第09讲 利用导数研究函数的单调性（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（人教A版选择性必修第二册）

第09讲 利用导数研究函数的单调性 知识清单 知识点01：函数单调性和导数的关系 题型讲解 （举三反三） 题型1：用导数判断或证明已知函数的单调性 题型2：由单调性比较函数值的大小 题型3：利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型4：由函数的单调区间求参数 题型5：由函数在区间上的单调性求参数 题型6：函数与导函数图象之间的关系 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 题型1：用导数判断或证明已知函数的单调性 【例1-1】（25-26高二上·上海·期末）已知函数，定义域为.任取，导函数始终存在.那么是在上是严格增函数的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】若，则，满足，但不是严格增函数. 所以，推不出是严格增函数. 若是严格增函数，则恒成立. 所以是严格增函数，能推出恒成立. 所以是是严格增函数的必要不充分条件. 故选:B. 【例1-2】（25-26高二上·河南信阳·月考）已知，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】将表达式变形并构造函数，由函数单调性及奇偶性即可得. 【详解】令，代入原式得，即； 令函数，则恒成立， 因此函数在上单调递增，又， 所以，即， 可得，所以. 故选：A 【例1-3】（24-25高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】设，求导确定单调性，又从而有单调性可得不等式解集. 【详解】设，则， 所以在上单调递减， 又，由， 即，所以，则，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高二上·河南信阳·月考）若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，通过求导判断单调性，求出的最大值即可. 【详解】若，恒成立，则， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ，， 故选:B. 【变式1-2】（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值，结合零点存在性定理可得答案. 【详解】的定义域为， ，当时，， 在上单调递减， 当时，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在恒负， ，，， ， 根据零点存在性定理知，在区间上一定存在零点. 故选：D 【变式1-3】（24-25高二下·山西大同·月考）已知数列的通项公式为，那么数列最大项为第 项． 【答案】7 【分析】先构造函数，求出导函数根据正负得出单调性进而得出极大值，计算比较，即可求解． 【详解】构造辅助连续函数， 求导得， ，，单调递增；，， 单调递减； 所以在处取得函数的极大值即最大值． 比较和时的值：，， 故最大项为． 故答案为： 题型2：由单调性比较函数值的大小 【例2-1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，用导数得出函数的单调性，然后利用函数的单调性比较大小. 【详解】设，，当时，，所以在 上单调递增， 当时，，所以在 上单调递减. 又因为，，， 所以，即. 故选：A 【例2-2】（24-25高二下·吉林四平·月考）设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来 【答案】 【分析】构造函数，用导数求函数的单调性，即可求得题目. 【详解】由， 设函数，则， 当时，单调递减， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 【例2-3】若函数在上可导，且满足，判断与的大小． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数法结合判断其单调性，再利用单调性判断. 【详解】令， 因为在上可导，且满足， 所以， 所以在R上递减， 所以，即， 所以. 【变式2-1】（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数的导函数.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特征，推出，所以函数在上单调递增；根据选项中x取值的大小顺序，结合函数单调性得出答案. 【详解】已知函数的导函数：，所以函数在上单调递增. 选项中，，大小顺序为：. 所以. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二下·江苏镇江·月考）若，，，结合函数的性质，的大小关系为 （用“＞”连接）. 【答案】 【分析】求导，确定函数单调性，进而可比较大小. 【详解】由， ， 当，可知， 所以在单调递减， 又，，， 所以， 故答案为：. 【变式2-3】（2025高二下·全国·专题练习）已知且，且，且，比较，，大小. 【答案】 【分析】构造，则，，，求导得到的单调性，从而比较出大小. 【详解】构造，，故， 同理可得，. ，当时，，当时，， 故在递减，在上递增， 又，，，故， 在递减，故， 又，在上递增，由“函数值大则自变量大”，得. 题型3：利用导数求函数的单调区间（不含参） 【例3-1】（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数定义域并令其导函数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为 故选：C 【例3-2】（24-25高二下·广东中山·月考）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】确定函数定义域，对函数求导，求出导数大于零的范围即可． 【详解】函数的定义域为，，令，解得，所以函数的单调递增区间为． 故答案为：． 【例3-3】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 【答案】(1)单调递减区间为，递增区间为； (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）（2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）由，定义域为R， ，令，即， 令，即，令，即， 所以函数的单调递减区间为，递增区间为； （2）函数的定义域为，又， 令，得，当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式3-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，再求出导函数的值大于0的不等式解集即可. 【详解】函数，求导得， 由，解得或， 所以所求递增区间是. 故选：A 【变式3-2】（24-25高二下·河南商丘·月考）设函数，当时，的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】求导，由求解即可. 【详解】由，可得，， ， 由，可得：， 又，可得：， 解得：， 所以的单调递减区间为， 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，无递减区间 【分析】（1）利用求导法则计算即可； （2）先求定义域，利用根的判别式得到导函数大于0恒成立，故得到函数单调区间. 【详解】（1）； （2）定义域，令，即，即， ，其中判别式，故恒成立， 单调递增区间为，无递减区间. 题型4：由函数的单调区间求参数 【例4-1】（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案. 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 【例4-2】（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据导函数求出的单调减区间为，由题意得出，然后求解即可. 【详解】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【例4-3】函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若在上为单调函数，求的取值范围 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2) 【分析】（1）先求出函数的导数，解不等式求出单调区间即可； （2）将问题转化为在恒成立，利用二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）当时，, 令，得或，所以的增区间为，， 令，得，所以的减区间为 故当时，的增区间为和，减区间为. （2）由题可得，要使在上为单调函数， 则在上恒成立， 则，即，解得：, 所以的取值范围为 【变式4-1】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 【变式4-2】（24-25高二下·湖北·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数有三个单调区间，分析导函数恰有两个零点，根据导函数方程的根的情况即可求出参数范围. 【详解】依题意知，当时，，只有两个单调区间，不符合题意， 则当时，， 因函数恰有三个单调区间，即恰有两个极值点，故必有两个不相等的零点， 则，解得且， 故答案为：. 【变式4-3】已知函数； （1）若在区间上单调递增，求a的取值范围； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）；（2）答案见解析； 【分析】（1）由在上单调递增，而即上恒成立，即可求a的取值范围； （2）令求极值点，讨论、、分别确定在不同区间的符号，进而讨论其单调性即可. 【详解】（1）由题设，， ∵在上单调递增，而， ∴在上恒成立，即. ∴a的取值范围. （2）由（1）知：则或， 1、当时，、上；上； ∴、上单调递增；上单调递减； 2、当时，、上； ∴在上单调递增； 3、当时，、上；上； ∴、上单调递增；；上单调递减；； 题型5：由函数在区间上的单调性求参数 【例5-1】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因为在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：B 【例5-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可. 【详解】依题意知， 因为函数在单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为（当且仅当时取“”）， 所以. 故答案为： 【例5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为当时，有解，即有解，求出即可得出答案. 【详解】因为，所以， 若在上存在单调递增区间， 则当时，有解，即有解， ，即， 故的取值范围是． 【变式5-1】（25-26高二上·重庆·期末）函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在定义域上单调递增，可得恒成立，结合“三个二次”关系求解. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以方程至多一个实根，所以， 解得，即实数的取值范围是， 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知：存在区间，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】由题意可得在上恒成立，再分，两种情况讨论即可； 【详解】求导， 因为在区间上单调递增， 所以在上恒成立． ①当时，的对称轴为：， 所以，即，解得：； ②当时，的对称轴为：， 所以， 解得：或，这与矛盾，不可取． 综合①②可知，的取值范围是． 题型6：函数与导函数图象之间的关系 【例6-1】（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 【例6-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 【例6-3】（2025高二·全国·专题练习）函数 的导函数 的图象如图所示，则在函数 的图象上 ， 的对应点附近，有A处 ；B处 ．(填上升、下降)    【答案】 下降 上升 【分析】根据导函数图象判断点A，B的导数符号即可得解. 【详解】∵所给图象是导函数的图象，且点A处导数小于0，点B处导数大于0， ∴原函数图象在处下降，处上升． 故答案为：下降；上升. 【变式6-1】（24-25高二下·广东梅州·期末）已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（    ）    A． B． C．在处取得最小值 D．在处取得极大值 【答案】A 【分析】根据导函数的图像可知原函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据图象可知：当或时，， ，故在处取得极大值，在处取得极小值，因此，故BCD错误， 由于函数在单调递减，故，A正确， 故选：A 【变式6-2】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，得到单调递增，再分析各选项中与的距离变化情况是否符合的单调即可. 【详解】令，又，则，在定义域上单调递增， 对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，故，又与的距离越来越大，此时单调递减，故A错误， 对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故B正确， 对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确， 对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故D正确， 故选：A. 【变式6-3】（24-25高二下·云南临沧·期中）已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集 ． 【答案】 【分析】根据给定的函数图象确定单调性，求出为正为负的范围，再分段求解不等式. 【详解】由函数的图象，得当或时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，， 不等式化为或， 解，无解；解，得， 所以不等式的解集. 故答案为： 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，令，解不等式求解单调区间即可. 【详解】由题意得，定义域为，， 令，解得， 故函数的单调递减区间是. 故选：C 2．（24-25高二下·河南洛阳·期末）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出，再根据的图象分析的取值情况，由此判断出结果. 【详解】因为，所以， 由图象可知：先增后减再增，所以先为正，再为负，最后又为正，所以， 因为为的两个极值点，且，所以，所以， 又因为，所以. 由结合图象可知的一正一负两根中，正根的绝对值大于负根的绝对值， 故两根之和大于0，即. 由可知. 综上可知：，，，. 故选：C. 3．（24-25高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，令，求解即可. 【详解】定义域为，由题意得， 令，解得， 所以函数的递减区间为， 故选：D. 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 5．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 7．（25-26高二上·河南商丘·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数结合已知确定单调性，进而比较大小即得. 【详解】令函数，则，函数在上单调递增， 则，即，所以. 故选：B 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：利用导数的运算法则得，根据函数单调时导数恒正或恒负，分离参数后求函数最值确定的取值范围；解法二：利用补集思想，先求函数不单调时的取值范围，再取补集得到单调时的取值范围. 【详解】（解法1）因为在区间上是单调函数， 所以，对，有， 或者恒成立， 所以，对有或者恒成立， 利用二次函数性质求解可得：或者， 设，定义域为，， 当时，，所以， 即在上单调递减，则， 又因为时，， 且时，， 所以，则或者， 所以. （解法2）若在区间上不单调， 则在内存在极值点， 所以，在内存在变号实根， 即在内存在变号实根， 化简得：在内存在变号实根， 所以，直线与函数在上的图像有交叉点， 又由解法一可知，，所以，化简得：， 若在区间上是单调函数，则. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·单元测试）已知函数在上是单调函数，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】由题意得在上恒成立，由判别式小于等于0求出参数即可. 【详解】因为为二次函数，开口向下，总会存在负值， 由题意得在上恒成立， 则，解得． 故选：ABC. 10．（24-25高二下·江西新余·期末）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据导函数确定函数单调性即可. 【详解】对于A，，在上单调递增，故A正确； 对于B，，在上单调递减，故B正确； 对于C，，令，令， 故在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，，令，令， 在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：AB. 11．（22-23高二下·福建宁德·月考）设，，，则下列判断正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】构造函数，利用导数判定其单调性，再结合对应的函数值，可得答案. 【详解】设，则， 令，解得，根据函数的单调性， 则当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增. 而，，， 因为，所以. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：对于函数值大小比较问题，常常构造函数，然后对函数进行求导，判断单调区间，根据增减性判断函数值的大小即可解决. 三、填空题 12．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调减区间是 . 【答案】 【分析】求导，解不等式即可. 【详解】， 解得， 故的单调减区间是. 故答案为： 13．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，由已知可得，在上恒成立，方法一：只需，计算即可求实数的范围；方法二：分离变量后利用函数的单调性求实数的范围. 【详解】解法一，因为在上单调递减， 所以在上恒成立． 所以，即，解得， 即实数的取值范围为． 解法二，由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立． 记，当时， （由对勾函数的单调性可得），所以， 即实数的取值范围为． 14．（25-26高二上·福建莆田·期末）若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求出最值，进而求得结果. 【详解】函数，， 依题意，存在，使得，即存在，使得， 显然函数在上单调递减，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据不等式求解函数的单调区间； （2）根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为 （2）， ，所以切线方程为，即. 16．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数的几何意义，在点处的切线与轴平行，即代入即可求解； （2）确定函数定义域，求导确定导函数的零点，根据导数确定函数单调性即可. 【详解】（1）由题可知函数定义域为，， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. （2）由（1）可知函数定义域为， ， 令，恒成立， 令，解得（舍去）或， 若，，单调递减； 若，，单调递增. 17．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）设函数. (1)求的定义域，并证明：； (2)讨论的单调性，并比较与的大小. 【答案】(1)；证明见解析； (2)函数在区间上单调递减；在区间上单调递增； 【分析】（1）根据分式对数式的要求可求函数的定义域，把代入解析式化简即可证明； （2）先求导根据导数的正负去求函数的单调性，利用单调性及去比较大小. 【详解】（1）因为中，中，综合可得得定义域为， ； （2）因为，所以 令，即，所以，故， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增； 因为，且在区间上单调递增； 所以，又因为，所以， 所以. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)单调递增区间为，，单调递减区间为. (3)单调递增区间是，，单调递减区间是. 【分析】运用导数运算法则逐个计算，结合列表法分段讨论即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 令，得或，列表如下： 0 2 + 0 - 0 + 3 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）易知函数的定义域为. 令，得或.列表如下： + 0 - 0 + 1 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）的定义域为，且， 令，得或，列表如下： + 0 - - 0 + 所以的单调递增区间是，，单调递减区间是. 19．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，再对进行分类讨论； （2）将整理得到，设，，则．设，则，所以函数在区间内为减函数，则，然后分与进行分类讨论，将不等式恒成立问题转化为最值问题． 【详解】（1）由题意得，． 当时，，故函数在区间上单调递增； 当时，在区间上，，在区间上，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （2）由，可得， 设，，则． 设，则， 所以函数在区间内为减函数，则． 当时，，在区间内为减函数， 所以恒成立； 当时，，因为在区间上单调递减， 所以，在区间内，有， 所以在区间上单调递增，所以，不合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】本题考查了函数的单调性讨论，利用导数研究函数的单调性及最值问题，不等式恒成立问题，解题的关键是准确对函数进行求导，构建新函数，将恒成立问题转化为最值问题，要充分利用分类讨论思想进行讨论求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 利用导数研究函数的单调性 知识清单 知识点01：函数单调性和导数的关系 题型讲解 （举三反三） 题型1：用导数判断或证明已知函数的单调性 题型2：由单调性比较函数值的大小 题型3：利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型4：由函数的单调区间求参数 题型5：由函数在区间上的单调性求参数 题型6：函数与导函数图象之间的关系 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 题型1：用导数判断或证明已知函数的单调性 【例1-1】（25-26高二上·上海·期末）已知函数，定义域为.任取，导函数始终存在.那么是在上是严格增函数的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例1-2】（25-26高二上·河南信阳·月考）已知，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【例1-3】（24-25高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是 ． 【变式1-1】（25-26高二上·河南信阳·月考）若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·山西大同·月考）已知数列的通项公式为，那么数列最大项为第 项． 题型2：由单调性比较函数值的大小 【例2-1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·吉林四平·月考）设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来 【例2-3】若函数在上可导，且满足，判断与的大小． 【变式2-1】（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数的导函数.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·江苏镇江·月考）若，，，结合函数的性质，的大小关系为 （用“＞”连接）. 【变式2-3】（2025高二下·全国·专题练习）已知且，且，且，比较，，大小. 题型3：利用导数求函数的单调区间（不含参） 【例3-1】（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二下·广东中山·月考）函数的单调递增区间为 . 【例3-3】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 【变式3-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·河南商丘·月考）设函数，当时，的单调递减区间为 ． 【变式3-3】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 题型4：由函数的单调区间求参数 【例4-1】（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【例4-3】函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若在上为单调函数，求的取值范围 【变式4-1】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·湖北·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 【变式4-3】已知函数； （1）若在区间上单调递增，求a的取值范围； （2）讨论的单调性. 题型5：由函数在区间上的单调性求参数 【例5-1】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【例5-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为 【例5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围． 【变式5-1】（25-26高二上·重庆·期末）函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 ． 【变式5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 题型6：函数与导函数图象之间的关系 【例6-1】（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【例6-3】（2025高二·全国·专题练习）函数 的导函数 的图象如图所示，则在函数 的图象上 ， 的对应点附近，有A处 ；B处 ．(填上升、下降)    【变式6-1】（24-25高二下·广东梅州·期末）已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（    ）    A． B． C．在处取得最小值 D．在处取得极大值 【变式6-2】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二下·云南临沧·期中）已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集 ． 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南洛阳·期末）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南商丘·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·单元测试）已知函数在上是单调函数，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 10．（24-25高二下·江西新余·期末）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·福建宁德·月考）设，，，则下列判断正确的是（    ）. A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调减区间是 . 13．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 14．（25-26高二上·福建莆田·期末）若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在处的切线方程. 16．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 17．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）设函数. (1)求的定义域，并证明：； (2)讨论的单调性，并比较与的大小. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 19．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $