第09讲 离散型随机变量及其分布列（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（苏教版选择性必修第二册）

第09讲 离散型随机变量及其分布列 知识清单 知识点01：随机变量的有关概念 知识点02：离散型随机变量分布列的概念及性质 知识点03：离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用 知识点04：离散型随机变量的均值与方差 知识点05：均值与方差的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：离散型随机变量分布列的性质 题型2：离散型随机变量的概率分布 题型3：离散型随机变量的概率分布 题型4：离散型随机变量均值与方差的性质 题型5：两点分布的均值与方差 题型6：二项分布的均值与方差 题型7：超几何分布的均值与方差 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 知识点02 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1. 知识点03离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． [方法技巧] 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．　　 知识点04 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 知识点05 均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． [方法技巧] 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； (4)利用公式求均值或方差. 题型1：离散型随机变量分布列的性质 【例1-1】（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率之和为1可求. 【详解】由分布列可知，解得. 故选：C. 【例1-2】随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质及已知条件解题即可. 【详解】根据题意，由分布列可得： 解得：. 故选:A 【例1-3】（24-25高二下·江苏泰州·期末）设随机变量的分布列为（），则实数的值为 . 【答案】15 【分析】根据分布列概率和为1即可得到方程，解出即可. 【详解】由概率的基本性质知：，解得. 故答案为：15. 【变式1-1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分布列的性质进行计算即可. 【详解】根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3， 所以， 因此. 故选：C. 【变式1-2】已知离散型随机变量等可能地取连续正整数，若，则正整数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量分布列性质可得. 【详解】由随机变量X等可能地取值可知：， 即，所以. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 则表中 . 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质计算可得. 【详解】依题意可得，解得. 故答案为： 题型2： 离散型随机变量的概率分布 【例2-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可. 【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1， ， ，解得：， . 故选：A 【例2-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为， 所以，解得， 所以. 故选：A. 【例2-3】某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题，考官随机抽取3道让应聘者回答，规定至少要正确回答其中2道题才能进入后续环节．若应聘者甲因自身业务能力原因，在这8道题中有3道不能正确回答，其他均可正确回答，则他能进入后续环节的概率是 ．（用既约分数作答） 【答案】 【分析】根据题意应聘者能进入后续环节要正确回答其中2道题或3道题，根据古典概型计算公式及计数原理即可求得概率. 【详解】设随机抽出的3道题目中应聘者能答对的道数为X， 则他能进入后续环节的概率为 . 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 【变式2-2】已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由概率分布列的性质求出，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，求即可. 【详解】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 【变式2-3】随机变量Y的概率分布如下： Y 1 2 3 4 5 6 P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则x＝ ；＝ . 【答案】 0.1/ 0.45 【分析】利用随机变量分布列的性质即可求解. 【详解】由，得,解得x＝0.1. 故答案为：；. 题型3： 离散型随机变量的均值与方差 【例3-1】（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由均值与方差的计算概念，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，解得． 故选：D. 【例3-2】（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为 ． 【答案】576 【分析】求出的可能取值及各个值对应的概率，再根据均值和方差的计算公式进行计算即可. 【详解】依题意，的可能取值为190，150，110， 且，，， 则的期望， 所以方差. 故答案为：576 【例3-3】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知盒中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外完全相同.从中一次摸出个球，记取到的红球数为随机变量，则的数学期望 . 【答案】/ 【分析】由题意可知，随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合期望公式可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、， 则，， 因此，. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量满足：，当时，，随机变量的取值为，，…，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AB：根据期望公式分析判断；对于CD：根据方差的意义分析判断. 【详解】由题意可知：，， 可知，故AB错误； 因为，且距比距较近， 即随机变量的波动性较大，所以. 故选：D. 【变式3-2】抛掷一颗质地均匀的骰子，设表示掷出的点数，则 . 【答案】/ 【分析】先求随机变量X的分布列，再求随机变量X的均值，再由方差公式求X方差. 【详解】由已知随机变量X的取值有1,2,3,4,5,6， ，，， ，，， ∴随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P ∴随机变量X的期望， ∴ . 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二下·江苏南京·月考）设甲乙两人进行羽毛球比赛，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.已知甲乙两人在每局中获胜的概率均为，且每局比赛胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的数学期望为 . 【答案】/ 【分析】由题意可得的所有可能取值为2，4，6，利用独立事件同时发生的概率公式计算出取对应取值的概率，再由数学期望的运算公式即可求解. 【详解】依题意，的所有可能取值为2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛结束的概率为， 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响. 所以，，， 所以. 故答案为： 题型4： 离散型随机变量均值与方差的性质 【例4-1】随机变量X的概率分布为 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，然后由期望的性质求解可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 【例4-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）设离散型随机变量满足，则 . 【答案】 【分析】根据离散型随机变量的数学期望的性质即得. 【详解】由离散型随机变量的数学期望的性质，可知 故答案为：. 【例4-3】已知随机变量的概率分布表如下表所示： … … 其中，，，，记随机变量的数学期望和方差分别为，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据期望公式将展开，借助和化简可证； （2）将方差公式展开，利用期望公式和化简可证. 【详解】（1）因为，， 所以 （2） 【变式4-1】随机变量的概率分布为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意求，再结合方差的性质运算求解. 【详解】由题意可得：， ， 所以. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）若，，，的方差为，则，，，的方差为 . 【答案】12 【分析】根据方差的性质和公式求解即可. 【详解】依题意，的方差为， 那么的方差为. 故答案为：12. 【变式4-3】随机变量X的概率分布为． 试求，． 【答案】，． 【分析】由期望方差的计算公式与性质求解即可 【详解】因为随机变量X的概率分布为， 由公式有； 又， 故． 所以，． 题型5： 两点分布的均值与方差 【例5-1】已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0 B．1 C．0.3 D． 【答案】D 【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论, 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， . 故选：D. 【例5-2】已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的标准差为 ． 【答案】 【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以， 由题意可求出，所以可求出，即可求出随机变量X的标准差。 【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布， 设，所以， 所以代入有：， 解得：，， 因为离散型随机变量X服从两点分布，所以. 则随机变量X的标准差为. 故答案为：. 【例5-3】随机变量X〜0—1分布，证明． 【答案】证明见解析 【分析】由分布的方差公式结合二次函数的性质求解即可 【详解】因为随机变量X服从分布， 所以， 所以 【变式5-1】若X的概率分布为： X 0 1 P 0.5 a 则D(X)等于（    ） A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.2 【答案】B 【分析】由分布列的性质求得，再求数学期望后可求方差. 【详解】由0.5＋a＝1，得a＝0.5， ∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5， D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25. 故选：B 【变式5-2】2020年5月，修订后的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，某校为宣传垃圾分类知识，组织高中三个年级的学生进行垃圾分类知识测试．如表记录了各年级同学参与测试的优秀率（即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例）． 年级 高一 高二 高三 垃圾分类知识测试优秀率 55% 75% 65% 假设从高年级中各随机选取一名同学分别进行考察，用“”表示该同学的测试成绩达到优秀，“”表示该同学的测试成绩没有达到优秀．表示测试成绩的方差，则、、的大小关系为 ． 【答案】 【分析】分别写出三个年级随机选取一名同学测试成绩优秀和没有达到优秀的概率，算出各自的方差，即可比较，得到答案. 【详解】当时，在高一年级中随机抽取一名同学进行考察， 则，， 则， 当时，在高二年级中随机抽取一名同学进行考察， 则，， 则， 当时， 在高三年级中随机抽取一名同学进行考察， 则，， 则， 故． 故答案为： 【变式5-3】篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意服从两点分布，写出方差的式子转化为二次函数求最值. （2）由（1）知，投5次蓝得分为，则，再利用二项分布公式求出即可. 【详解】解：（1）依题意，的分布列为 0 1 当时，取最大值，且最大值为. （2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则 那么 则运动员甲投5次篮得分为4分概率为． 题型6： 二项分布的均值与方差 【例6-1】（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】直接由二项分布的期望公式计算即可. 【详解】若随机变量，则. 故选：C. 【例6-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知随机变量， 若E(X)=1， 则D(X)= . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式列式求解. 【详解】随机变量，由，得，解得， 所以. 故答案为： 【例6-3】会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为． (1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）根据二项分布的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意， 则由题可知，，，， 所以； （2）由题设及（1）知：服从分布， ， ， 0 1 2 3 所以：. 【变式6-1】（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知随机变量服从二项分布.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的方差公式和方差的性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，则，解得. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二下·江苏南通·期末）随机变量．若，则 ；若，则p的最大值为 ． 【答案】 4 /0.75 【分析】根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解. 【详解】由，得，，又， 因此； 又，，则， 解得，而，所以当时，. 故答案为：4； 【变式6-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）2025年3月23日，2025南通马拉松在南通大剧院和美术馆东侧鸣枪开跑，经过角逐，中国选手杨俊婷以1小时19分01秒获得半程马拉松女子组冠军，选手张德成以2小时25分53秒获得马拉松男子组亚军.为了解本地区市民对跑步运动的喜爱情况，随机调查了部分市民，其中女性市民占40%，女性市民中有65%的人喜爱跑步，男性市民中有90%的人喜爱跑步. (1)在被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率； (2)用频率估计概率，从本地区的所有市民中随机抽取3人，设抽取的3人中喜爱跑步的人数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用全概率公式计算求解； （2）利用二项分布的概率公式求分布列以及利用二项分布的期望公式计算即可.. 【详解】（1）设事件表示抽被调查的市民中任选一人为女性，事件表示抽中的此人此人喜爱跑步. 可知， 所以被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率为. （2）因， 可取 则，， ，， 故其分布列如下表所示： 0 1 2 3 故期望. 题型7： 超几何分布的均值与方差 【例7-1】（24-25高二下·江苏·月考）一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，黑球个数X服从超几何分布，再借助超几何分布的期望公式计算作答. 【详解】依题意，取出3球中黑球个数X为随机变量，，X服从超几何分布， 所以黑球个数的数学期望是. 故选：C 【例7-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期末）设随机变量，则X的均值为 ． 【答案】3 【分析】根据超几何分布期望公式得解. 【详解】由超几何分布的期望公式， ， 故答案为：3. 【例7-3】若随机变量X服从超几何分布，则X的均值 ． 【答案】 【分析】由超几何分布期望公式直接求解即可. 【详解】由题意知：. 故答案为：. 【变式7-1】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【变式7-2】（25-26高三上·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为 . 【答案】 【分析】先根据超几何分布的求概率公式求出不同取值情况下的概率值，利用求期望和求方差公式求出的期望和方差，再利用求方差性质求得的方差即可. 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： 【变式7-3】有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，最可能抽到的次品数是 . 【答案】 【分析】由超几何分布计算何时概率最大可得对应的次品数. 【详解】由题意，有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品， 则抽出的次品数服从超几何分布，设最可能抽到的次品数， 则，整理得到：，故， 故最可能抽到的次品数是. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知的分布列如下表所示，设，则（   ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分布列性质求参数，利用期望公式求，再利用线性关系求，即可求出答案. 【详解】利用概率和为，可得 则根据题意得：， 因为，所以， 故选：D. 2．下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的定义进行判断，得到答案. 【详解】A选项，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，A错误； B选项，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； C选项，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，C正确； D选项，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，D错误． 故选：C． 3．已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．9 【答案】B 【分析】由题意，由期望的性质可知，求解即可. 【详解】由已知服从二项分布，， . 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏徐州·期中）投掷一枚质地均匀骰子，当出现2点或3点时，就说这次试验成功，每次试验相互独立，则在90次试验中成功次数的均值是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】依题意可得，根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】依题意可知每次试验成功的概率， 所以，所以， 即在次试验中成功次数的均值是. 故选：B 5．（24-25高二下·江苏·月考）已知随机变量X服从二项分布，且，则（    ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】C 【分析】由二项分布的期望和方差公式，以及期望的性质可得结果. 【详解】由于随机变量X服从二项分布，所以，解得：. 故，，所以. 故选：C. 6．已知随机变量满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的均值公式和方差公式求解即可. 【详解】若，，则，解得， 故，则，故A错误， 而，故， 可得，故B错误， 而，故C错误， 由题意得，故D正确. 故选：D 7．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设为摸出的红球总数，则的期望值是（    ） A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8 【答案】C 【分析】设为从甲袋中摸出的红球数，为从乙袋中摸出的红球数，则与都服从超几何分布，根据超几何分布期望的求法即可求解. 【详解】设为从甲袋中摸出的红球数，为从乙袋中摸出的红球数， 则服从超几何分布，故，同理， 故， 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．设和互为对立事件，则 B．若随机变量，且，则 C．若，则 D．若随机变量X的分布列为，则 【答案】ABC 【分析】利用条件概率的公式可判断A，利用二项分布的期望和方差公式可判断B，利用全概率公式可判断C，由超几何分布的期望公式可判断D. 【详解】对于A，由条件概率的公式可知，故A正确 对于B，因为，所以， 则，所以， 所以，故B正确 对于C，根据全概率公式，， 故，故C正确 对于D，由题意知，服从，，的超几何分布，所以，故D错误． 故选：ABC 10．（24-25高二下·江苏盐城·期中）若随机变量下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用二项分布的性质和期望和方差的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若随机变量，，则，故A正确； 对于B，期望，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 11．（24-25高二下·江苏常州·期中）下列命题正确的是（   ） A．若随机变量，满足，，则 B．若，，，则 C．若，则 D．若分布，，则 【答案】BC 【分析】根据方差的性质判断A选项；利用贝叶斯公式判断B选项；根据超几何分布判断C选项；根据两点分布的期望与方差判断D选项． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B正确； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若分布，，则，故D错误． 故选：BC. 三、填空题 12．某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的方差为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，由二项分布的方差公式求解即可得. 【详解】任一时刻占线的分机数目为X， 每个分机在每一时刻占线的概率为， 因为各个分机是否占线是相互独立的，所以， 故任一时刻占线的分机数目X的方差为． 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 14．一种抛掷骰子游戏：若抛掷出点数为1，2，则得0分；若抛掷出点数为3，4，5，6，则得2分．现抛掷骰子10次，则得分X的期望值为 ． 【答案】/ 【分析】设抛掷骰子一次得分为，求出的可能取值及其对应的概率，即可求出，又，由均值的性质即可得出答案. 【详解】设抛掷骰子一次得分为，则， ，， 所以，因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 16．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和方差； (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望． 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， 【分析】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求出每次都中奖的概率为，可知，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的方差公式可求得的值； （2）分析可知，中奖次数的可能取值为、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次中奖相互独立，所以中奖次数，的可能取值为、、， 则，，， 则的分布列为 因为，所以的方差为. （2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为、、， 则，， ， 所以，随机变量的分布列为 所以的期望为. 17．（24-25高二下·江苏无锡·期中）（1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记，求的分布列和期望与方差. （2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？ 【答案】（1）分布列见解析，期望，方差；（2）0.1. 【分析】（1）求出的可能值，借助组合计数问题求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望、方差. （2）根据题中给定信息，结合全概率公式列式求解. 【详解】（1）的可能值这0，1， ，， 所以的分布列为： 0 1 数学期望， 方差为. （2）令“玩手机时间超过2h的学生”，“玩手机时间不超过2h的学生”，“任意调查一人，此人近视”， 则，且互斥，，， 依题意，， 解得， 所以从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.1. 18．（25-26高三上·江苏苏州·期末）为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． (1)求的值； (2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 【答案】(1)． (2)有理由认定李老师是投篮高手，理由见解析． 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，得到分布列，根据期望值得到方程，求出答案； （2）设投篮结束最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3，得到对应的概率，得到数学期望，得到，得到答案. 【详解】（1）投篮的次数的可能值为1，2，3， 1 2 3 所以， 由于，所以． （2）有理由认定李老师是投篮高手，理由如下： 投篮结束最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以， 所以，所以有理由认定李老师是投篮高手． 19．（24-25高二下·江苏淮安·期末）在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． (1)若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； (2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； (3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 【答案】(1)数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7． (2)． (3) 【分析】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得. （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件，分类讨论求出事件的个数及事件N的个数，利用条件概率公式求解即可. （3）求出随机变量取值，求出对应的概率，利用数学期望公式求出期望表达式，最后利用“倒序相加”. 【详解】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得： 数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”； 数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7． （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件． 若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素， 每列有3个元素，且，则． 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和． 若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾； 若和不同行也不同列时，不妨设， 根据定义可得：， 所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的． 所以． 答：是“数组”的概率为． （3）根据题意的可能取值为（共个取值）， 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： …… 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 由这些计数无重复，故的元素个数为 注意到以上计数具有对称性，即： …… 所以利用“倒序相加”法我们有： ，，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 离散型随机变量及其分布列 知识清单 知识点01：随机变量的有关概念 知识点02：离散型随机变量分布列的概念及性质 知识点03：离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用 知识点04：离散型随机变量的均值与方差 知识点05：均值与方差的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：离散型随机变量分布列的性质 题型2：离散型随机变量的概率分布 题型3：离散型随机变量的概率分布 题型4：离散型随机变量均值与方差的性质 题型5：两点分布的均值与方差 题型6：二项分布的均值与方差 题型7：超几何分布的均值与方差 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 知识点02 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1. 知识点03离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． [方法技巧] 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．　　 知识点04 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 知识点05 均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． [方法技巧] 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； (4)利用公式求均值或方差. 题型1：离散型随机变量分布列的性质 【例1-1】（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 【例1-3】（24-25高二下·江苏泰州·期末）设随机变量的分布列为（），则实数的值为 . 【变式1-1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知离散型随机变量等可能地取连续正整数，若，则正整数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式1-3】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 则表中 . 题型2： 离散型随机变量的概率分布 【例2-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3】某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题，考官随机抽取3道让应聘者回答，规定至少要正确回答其中2道题才能进入后续环节．若应聘者甲因自身业务能力原因，在这8道题中有3道不能正确回答，其他均可正确回答，则他能进入后续环节的概率是 ．（用既约分数作答） 【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【变式2-2】已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【变式2-3】随机变量Y的概率分布如下： Y 1 2 3 4 5 6 P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则x＝ ；＝ . 题型3： 离散型随机变量的均值与方差 【例3-1】（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为 ． 【例3-3】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知盒中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外完全相同.从中一次摸出个球，记取到的红球数为随机变量，则的数学期望 . 【变式3-1】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量满足：，当时，，随机变量的取值为，，…，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】抛掷一颗质地均匀的骰子，设表示掷出的点数，则 . 【变式3-3】（24-25高二下·江苏南京·月考）设甲乙两人进行羽毛球比赛，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.已知甲乙两人在每局中获胜的概率均为，且每局比赛胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的数学期望为 . 题型4： 离散型随机变量均值与方差的性质 【例4-1】随机变量X的概率分布为 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则等于（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）设离散型随机变量满足，则 . 【例4-3】已知随机变量的概率分布表如下表所示： … … 其中，，，，记随机变量的数学期望和方差分别为，．求证： (1)； (2)． 【变式4-1】随机变量的概率分布为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）若，，，的方差为，则，，，的方差为 . 【变式4-3】随机变量X的概率分布为． 试求，． 题型5： 两点分布的均值与方差 【例5-1】已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0 B．1 C．0.3 D． 【例5-2】已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的标准差为 ． 【例5-3】随机变量X〜0—1分布，证明． 【变式5-1】若X的概率分布为： X 0 1 P 0.5 a 则D(X)等于（    ） A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.2 【变式5-2】2020年5月，修订后的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，某校为宣传垃圾分类知识，组织高中三个年级的学生进行垃圾分类知识测试．如表记录了各年级同学参与测试的优秀率（即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例）． 年级 高一 高二 高三 垃圾分类知识测试优秀率 55% 75% 65% 假设从高年级中各随机选取一名同学分别进行考察，用“”表示该同学的测试成绩达到优秀，“”表示该同学的测试成绩没有达到优秀．表示测试成绩的方差，则、、的大小关系为 ． 【变式5-3】篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 题型6： 二项分布的均值与方差 【例6-1】（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，则（   ） A． B． C． D．5 【例6-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知随机变量， 若E(X)=1， 则D(X)= . 【例6-3】会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为． (1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望． 【变式6-1】（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知随机变量服从二项分布.若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·江苏南通·期末）随机变量．若，则 ；若，则p的最大值为 ． 【变式6-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）2025年3月23日，2025南通马拉松在南通大剧院和美术馆东侧鸣枪开跑，经过角逐，中国选手杨俊婷以1小时19分01秒获得半程马拉松女子组冠军，选手张德成以2小时25分53秒获得马拉松男子组亚军.为了解本地区市民对跑步运动的喜爱情况，随机调查了部分市民，其中女性市民占40%，女性市民中有65%的人喜爱跑步，男性市民中有90%的人喜爱跑步. (1)在被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率； (2)用频率估计概率，从本地区的所有市民中随机抽取3人，设抽取的3人中喜爱跑步的人数为X，求X的分布列及数学期望. 题型7： 超几何分布的均值与方差 【例7-1】（24-25高二下·江苏·月考）一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期末）设随机变量，则X的均值为 ． 【例7-3】若随机变量X服从超几何分布，则X的均值 ． 【变式7-1】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高三上·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为 . 【变式7-3】有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，最可能抽到的次品数是 . 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知的分布列如下表所示，设，则（   ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 2．下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D．测量某零件的长度产生的测量误差 3．已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．9 4．（24-25高二下·江苏徐州·期中）投掷一枚质地均匀骰子，当出现2点或3点时，就说这次试验成功，每次试验相互独立，则在90次试验中成功次数的均值是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 5．（24-25高二下·江苏·月考）已知随机变量X服从二项分布，且，则（    ） A．9 B．11 C．12 D．15 6．已知随机变量满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设为摸出的红球总数，则的期望值是（    ） A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．设和互为对立事件，则 B．若随机变量，且，则 C．若，则 D．若随机变量X的分布列为，则 10．（24-25高二下·江苏盐城·期中）若随机变量下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·江苏常州·期中）下列命题正确的是（   ） A．若随机变量，满足，，则 B．若，，，则 C．若，则 D．若分布，，则 三、填空题 12．某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的方差为 ． 13．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 14．一种抛掷骰子游戏：若抛掷出点数为1，2，则得0分；若抛掷出点数为3，4，5，6，则得2分．现抛掷骰子10次，则得分X的期望值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 16．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和方差； (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望． 17．（24-25高二下·江苏无锡·期中）（1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记，求的分布列和期望与方差. （2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？ 18．（25-26高三上·江苏苏州·期末）为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． (1)求的值； (2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 19．（24-25高二下·江苏淮安·期末）在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． (1)若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； (2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； (3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 1 学科网（北京）股份有限公司 $