第09讲 向量的数量积（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一数学（沪教版必修第二册）

第09讲 向量的数量积 知识清单 知识点01：向量夹角的定义 知识点02：向量的数量积及其几何意义 知识点03：向量的数量积的定义 知识点04：投影 知识点05：向量数量积的性质、运算律、运算性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量数量积的几何意义 题型2：求投影向量 题型3：平面向量数量积的定义及辨析 题型4：数量积的运算律 题型5：向量夹角的计算 题型6：垂直关系的向量垂直 题型7：已知模求数量积 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 向量夹角的定义 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 知识点02 向量的数量积及其几何意义 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 知识点03 向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点04 投影 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 知识点05 向量数量积的性质、运算律、运算性质 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. 运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c 运算性质：类比多项式的乘法公式 题型1：平面向量数量积的几何意义 【例1-1】已知向量、，“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】设与的夹角为，结合向量的数量投影的几何意义判断充分性，利用特例法判断必要性，从而可得答案. 【详解】设与的夹角为， 则在方向上的数量投影为， 在方向上的数量投影， 若，则成立，充分性成立； 若，不能推出成立， 例如，，时， 成立，而不成立， 所以必要性不成立， 故“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的充分非必要条件， 故选：A. 【例1-2】（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解. 【详解】向量在方向上的投影为：. 故答案为：. 【例1-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，求在方向上的数量投影. 【答案】. 【分析】由数量投影公式求解． 【详解】解：∵，∴，∴. 故在方向上的数量投影为： 【变式1-1】已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由投影的概念计算即可. 【详解】在方向的投影为. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由向量数量积几何意义可得当C为G，F时，数量积最大，当C为D，E时，数量积最小，据此可得答案. 【详解】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大， 此时； 当C为D或E时，数量积最小， 此时. 故答案为： 【变式1-3】已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影． 【答案】投影：；数量投影：． 【分析】由向量夹角正弦求出余弦值，然后根据数量积的几何意义求解． 【详解】由题意得，，所以； 则在方向上的投影： 在方向上的数量投影：． 题型2：求投影向量 【例2-1】（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量投影的概念直接计算. 【详解】由，，其中，的夹角为， 则在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故选：D. 【例2-2】（24-25高一下·上海·期末）设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解 【详解】向量在方向上的投影为： 故答案为：-1 【例2-3】（24-25高一下·上海长宁·期中）设，是两个向量，其中，在方向上的投影是，我们知道结论“无论取何实数，在方向上的投影都是”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：当时，在方向上的投影都是； 【答案】证明见解析 【分析】根据向量数乘的运算性质和投影向量公式证明即可. 【详解】当时，与方向相反，，所以， 所以在方向上的投影向量为. 【变式2-1】已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积求出在方向上的投影为，再结合投影向量的定义求解. 【详解】在方向上的投影为， 又方向上的单位向量为， 故在方向上的投影向量是. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期末）已知向量与的夹角为，，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】由在方向上的数量投影公式计算即可. 【详解】在方向上的数量投影为. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，，，D为边的中点，求： (1)在方向上的数量投影； (2)在方向上的数量投影. 【答案】(1) (2) 【分析】由题意可得，结合投影向量的概念分别计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 则，所以， 在方向上的数量投影为. （2）， 在方向上的数量投影为. 题型3：平面向量数量积的定义及辨析 【例3-1】已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数量积即可求解. 【详解】当A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形时，， 从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的充分条件， 当三个点A，B，C共线且时，满是，但是A，B，C不能构成三角形， 从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”不是“”的不必要条件. 故选：A 【例3-2】（24-25高一下·上海松江·期末）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影 ． 【答案】/0.5 【分析】根据向量投影的概念计算即可. 【详解】由题可知：向量在向量上的数量投影. 故答案为： 【例3-3】（24-25高一上·上海·课前预习）在中，向量与的夹角是吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不是，因为向量的夹角是指两个向量从起点到终点所形成的夹角， 所以向量与的夹角是的补角． 【变式3-1】若、是两个向量，且，则（    ） A．、都是零向量 B．、中至少有一个是零向量 C．、都不是零向量，且 D．、中至少有一个是零向量，或、都不是零向量，且 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义分类讨论、中有无零向量，由此可得结果. 【详解】因为， 当、中有零向量时，则，所以，满足； 当、中没有有零向量时，若，则，所以； 综上可知，、中至少有一个是零向量或、都不是零向量且. 故选：D.. 【变式3-2】在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示） 【答案】/ 【分析】直接根据向量夹角的概念求解. 【详解】向量与向量的夹角是的补角，而， 故. 故答案为：.    【变式3-3】若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解； （2）由向量夹角的定义即可求解； （3）由向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型4：数量积的运算律 【例4-1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的意义计算可判断每个选项的正误. 【详解】由向量的数量积可知是一个与共线的向量，是一个与共线的向量， 故不一定相等，故A错误； 由，可得，因为，所以或，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【例4-2】（24-25高一下·上海松江·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义可求. 【详解】正方形的边长为2，则内切圆半径为1, 因为弦的长度最大，所以为直径，圆心为中点， 则， 所以， 根据题意当在切点时，，当在正方形顶点处时，， 即，即， 故答案为：. 【例4-3】设向量、、满足，且，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由已知条件得，接着两边平方计算得，进而由即可求解. （2）将转化成，再结合已知、和即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以即， 所以，故， 所以. （2）由（1）得，， 所以. 【变式4-1】（24-25高一下·上海·月考）已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量模的平方等于向量的数量积的运算，从而把原不等式转化为一元二次不等式恒成立，从而通过判别式小于或等于0来研究向量积所满足的条件，即可得出判断. 【详解】由不等式平方得：， 整理得：， 当时，上式变为，满足不等式恒成立， 当时，由于任意的恒有上面一元二次不等式成立， 则满足， ， , ，故， 综上可得， 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·上海·月考）已知非零向量互不相等，且若则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，引入四个变量，找到三个相等关系，然后借助消元思想，化为单变量函数，再利用平方均值不等式即可求出最大值. 【详解】以起点为原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，由可得， 假设，则由可得： ， 代入可得：， 又由， 则， （这里用到平方均值不等式：来求最大值） 当且仅当，上式等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一·上海·课堂例题）已知向量、满足，，，求. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式计算即得. 【详解】依题意， 而，，，则， 所以. 题型5：向量夹角的计算 【例5-1】（24-25高一下·上海·月考）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角． 【详解】因为， 所以，所以， 所以，因为， 所以，又因为，所以． 所以与的夹角为． 故选：A． 【例5-2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，，，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】由已知等式两边平方可求得，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，可得，又，， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 【例5-3】（24-25高一下·上海·月考）已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）通过求平方即可求解； （2）根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解； 【详解】（1）， 所以 （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与的夹角不为． 首先， 因为， 所以，解得； 其次当时，由（1）得与的夹角为，所以， 所以的取值范围为． 【变式5-1】在等边三角形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的定义，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，因为为等边三角形，所以， 根据向量的夹角的定义，可得向量与的夹角为. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，是的中点. (1)求与的夹角； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形性质可得向量夹角； （2）根据夹角与模长可得向量数量积. 【详解】（1）由已知在中，，，， 即， 即，， 且， 所以， 所以与的夹角； （2）由（1）得， 所以向量与的夹角是， 所以. 题型6：垂直关系的向量垂直 【例6-1】在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 故， ， 所以是直角三角形 故选：A. 【例6-2】（24-25高一下·上海·期中）若向量、满足，且，，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【分析】利用条件得到，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，则，又，则， 又，则，又，则， 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知三个单位向量，它们相互间的夹角均为120°. (1)求证：； (2)若，求实数k的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）证明，由垂直关系的向量表示即可得证； （2）利用数量积的运算律，结合，利用两向量数量积可得到关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）证明：， ∴. （2）∵， ∴，，即. ∵， ∴原式， 即，解得或. 【变式6-1】已知与是非零向量，则是与垂直的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用已知条件证明必要性和充分性即可. 【详解】因为与是非零向量，当时， ， 所以与垂直，故充分性成立； 若与垂直， 则 因为与是非零向量， 所以， 所以必要性成立， 故若与是非零向量，则是与垂直的充要条件， 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为 . 【答案】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知求参数值. 【详解】由题设，即. 故答案为： 【变式6-3】已知，，与的夹角为，设， (1)若，求； (2)若，求向量与的夹角. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量垂直运算即可求出结果； （2）根据题意求出，进而根据夹角公式即可求出结果. 【详解】（1）根据题意可得： ， 即，得； （2）设向量与的夹角为， ， ，得， ， 于是得. 所以向量与的夹角为. 题型7：已知模求数量积 【例7-1】（24-25高二上·上海·月考）单位向量满足，则 . 【答案】 【分析】利用向量模的平方运算即可求数量积. 【详解】由， 故答案为： 【例7-2】向量，满足，，，那么 . 【答案】/ 【分析】将平方，利用转化法求得. 【详解】将平方得， 即， 将，代入得， 解得. 故答案为： 【例7-3】已知，，．求： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】利用平方法进行求解﹒ 【详解】（1）由，得，则，所以； （2）因为，所以． 【变式7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，，则与的夹角 . 【答案】 【分析】由，两边平方求得，再利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】因为，，， 所以，则， 所以， 则， 故答案为： 【变式7-2】已知向量、满足，，，则 . 【答案】/－0.25 【分析】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案. 【详解】由可得，即， 即，所以， 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高一·上海·课堂例题）设向量、满足，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两边平方即可求解； （2）利用平面向量数量积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得； （2）. 一、填空题 1．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得． 【详解】在方向上的数量投影为： 故答案为： ． 2．（24-25高一下·上海·期中）已知，向量在向量方向上的数量投影为，则 【答案】 【分析】利用平面向量数量投影的定义可求得的值，结合向量夹角的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，向量在向量方向上的数量投影为， 可得， 因为，故. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期末）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据在方向上的数量投影的公式计算即可. 【详解】已知坐标平面上的三点，，， 所以，， 所以在方向上的数量投影为 . 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·期末）已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】利用数量积的定义及运算律，求出数量投影. 【详解】由，，与的夹角为，得， 则， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】利用结合已知条件求解即可. 【详解】因为，，， 所以 . 故答案为： 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，，，则在方向上的投影是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量投影的定义求解. 【详解】依题意，由，得 所以在方向上的投影为. 故答案为： 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为 . 【答案】 【分析】由题意可得在上的数量投影为，计算即可. 【详解】因为在上的数量投影为，且， 所以， 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·期末）正方形边长为2，是正方形的中心，过点的直线与边相交于点，与边交于点，为平面上一点，对于任意实数都满足．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得三点共线，进而可得，结合，可求的最小值. 【详解】因为，所以三点共线， 所以， 又，所以. 故答案为：. 10．已知等边的边长为6，点在边上，且，则 . 【答案】24 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解． 【详解】由题设知等边的边长为6，点在边上，且， 则． 故答案为：24． 11．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】问题化为，应用向量数量级的运算律及二次函数的性质求最小值，即可得. 【详解】对任意的实数，不等式恒成立，即， 由， 对称轴，所以，所以. 故答案为： 12．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知，，且在上的数量投影为，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的概念可得的值，再根据数量积与模长的关系求解即可. 【详解】因为，， 又在上的数量投影为，则， 所以. 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高一上·上海·课后作业）若、为单位向量，则下面各式中正确的是（    ） A．在方向上的数量投影为1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单位向量的定义，数量投影的概念，单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，从而得到答案． 【详解】解：A．没有确定、的夹角，所以不正确，不符合题意； B．、为单位向量，则，正确，符合题意； C．没有确定、的方向相同，则不一定成立，错误，不符合题意； D．没有确定、的方向相反，则不一定成立，错误，不符合题意； 故选：B． 14．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量定义计算即可判断A；由数量积定义和相等向量定义即可依次判断BC；由数量积运算律计算即可判断D. 【详解】对于A，由题在上的投影向量为，故A错误； 对于B，由题，故B错误； 对于C，两单位向量的方向不知，当两向量方向不同时不相等，故C错误； 对于D，，所以，故D正确. 故选：D 15．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD垂直，从而得到三角形为等腰三角形. 【详解】若，取AB的中点D，连接CD，则， 即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形. 故选：C 16．在中，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合） ， 则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得三角形是等腰直角三角形，利用平面向量基本定理，将，用其他已知方向和模长的向量表示，计算数量积，求最小值. 【详解】由题，为等腰直角三角形，，，， 设，， 则，， 所以， 即，因为，所以当时，最小等于. 故选：A. 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·月考）已知向量，，． (1)若，所成角为钝角，求的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，所成角为钝角，则且夹角不能为即可求解； （2）根据可求，再利用投影向量的计算公式求解即可. 【详解】（1），所成角为钝角，， 又时，，此时，所成角为， 所以的取值范围为. （2），， ，， 所以在上的投影向量为. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）如图所示，，，写出向量、在方向上的数量投影． 【答案】1， 【分析】根据向量、在方向上的数量投影公式直接计算即可． 【详解】解：在方向上的数量投影为：， 在方向上的数量投影为：． 19．（24-25高一下·上海·期中）已知 ， (1)求 和 ； (2)已知 ，且 ，求实数的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）向量的模，可根据向量模的计算公式求解；向量的夹角可通过向量的数量积公式计算； （2）向量垂直则根据向量垂直的性质来确定实数的值. 【详解】（1）根据向量模的计算公式，. 已知，，所以. 再根据向量模的计算公式求出. 然后根据向量的夹角公式可得. 因为两向量夹角的范围是，所以. （2）已知，，，则. 因为，根据向量垂直的性质，所以. 即，解得. 20．已知平面向量，． (1)求 (2)求实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可先对其平方，再利用向量数量积公式展开，最后开方得到结果； （2）根据向量垂直的性质，两垂直向量的数量积为，列出关于的方程求解. 【详解】（1）对进行平方可得. 已知，，，则. 又因为，，所以，则. （2）因为，所以. 展开： 将，，代入上式可得： ，整理得. 解得. 则实数时，. 21．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.    (1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【详解】（1）由可得， 则， 所以； （2）依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因为与的夹角为，则由， 可得，解得. （3）依题意，设， 因为是的中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设，则， 于是 ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 向量的数量积 知识清单 知识点01：向量夹角的定义 知识点02：向量的数量积及其几何意义 知识点03：向量的数量积的定义 知识点04：投影 知识点05：向量数量积的性质、运算律、运算性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量数量积的几何意义 题型2：求投影向量 题型3：平面向量数量积的定义及辨析 题型4：数量积的运算律 题型5：向量夹角的计算 题型6：垂直关系的向量垂直 题型7：已知模求数量积 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 向量夹角的定义 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 知识点02 向量的数量积及其几何意义 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 知识点03 向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点04 投影 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 知识点05 向量数量积的性质、运算律、运算性质 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. 运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c 运算性质：类比多项式的乘法公式 题型1：平面向量数量积的几何意义 【例1-1】已知向量、，“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例1-2】（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 【例1-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，求在方向上的数量投影. 【变式1-1】已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【变式1-3】已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影． 题型2：求投影向量 【例2-1】（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·上海·期末）设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为 【例2-3】（24-25高一下·上海长宁·期中）设，是两个向量，其中，在方向上的投影是，我们知道结论“无论取何实数，在方向上的投影都是”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：当时，在方向上的投影都是； 【变式2-1】已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期末）已知向量与的夹角为，，则在方向上的数量投影为 ． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，，，D为边的中点，求： (1)在方向上的数量投影； (2)在方向上的数量投影. 题型3：平面向量数量积的定义及辨析 【例3-1】已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-2】（24-25高一下·上海松江·期末）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影 ． 【例3-3】（24-25高一上·上海·课前预习）在中，向量与的夹角是吗？ 【变式3-1】若、是两个向量，且，则（    ） A．、都是零向量 B．、中至少有一个是零向量 C．、都不是零向量，且 D．、中至少有一个是零向量，或、都不是零向量，且 【变式3-2】在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示） 【变式3-3】若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 题型4：数量积的运算律 【例4-1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【例4-2】（24-25高一下·上海松江·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ． 【例4-3】设向量、、满足，且，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式4-1】（24-25高一下·上海·月考）已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·上海·月考）已知非零向量互不相等，且若则的最大值为 ． 【变式4-3】（24-25高一·上海·课堂例题）已知向量、满足，，，求. 题型5：向量夹角的计算 【例5-1】（24-25高一下·上海·月考）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，，，则与的夹角为 ． 【例5-3】（24-25高一下·上海·月考）已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【变式5-1】在等边三角形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为 ． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，是的中点. (1)求与的夹角； (2)求. 题型6：垂直关系的向量垂直 【例6-1】在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【例6-2】（24-25高一下·上海·期中）若向量、满足，且，，则向量与的夹角为 ． 【例6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知三个单位向量，它们相互间的夹角均为120°. (1)求证：； (2)若，求实数k的取值范围. 【变式6-1】已知与是非零向量，则是与垂直的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为 . 【变式6-3】已知，，与的夹角为，设， (1)若，求； (2)若，求向量与的夹角. 题型7：已知模求数量积 【例7-1】（24-25高二上·上海·月考）单位向量满足，则 . 【例7-2】向量，满足，，，那么 . 【例7-3】已知，，．求： (1)； (2)． 【变式7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，，则与的夹角 . 【变式7-2】已知向量、满足，，，则 . 【变式7-3】（24-25高一·上海·课堂例题）设向量、满足，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)． 一、填空题 1．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 2．（24-25高一下·上海·期中）已知，向量在向量方向上的数量投影为，则 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则 ． 4．（24-25高一下·上海·期末）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为 . 5．（24-25高一下·上海·期末）已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为 ． 6．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，则 ． 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，，，则在方向上的投影是 ． 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为 . 9．（24-25高一下·上海·期末）正方形边长为2，是正方形的中心，过点的直线与边相交于点，与边交于点，为平面上一点，对于任意实数都满足．则的最小值为 ． 10．已知等边的边长为6，点在边上，且，则 . 11．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 12．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知，，且在上的数量投影为，则 ． 二、单选题 13．（24-25高一上·上海·课后作业）若、为单位向量，则下面各式中正确的是（    ） A．在方向上的数量投影为1 B． C． D． 14．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 15．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 16．在中，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合） ， 则的最小值（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·月考）已知向量，，． (1)若，所成角为钝角，求的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）如图所示，，，写出向量、在方向上的数量投影． 19．（24-25高一下·上海·期中）已知 ， (1)求 和 ； (2)已知 ，且 ，求实数的值. 20．已知平面向量，． (1)求 (2)求实数为何值时，． 21．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.    (1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $