根式中，与可以合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D． 3．已知1＜x＜2，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 【答案】C 4.实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b 【答案】B 5．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 6、（2025•烟台）实数3的整数部分为　4　 ． 【答案】4． 解：3， ∵16＜18＜25， ∴45， 则3的整数部分为4， 7．（2025江西中考）化简：　2　 ． 解：根据开立方定义：x3＝a，则x叫a的立方根，记作，可得： ， 故答案为：2． 8、（2025春•志丹县期末）计算：3． 解：原式0． 9、（2025•永寿县一模）计算：． 【分析】先计算平方、算术平方根，然后再依据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解： ＝﹣1+4÷2+4 ＝﹣1+2+4 ＝5． 10、（2025•新城区校级三模）计算：． 解： ＝5+21+9﹣（﹣3）×（﹣5） ． 11．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式x2+6x+8的值． 由得x+3＝ 　 　，则（x+3）2＝x2+6x+9＝ 　　，∴x2+6x＝ 　　，∴x2+6x+8＝ 　　． （2）已知，求代数式的值． 【答案】解：（1）由x＝﹣3得x+3＝， 则（x+3）2＝x2+6x+9＝3， ∴x2+6x＝﹣6， ∴x2+6x+8＝2． 故答案为：，3，﹣6，2． （2）由x＝得2x+1＝，则（2x+1）2＝4x2+4x+1＝2， ∴x2+x＝， ∴x3+x2 ＝x（4x2+4x+x） ＝x[4（x2+x）+x] ＝x（4×+x） ＝x（x+1） ＝（x2+x） ＝× ＝． 12．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　 　（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　． （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律． ①化简：　 　； ②若（a，b均为正整数），则的值为　 　． 解：（1）， 故答案是：； （2）， 故答案是：； （4）①， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案是：57． 六、提升卷 1、（2025春•汉阴县校级期末）若，则“□”处应填的数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．10 解：∵， ∴，则“□”处应填的数字为2， 故选：A． 2．（22-23八年级上·四川广安·期末）要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 解：∵代数式有意义， ∴， 解得且． 3、（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 5．（2025秋•鄠邑区期中）如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD的面积是27，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 解：小正方形边长为： ， ∴这个小正方形的周长为：4． 故选：D． 6．（2025春•武城县期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为 A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 【答案】 5 解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7， ∴3﹣n＜0，8﹣n＞1， 原式＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝﹣（3﹣n）+（8﹣n） ＝﹣3+n+8﹣n ＝5， 7．计算： ． 【答案】 8、（2025甘肃中考）4分）计算：． 解：原式＝2 ． 9、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________；_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)12 (3)4 解：（1）解：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： 10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在△ABC中，已知，，，求△ABC的面积； 【答案】(1)直角三角形 (2) 解：（1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴△ABC的面积是． 11．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简． （2）若．求： ①求的值． ②直接写出代数式的值　 　；　 　． 【答案】（1）5；（2）①4；②0；2． 【解答】解：（1）原式； （2）①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∵， ∴原式； ∵， ∵， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考数学一轮复习重点专题专训（华师大版）09 二次根式（诊讲评提闭环专训） 一、一轮复习整单元关键目标清单 题型01 二次根式有意义的条件及简单估算 题型02 判断最简二次根式 题型03 判断同类二次根式 题型04 利用二次根式的性质化简 题型05 二次根式的乘除运算 题型06 二次根式的加减运算 题型07 二次根式的混合运算 学科素养渗透：代数推理能力的提升 题型08 二次根式的化简求值 题型09 二次根式的应用 二、依标扣本（课标相关要求） 1. 理解二次根式定义，掌握根式有意义的条件： 2. 掌握最简二次根式判断的3不要：根号下不要分数、能够化成平方的因式（数）根号不能放在分母上。 3. 会辨同类二次根式，能熟练化简二次根式 4. 掌握二次根式加减：先化简，再合并同类二次根式 5. 掌握二次根式乘除法则并准确运算，结果化为最简 6. 能运用二次根式运算解决简单实际问题 7. 会对二次根式简单估算，并能够利用作图在数轴上找到无理数 三、诊断卷 1、下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 2．（2025广东中考）计算的结果是（　　） A．3 B．6 C． D． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）二次根式有意义的条件为（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（　　） A．＝±9 B．（﹣）2＝5 C．＝﹣7 D．＝3 5、下列根式中，与为同类二次根式的是(   ) A． B． C． D． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）． A． B． C． D．a-b 7．已知a，b为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值（　） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 9．（2025浙江中考）|﹣5|　 　 ． 10、已知实数a满足，那么的值是 ． 11、计算： (1) (2) (3) ； (4)． 12、配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，，求的值． 四、例题示范： 1．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1 2．（2025春•耀州区校级月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． 4．（2025秋•海淀区校级期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么　 　 ． 5．（2025秋•金凤区校级期中）若xy＜0，则化简后的结果是　　 ． 解：∵xy＜0， 6．（2025秋•福田区校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 7．（2025春•张店区期中）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 8．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=．若，则★的值为（    ） A．0 B． C． D．5 五、评估卷 1．（2023·上海杨浦·二模）下列正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与可以合并的是（　　） A． B． C． D． 3．已知1＜x＜2，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 4.实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b 5．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 6、（2025•烟台）实数3的整数部分为　　 ． 7．（2025江西中考）化简：　　 ． 8、（2025春•志丹县期末）计算：3． 9、（2025•永寿县一模）计算：． 10、（2025•新城区校级三模）计算：． 11．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式x2+6x+8的值． 由得x+3＝ 　 　，则（x+3）2＝x2+6x+9＝ 　　，∴x2+6x＝ 　　，∴x2+6x+8＝ 　　． （2）已知，求代数式的值． 12．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　 　（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　． （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律． ①化简：　 　； ②若（a，b均为正整数），则的值为　 　． 六、提升卷 1、（2025春•汉阴县校级期末）若，则“□”处应填的数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．10 2．（22-23八年级上·四川广安·期末）要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． 3、（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•鄠邑区期中）如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD的面积是27，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•武城县期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为 A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 7．计算： ． 8、（2025甘肃中考）4分）计算：． 9、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________；_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在△ABC中，已知，，，求△ABC的面积； 11．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简． （2）若．求： ①求的值． ②直接写出代数式的值　 　；　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $