5.3.1函数的单调性 （第一课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性(1) 5.3 导数在研究函数中的应用 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 情景导入 在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢? 先来看导数与函数单调性的关系. 复习回顾 问题1 在之前的学习中，我们如何判断函数的单调性？ 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集. y x o a b 1.定义法： 2.图像法： 观察图像，写出单调区间. 有时正负难判 有时难以作图 探究新知 观察 观察下列函数图像，探讨函数的单调性与导数正负的关系. 函数图像 单调性与导数 x y O 函数在R上 在(-∞, 0)上 在(0, +∞)上 x y O 在(-∞, 0)上 在(0, +∞)上 x y O x y O 函数在R上 探究新知 追问 能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系？ 导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率. f (x0)>0 f (x1)<0 f (x)在x1附近↘ (x1, f(x1)) (x0, f(x0)) f (x)在x0附近↗ 新知讲授 如果恒有 则 是常数函数. 函数的单调性与其导数的关系： 注意：应正确理解“某个区间 ”的含义,它必是定义域内的某个区间. 新知讲授 思考交流 这个结论反之也成立吗？ x y O 对于函数 y=x3，y′=3x2 . 当x=0时，y′ = 0，当x>0时，y′ > 0， 即y′ ≥ 0 而函数y=x3在R上单调递增. f (x) > 0 f (x) ↗ f (x) ≥ 0 f (x) ↗ 例题分析 例1 用导数判断下列函数的单调性: 解: (1) ∵f (x)=x3+3x，其定义域为R， ∴ f (x)=3x2+3 = 3(x2+1)＞0， ∴f (x)=x3+3x在R上单调递增，如图. 例题分析 例1 用导数判断下列函数的单调性: 解: (2) ∵f (x)=sinx3－x，x∈(0,π)， ∴ f (x)=cosx－1<0， ∴f (x)=sinx3－x在(0,π)上单调递减，如图. x y O π -π 例题分析 例1 用导数判断下列函数的单调性: 解: (3) x y O 1 1 方法总结 ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 对函数f(x)的单调性下结论. 判断函数单调性的步骤： f '(x)>0，解不等式⟹ f(x)的增区间， f '(x)<0，解不等式⟹ f(x)的减区间. 注：单调区间不以“并集”出现. 课堂练习 教材P87 1. 判断下列函数的单调性. 解: (1) ∵f (x)=x2－2x+4，其定义域为R， ∴ f (x)=2x－2= 2(x－1)， 令 f (x)=0，解得x=1. 列表如下： x f (x) f (x) (－∞, 1) 1 (1, +∞) － 0 + ↓ f (1)=3 ↑ x f (x) 1 ∴f (x)=x2－2x+4在(－∞, 1)上单调递减， 在 (1, +∞)上单调递增 . 列表可以简明清晰地呈现函数的增减情况 . 课堂练习 教材P87 1. 判断下列函数的单调性. 解: (2) ∵f (x)=ex－x，其定义域为R， ∴ f (x)=ex－1， 令 f (x)=0，解得x=0. 列表如下： x f (x) f (x) (－∞, 0) 0 (0, +∞) － 0 + ↓ f (0)=1 ↑ x f (x) 0 ∴f (x)=ex－x在(－∞, 0)上单调递减， 在(0, +∞)上单调递增 . 课堂练习 教材P87 解: ∵f (x)=ax2+bx+c (a≠0)定义域为R， ∴ f (x)=2ax+b， 令 f (x)=0，解得x=. x f (x) 当a > 0时，当x > 时，f (x) > 0，f (x) 单调递增 ; 当x < 时，f (x) < 0，f (x)单调递减 , 故二次函数 f (x) 的单调增区间为(,+∞)， 单调减区间为(－∞,). 课堂练习 教材P87 解: ∵f (x)=ax2+bx+c (a≠0)定义域为R， ∴ f (x)=2ax+b， 令 f (x)=0，解得x=. x f (x) 当a < 0时，当x < 时，f (x) > 0，f (x) 单调递增 ; 当x > 时，f (x) < 0，f (x)单调递减 , 故二次函数 f (x) 的单调增区间为(－∞,)， 单调减区间为(,+∞). 例题分析 例2 已知导函数f (x)的下列信息: 当1 < x < 4 时，f (x)>0； 当 x > 4， 或 x < 1时，f (x)<0； 当 x = 4 ， 或 x = 1时，f (x)=0. 当 x > 4， 或 x < 1时，f (x)<0， ∴ f (x)在 (－∞, 1)和(4, +∞)内单调递减； 解: 当1 < x < 4 时，f (x)>0， ∴ f (x)在 (1, 4)内单调递增； 当 x = 4 ，或 x = 1 时，f (x)=0. x y O 1 4 稳定点 课堂练习 教材P87 3. 函数y=f (x)的图象如图所示，试画出函数y=f (x)在(0,b)内图象的大致形状. x y O a b x y O a b 补充练习 1. 设f (x)是函数f (x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，则y=f (x)的单调区间是? x y O -3 -2 1 2 3 补充练习 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 2 (A) (B) (C) (D) 2. 设f (x)是函数f (x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，则y=f (x)的图象最有可能的是( ) C 补充练习 C -1 1 -2 2 x y A B C D -２ -１ -１ ２ -２ ２ １ -２ １ -１ -１ 课堂小结 如果恒有 则 是常数函数. 函数的单调性与其导数的关系： f (x) > 0 f (x) ↗ f (x) ≥ 0 f (x) ↗ 21 课堂小结 ① 求出函数f (x)=的定义域，x∈ _______； ② 求出函数的导数f (x)=_______； ③ 令f (x)=0，解得x= _______； ④ 列表写出定义域内不同区间内导数f '(x)的符号，及f (x)在定义域内的单调性. 判断函数单调性的步骤： 注：单调区间不以“并集”出现. x f (x) f (x) x0 (x0, b) 0 － f(x0) ↓ (a, x0) + ↑ ⑤对函数f(x)的单调性下结论. 22 $