5.3.1(1)函数的单调性与导数课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.1导数在研究函数中的应用 函数的单调性(1) ·选择性必修第二册· 1.7.2013 同学们好，今天我们将开始学习第五章“一元函数的导数及应用”的第一节课——“变化率问题”。导数是微积分中的核心概念，它为我们研究函数的变化提供了强大的工具。通过这节课的学习，我们将从实际问题出发，理解变化率的含义，并逐步引入导数的概念。希望大家能够积极思考，深入理解，为后续的学习打下坚实的基础。 ‹#› 学习目标 1.理解导数与函数单调性的关系.（数学抽象、逻辑推理、直观想象） 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.（数学抽象、逻辑推理） 3.会用导数求函数的单调区间.（逻辑推理、数学运算） 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知引入 判断函数单调性的方法有哪些? 【思考】 必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质. 复合函数同增异减法 定义法 性质法 图像法 导数能定量地刻画了函数的局部变化，能更加精确地研究函数的性质，是否可以用来判断函数的单调性呢？ 【思考】 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知探究 【问题1】 如图，这是某跳水运动员的重心相对于 水面的高度随时间 变化的函数 的图象以及其速度 随时间变化的函数 的图象，试说明运动员从起跳到最高点以及从 最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区 别. [答案] 通过观察图象，可以发现： （1）运动员从起点到最高点，他的重心离水面的高度随时间的增加而增加， 即 单调递增，相应地， ； （2）运动员从最高点到入水，他的重心离水面的高度随时间的增加而减小， 即 单调递减，相应地， . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知探究 【问题2】 观察下面一些函数的图象，探究函数的单调性和导数正负的关系. [答案] 图（1）中，在区间上，， 是增函数； 图（2）中，在区间上，，单调递减，在区间 上， ， 单调递增； 图（3）中，在区间上，， 是增函数； 图（4）中，在区间，上，，在区间 和 上单调递减. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知生成 【问题3】 导数与函数的单调性关系： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知探究 【追问】 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知生成 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明: 1. 若在某区间上有有限个点使，在其余的点恒有，则 仍为 增函数（减函数的情形完全类似）. 2. 在上,为增函数的充要条件是对任意的都有 且在 内的任一非空子区间上不恒为0.相反，在上, 为减函数的充要条件 是对任意的都有且在内的任一非空子区间上 不恒为0. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用 例题1 详解 利用导数判断下列函数的单调性： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用 例题1 详解 利用导数判断下列函数的单调性： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用 例题1 详解 利用导数判断下列函数的单调性： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 方法总结 利用导数判断或证明函数单调性的思路： 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式<m></m>在给定区间上恒成立. 一般步骤如下： ①求导数<m></m>；②判断<m></m>的符号；③给出单调性的结论. 特别提醒：如果出现个别点使<m></m>，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用 例题2 详解 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用 例题3 详解 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 方法总结 求函数<m></m>的单调区间的步骤： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 巩固训练 1.判断下列函数的单调性： 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 巩固训练 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 课堂小结 1.利用导数判断或证明函数单调性一般步骤如下： ①求导数<m></m>；②判断<m></m>的符号；③给出单调性的结论. 2.求函数<m></m>的单调区间的步骤 （1）确定函数<m></m>的定义域. （2）求导数<m></m>. （3）解不等式<m></m>，函数在解集与定义域的交集上为增函数. （4）解不等式<m></m>，函数在解集与定义域的交集上为减函数. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业（课本第97页习题5.3） 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业（课本第97页习题5.3） 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间 具有什么关系？ 如果在某个区间上恒有，那么在这个区间上恒有（c为常数）． 在区间内()是 函数在区间内单调递增(递减)的充分不必要条件. 在区间 内 ( )是函数 在区间 内单调递增(递减)的什么条件? 充分性：根据导数与函数单调性的关系即可得到； 反之，举出反例， 在上单调递增，但是当时，. （1）因为 ， 所以． 所以，函数在上单调递增， 如图5.3-4(1)所示． （2）因为 ， 所以， 所以，函数在上单调递减， 如图5.3-4(2)所示． （3）因为，， 所以 ， 所以，函数 在 和 上单调递增，如图5.3-4(3)所示． 第一步：分解——适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数 关系； 第二步：求导——分层求导（弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量 求导），特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求. 第三步：相乘——将与两式相乘 第四步：回代——将中间变量代回元自变量（一般是）的函数. 由得，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 已知函数，求的单调区间. 已知函数 ，设 ， 证明：在上单调递增； 由题设，， 所以. 当时，因 所以，即在上单调递增，故得证. (1)确定函数的定义域. (1)求导数. (3)解不等式，函数在解集与定义域的交集上为增函数. (4)解不等式，函数在解集与定义域的交集上为减函数. （1） ， 则 ， ， 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� （2） ， 则 ， ， 所以 在 上单调递增， 在 单调递减． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� （1） ； （2） ． ，，，， 令，解得或（舍），当时，， 即在上单调递减；当时，，即在上单调递增； 综上所述的单调递减区间为，单调递增区间为. 2. 已知函数，求的单调区间； （1） ，则函数在 上单调递减， 即单减区间为 ，无单增区间； （2） ， ， 则函数在 上单调递增，即单增区间为 ，无单减区间； 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2）， （3） （4） （3） ，则函数在 上单调递增， 即单增区间为 ，无单减区间； （4） ，则函数在 上单调递增， 即单增区间为 ，无单减区间； 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2）， （3） （4） $