专题07：二次函数-2026年中考数学一轮专项练习

专题07：二次函数-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A．（－1，3） B．（－1，－3） C．（1，－3） D．（1，3） 2．将抛物线y=x2向上平移3个单位后所得的解析式为（　　） A．y=x2+3 B．y=x2﹣3 C．y=（x+3）2 D．y=（x﹣3）2 3．已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 4．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6 5．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．0＜a＜2 6．关于二次函数y=-(x+2)2-1，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向下 B．图象顶点坐标是(-2，-1) C．当x＞0时，y随x增大而减小 D．图象与x轴有两个交点 7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A．B，C．D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点M（1，﹣2）的抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）可能还经过（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．对于二次函数，下列描述正确的是（     ） A．其图象的顶点坐标为 B．其图象的开口向下 C．有最大值3 D．当时，随的增大而增大 9．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（       ） A． B． C． D．4 10．已知点，均在抛物线上，则，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 11．根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（     ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．二次函数 (a，b，c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x ··· -1 0 1 2 　 y 　 m 2 2 n 　 且当 时，对应的函数值y<0.有以下结论： ①abc>0；( ③关于x 的方程 的负实数根在 和O之间；④P1(t--1，y1)和P2(t+1，y2)在该二次函数的图象上，则当实数 时，y1>y2. 其中正确的结论是(　　). A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 二、填空题 14．二次函数的最小值为　 　． 15．二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是　 　. 16．若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是　 　． 17．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线　 　． 18．a、b、c是实数，点A（a－1、b）、B（a－2，c）在二次函数y＝x2－2ax＋1的图像上， 则b、c的大小关系是：b　 　c（用“＞”或“＜”号填空）． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= （x-h）2与y轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线L交于A、B两点，若AB=3，则点M倒直线L的距离为　 　 20．已知飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝80t﹣2.5t2，则飞机着陆后滑行　 　米才能停下来. 21． 在二次函数y＝ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法：①该二次函数的图象经过原点；②该二次函数的图象开口向下；③当x＞0时，y随着x的增大而增大；④该二次函数的图象经过点（-1，3）；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是　 　. 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 和抛物线 相交于点A、B（点A在点B的左侧），P是抛物线 上 段的一点（点P不与A、B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线 于点Q，以 为边向右侧作正方形 ．设点P的横坐标为m，当正方形的四个顶点分别落在四个不同象限时，m的取值范围是　 　． 23．若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：　 　． 24．如图，抛物线y= （x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的是　 　（填序号） 25．已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，且．下列四个结论： ①；②若，则； ③若点，在抛物线上，，且，则； ④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是　 　（填写序号）． 三、解答题 26．已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大． 27．已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）填表： x … 0 1 2 3 4 … y … 　 　 　 　 　 … （2）在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象； （3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是　 　．（直接写出结果） 28．已知抛物线的图象过点（1，1）和（-1，3）求抛物线的解析式。 29．已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 30．已知抛物线y=3ax2+2bx+c （1）若a=b=1，c=﹣1，则该抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0）和（，0） （2）若a=，c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，则b=3； （3）若a+b+c=1，存在实数x，使得相应的y的值为1． 请你判断以上三个命题的真假，并说出理由． 31．甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【分析】∵抛物线解析式为，∴二次函数图象的顶点坐标是（1，3）． 故选：D． 2．【答案】A 【解析】【解答】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是y=x2+3. 故答案为：A. 【分析】根据抛物线图像的几何变换规律：在顶点式的纵坐标处根据“上加下减”即可得出平移后新函数的解析式。 3．【答案】B 【解析】【解答】解： 是关于 的二次函数， 解得： 故答案为：B. 【分析】形如“y=ax2+bx+c (a≠0）”的函数就是二次函数，根据定义即可列出混合组，求解即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：， ， 二次函数有最小值为6， 故选：D． 【分析】 由二次函数的图象和性质与系数的关系知，当二次项系数为正时，抛物线开口向上，有最小值，再化一般形式为顶点式即可． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由图像可得：抛物线开口向上，则， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴，即， ∵抛物线分别与x轴、y轴交于点， ∴.， ∴， ∴，解得：， ∴a的取值范围是． 故答案为：C． 【分析】由图象可得：、，再结合函数图象经过得到，即可得，再结合即可解答． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴函数图象开口向下，A不符合题意； 由函数解析式可知顶点坐标是，B不符合题意； 由函数性质可知当时，y随x的增大而减小，C不符合题意； ∵方程 无实数解， ∴图像与x轴无交点，D符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。 7．【答案】D 【解析】【解答】解： ∵抛物线过点M(1，－2)， ∴m+2m+n=-2， 即3m+n=-2． 若抛物线过点A (2，-3)，则4m+4m+n=-3．则，解得m=-0.2与m>0矛盾． A不符合题意； 若抛物线过点B (-1， 0)，则m-2m+n=0．则，解得m=-0.5与m>0矛盾，B不符合题意； 若抛物线过点C(-2，-1)，则4m-4m+n=-1．则，解得与m>0矛盾，C不符合题意； 若抛物线过点D(-4， 1)，则16m-8m+n=1．则，解得．D符合题意． 故答案为： D． 【分析】先将点M的坐标代入可得3m+n=-2，再将各选项的点坐标分别代入解析式并判断即可。 8．【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键，根据二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】解:A:二次函数y=(x-2)²+3，顶点坐标为(2,3)，故该选项不合题意; B:二次函数y=(x-2)²+3,α=1>0，开口向上，故该选项不合题意; C:开口向上，二次函数y=(x-2)²+3有最小值3，故该选项不合题意； D:二次函数y=(x-2)²+3对称轴为x=2，开口向上，当x>2时，y随x的增大而增大，故该选项符合题意. 故选：D. 9．【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式求解，抛物线y=x2+x一c与x轴只有一个公共点，则关于x的一元二次方程x2+x一c=0有两个相等的实数根，据此进行解答即可. 【详解】解：：抛物线y=x²+x一c与x轴只有一个公共点，关于x的一元二次方程x2+x一c=0有两个相等的实数根， 10．A 11．【答案】в 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系。将方程ax2+bx一3=0转化为ax2+bx=3，方程的根即为二次函数y=ax²+bx中函数值为3时对应的x值，通过表格查找对应x即可求解 【详解】解:·方程ax²+bx-3=0可变形为ax²+bx=3, .该方程的根是二次函数y=ax²+bx的函数值为3时对应的x值， 由表格数据可知，当x=-l时，y=3;当x=3时，y=3, .方程ax²+bx一3=0的根是x]=-1,×2=3. 故选：B. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：函数图象开口向下，与y轴的交点在正半轴，对称轴=1∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，∴① 正确， ② 错误；把点 A（2，1）代入y＝ax2+bx+c ，得4a+2b+c=1，∴③ 正确；当x＞1时， y随x的增大而减小，④正确；当x=1时函数值为最大值m，∴对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，∴⑤正确.综上所述，正确的有①③④⑤，共四个. 故答案为：C. 【分析】本题考查了二次函数及其图像的性质及特征.熟练地掌握二次函数的图象及性质是解决本题的关键. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵当x=0时y=2，当x=1时y=2， ∴c=2，a+b+c=2， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴b=-a， ∴y=ax2-ax+2， ∵ 当 时，对应的函数值y<0 ， ∴ 解之：， ∴ ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故 ①错误； ∵当x=-1时y=m，当x=2时y=n， ∴2a+2=m，4a-2a+2=n ∴m+n=4a+4， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当x=时y＜0， 当x=0时，y=2＞0， ∴抛物线与x轴的负半轴交点的横坐标在-1和0之间， ∴ 关于x 的方程 的负实数根在 和0之间，故③正确； ④∵ P1(t-1，y1)和P2(t+1，y2)在该二次函数的图象上， ∴y1=a（t-1）2-a（t-1）+2，y2=a（t+1）2-a（t+1）+2， 若y1＞y2，则a（t-1）2-a（t-1）+2＞a（t+1）2-a（t+1）+2 ∵a＜0 解之：，故④错误； ∴正确结论的序号为②③ 故答案为：B 【分析】利用已知可得到当x=0时y=2，当x=1时y=2，由此可得到c的值及b=-a，可将函数解析式转化为y=ax2-ax+2，根据当 时，对应的函数值y<0 ，可求出a的取值范围，即可得到b的取值范围，由此可对①作出判断；将当x=-1时y=m，当x=2时y=n分别代入函数解析式，再求出m+n的值，根据a的取值范围，可得到m+n的取值范围，可对②作出判断；利用已知条件可得到抛物线的对称轴，可知当x=时y＜0，当x=0时，y=2＞0，可得到抛物线与x轴的负半轴交点的横坐标在-1和0之间，即可得到关于x 的方程 的负实数根的范围，可对③作出判断；将点P1、P2的坐标代入函数解析式，由y1＞y2可得到a的取值范围，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号. 14．【答案】-4 【解析】【解答】∵ ， ∴二次函数 的最小值为-4． 故答案为：-4． 【分析】先求出，再求最值即可。 15．【答案】（0，3） 【解析】【解答】解：由题意可令x=0，则有y=3， ∴二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是（0，3）； 故答案为：（0，3）. 【分析】令x=0，求出y的值，据此可得二次函数图象与y轴的交点坐标. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴2a-6<0， 解得：a＜3， 故答案为：. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得2a-6<0，再求出a的取值范围即可. 17．【答案】x=2 【解析】【解答】解： ∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点， ∴对称轴为x= =2， 故答案为：x=2． 【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案． 18．【答案】＜ 【解析】【解答】因为抛物线的对称轴为x＝ ＝a，开口向上，所以当x＜a时，y随x的增大而减小， 因为a－2＜a－1＜a，所以b＜c. 故答案为＜. 【分析】找出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性解题. 19．【答案】 【解析】【解答】解：∵抛物线与y轴只有一个交点M， ∴点M的坐标为（h，0），抛物线的对称轴为x=h， 设点A和点B的纵坐标为m，即m=（x-h）2，∴x=h±， ∴点A的横坐标为h-，点B的横坐标为h+， ∵AB=3， ∴h+-（h-）=2=3， ∴m=，即点M到直线l的近距离为； 故答案为：. 【分析】根据题意，由点A和点B的横坐标到抛物线的对阵轴的距离相等，求出答案即可得到点A和点B的纵坐标。 20．【答案】640 【解析】【解答】解：s=－2.5(t2－32t) =－2.5(t－16)2+640， 当t=16时，s有最大值640. 所以飞机着陆后滑行640米才能停下来. 故答案为：640. 【分析】要求飞机滑行多少米才能停下，即要求飞机滑行距离的最大值，根据已知二次函数解析式求s的最大值即可. 21．【答案】①④⑤ 【解析】【解答】 解： 由图表可以得出当 或 时， 当 时， 即，解得：， ∴二次函数的解析式为： ∵图表可以得出图象经过点(0，0)， 故二次函数的图象经过原点； 即①正确； ∴二次函数的图象开口向上，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线 且 1时，y随着x的增大而增大， l时， y随着x的增大而减小，故③错误； 将x =-1代入 得 ∴二次函数的图象经过点( 故④正确； ∵二次函数 与x轴有两个交点(0，0)，(2，0)， 有两个不相等的实数根，故正确； 综上，①④⑤说法正确， 故答案为：①④⑤. 【分析】结合图表可以得出当 或 时， 当 时， ，根据此三点可求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质逐一判断即可. 22．【答案】 【解析】【解答】解：若正方形的四个顶点分别落在四个不同象限，则P点在第三象限，Q点在第二象限，M点在第一象限，N点在第四象限， ∵点P的横坐标为m，P是抛物线 上 段的一点 ∴ ， ， 由题意可知Q点和P点横坐标相同， ∴ ， 若Q在Q点在第二象限，则 ， 解得 ，或 （舍）， ∴ ，即 ， ∴M、N的横坐标都为 ， ∵M点在第一象限，N点在第四象限， ∴ ， 当 时，解得 ， ， 因此 时 ， 又∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 【分析】若正方形的四个顶点分别落在四个不同象限，则P点在第三象限，Q点在第二象限，M点在第一象限，N点在第四象限，由点P的横坐标为m， 通过解析式可表示点P、Q的坐标，即可表示PQ的长，通过正方形的边长相等可表示N点的横坐标，通过象限内点的坐标特点求解即可． 23．【答案】（﹣7，0）或（﹣2，﹣15） 【解析】【解答】∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16）， 而y＝ax2+ax﹣2a=a(x+2)(x-1)， ∴此抛物线一定经过点(-2，0)、(1，0)， 而x0-3=1时，x02﹣16=0 ∴满足下面这样条件的点符合题意：x02﹣16=0且x0-3 2，x0-3 1或x0-3 -2且x02﹣16≠0， ∴x0=-4或x0=1时的P点坐标符合题意， ∴写出符合条件的点P的坐标可以为（-7，0）、（-2，-15），故答案为：（-7，0）、（-2，-15）. 【分析】先由题意，根据y＝ax2+ax﹣2a变形得到y＝ax2+ax﹣2a=a(x+2)(x-1)，则此抛物线一定经过点(-2，0)、(1，0)，根据题意可得x0=-4或x0=1时的P点坐标符合题意，则符合条件的点P的坐标可以为（-7，0）、（-2，-15）. 24．【答案】①④ 【解析】【解答】解：∵在y= （x+2）（x-8）中，当y=0时，x=-2或x=8， ∴点A（-2，0）、B（8，0）， ∴抛物线的对称轴为x= ，故①符合题意； ∵⊙D的直径为8-（-2）=10，即半径为5， ∴⊙D的面积为25π，故②不符合题意； 在y= （x+2）（x-8）= 中，当x=0时y=-4， ∴点C（0，-4）， 当y=-4时， =-4， 解得： ， 所以点E（6，-4），则CE=6， ∵AD=3-（-2）=5， ∴AD≠CE， ∴四边形ACED不是平行四边形，故③不符合题意； ∵y= ， ∴点M（3， ），D（3，0）， ∴ ， ， ∴ ， ∴∠DCM=90°， ∴直线CM与⊙D相切，故④符合题意； 故答案为①④． 【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；③过点C作CE//AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式，通过它们的斜率进行判定即可。 25．【答案】①③④ 【解析】【解答】解：∵对称轴， ∴对称轴在y轴右侧， ∴， ∵， ∴，故①正确； 当时，对称轴， ∴， 当时，， ∴， ∴，故②错误； 由题意，抛物线的对称轴直线，， ∵点，在抛物线上，，且， ∴点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离， ∴，故③正确； 设抛物线的解析式为， 方程， 整理得，， ， ∵，， ∴， ∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确， 故答案为：①③④． 【分析】根据点A，B是抛物线与x轴的交点坐标，可求出抛物线的对称轴，利用开口向下，可知a＜0，利用m的取值范围，可得到b的取值范围，可对①作出判断；将m的值代入对称轴，可表示出a，b的数量关系，将x=-1代入函数解析式，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴和点M，N的坐标，可知点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离，可对③作出判断；利用点A，B的坐标，设函数解析式为y=a（x+1）（x-m），结合已知可得到a（x+1）（x-m）=1，根据一元二次方程根的判别式，可求出b2-4ac，利用a，m的取值范围，可证得b2-4ac＞0，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号. 26．【答案】（1）解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； ​​​​​​​ （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 【解析】【分析】（1）令，进行求解即可； （2）利用对称轴公式求出对称轴，利用增减性进行判断即可． （1）解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 27．【答案】解：（1）因为 已知二次函数y＝x2﹣4x+3，所以当x=0时，y=3，当x=1时，y=1－4+3=0，当x=2时，y=4－8+3=－1，当x=3时，y=9－12+3=0，当x=4时，y=16－16+3=3，填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … （2）根据表中数据， 在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象如图所示：（3）x＜1或x＞3 （1）因为 已知二次函数y＝x2﹣4x+3， 所以当x=0时，y=3，当x=1时，y=1－4+3=0， 当x=2时，y=4－8+3=－1，当x=3时，y=9－12+3=0， 当x=4时，y=16－16+3=3， 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … （2）根据表中数据， 在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象如图所示： （3）x＜1或x＞3 【解析】【解答】（3）根据图象，当x＜1或x＞3时，y＞0， 故填：x＜1或x＞3． 【分析】（1）分别求出x对应的函数值即可； （2）根据表中数据利用描点法画出函数图象即可； （3）直接由图象得出结论即可． 28．【答案】解：把（1，1），（-1，3）的坐标代入表达式得： 解得 【解析】【分析】根据图象过点（1，1）和（-1，3） ，可将两点代入列出二元一次方程组求解即可. 29．【答案】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为. （2）解：平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或（舍去）， ∴. 【解析】【分析】（1）将解析式转换为顶点式，即可求出答案. （2）根据函数图象的平移规律可得平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为，再根据待定系数法将原点坐标代入解析式即可求出答案. 30．【答案】解：（1）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为：y=3x2+2x﹣1， ∵方程3x2+2x﹣1=0的两个根为：x1=﹣1，x2=． ∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0）； （2）a=，c﹣b=2，则抛物线可化为：y=x2+2bx+b+2， 其对称轴为：x=﹣b， 当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3， 此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2， 解得：b=3，符合题意， 当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2， 解得：b=﹣，不合题意，舍去． 当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3， 此时﹣3=（﹣b）2+2×（﹣b）b+b+2， 化简得：b2﹣b﹣5=0， 解得：b1=（不合题意，舍去），b2=． 综上：b=3或b=； （3）由y=1得3ax2+2bx+c=1， △=4b2﹣12a（c﹣1）， =4b2﹣12a（﹣a﹣b）， =4b2+12ab+12a2， =4（b2+3ab+3a2）， =4[（b+a）2+a2]， ∵a≠0，△＞0， 所以方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根， 即存在两个不同实数x，使得相应y=1． 所以真命题为（1）（3），假命题为（2）． 【解析】【分析】（1）把a=b=1，c=﹣1代入y=3ax2+2bx+c化为y=3x2+2x﹣1，令y=0，解方程即可求得抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0），是真命题； （2）a=，c﹣b=2，则抛物线可化为：y=x2+2bx+b+2，其对称轴为：x=﹣b，然后三种情况讨论抛物线的最小值，从而得出b=3或b=时，最小值是﹣3，故是 31．【答案】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4， 设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0）， 则据题意得： ， 解得： ， ∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣ x2+ x+1， ∵y=﹣ （x﹣4）2+ ， ∴飞行的最高高度为： 米. 【解析】【分析】由题意知抛物线过点C（0，1）、D（6，1.5），且对称轴为x=4，于是可设抛物线的解析式为顶点式：y=a(x-4)2+k，再把点C、D的坐标代入解析式可得关于a、k的方程组，解方程组即可求得a、k的值；再将解析式化为顶点式，根据抛物线的性质即可求得羽毛球飞行的最大高度 。 学科网（北京）股份有限公司 $