19.3二次根式的加法与减法同步培优讲义（8知识点+9题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

19.3二次根式的加法与减法同步培优讲义 （8知识点+9题型+过关检测） 【题型1 同类二次根式】 3 【题型2 二次根式的加减运算】 3 【题型3 二次根式的混合运算】 4 【题型4 分母有理化】 4 【题型5 已知字母的化简求值】 5 【题型6 已知条件式，化简求值】 6 【题型7 比较二次根式的大小】 6 【题型8 二次根式的应用】 7 【题型9 复合二次根式的化简】 9 · 理解同类二次根式的定义，能快速判断两个（或多个）二次根式是否为同类二次根式； · 掌握二次根式加减运算的法则，能熟练进行二次根式的加减运算，做到准确无误； · 掌握二次根式混合运算的顺序和技巧，能规范完成含加减、乘除的混合运算； 03 知识•梳理 知识点1. 同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 关键提醒：① 判断同类二次根式的前提：必须先将所有二次根式化为最简二次根式；② 同类二次根式只与被开方数有关，与根号外的系数无关（如 与 是同类二次根式）；③ 几个不是最简的二次根式，即使被开方数相同，也不一定是同类二次根式（如 与 ，化简后被开方数不同，不是同类二次根式）。 知识点2. 二次根式的加法与减法法则 法则：二次根式加减时，先将各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式的系数相加、减，被开方数保持不变（非同类二次根式不能合并）。 关键提醒：① 核心步骤：先化简，再合并；② 非同类二次根式（如 与 ）不能合并，直接保留原式即可；③ 合并同类二次根式的方法，类似整式加减中合并同类项。 知识点3. 二次根式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。 关键提醒：① 运算过程中，所有二次根式需化为最简，同类二次根式及时合并；② 乘除运算遵循19.2的法则，加减运算遵循本节法则，避免混淆；③ 运算时注意符号变化，避免计算失误。 知识点4. 分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 核心方法：利用分式的基本性质，分子分母同乘分母的有理化因式（与分母相乘后不含根号的式子），常见类型： ① 分母为 （）：有理化因式为，即 ； ② 分母为 （）：有理化因式为 （平方差公式），即 。 知识点5. 二次根式的化简求值 核心思路：先将二次根式化为最简，再代入已知条件（或化简已知条件式），最后计算求值，避免直接代入未化简的式子，减少运算量。 关键提醒：代入字母取值时，需先确认字母取值使二次根式有意义（被开方数非负、分母不为0）。 知识点6. 二次根式的大小比较 常用方法：① 平方法（两边同时平方，比较平方后的大小，适用于两个正数）；② 作差法（两式相减，判断差的正负）；③ 估值法（估算二次根式的近似值，再比较大小）。 知识点7. 二次根式的应用 核心：将实际问题转化为二次根式的加减或混合运算，先根据题意列出算式，再化简计算，最后结合实际意义检验结果。 知识点8. 复合二次根式的化简 定义：被开方数中含有二次根式的式子，叫做复合二次根式（如 ）。 基本方法：将被开方数化为完全平方形式（），再开方化简（结果需为非负数）。 04 题型•汇总 【题型1 同类二次根式】 解题思路 1. 化简：将所有待判断的二次根式，全部化为最简二次根式； 2. 对比：观察化简后所有二次根式的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式； 3. 注意：忽略根号外的系数，只对比被开方数，非最简二次根式不能直接判断。 【典例1】．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 跟随训练1-1．下列二次根式，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 二次根式的加减运算】 解题思路 1. 化简：将每个二次根式化为最简二次根式； 2. 找同类：找出所有同类二次根式（被开方数相同）； 3. 合并：同类二次根式的系数相加、减，被开方数不变；非同类二次根式直接保留。 【典例2】．计算结果正确的是（   ） A． B．1 C． D．不能计算 跟随训练2-1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 二次根式的混合运算】 解题思路 1. 定顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内； 2. 分步算：乘除运算按19.2法则，加减运算先化简再合并同类二次根式； 3. 化最简：每一步运算后，及时化简，最终结果需为最简二次根式。 【典例3】．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 跟随训练3-1．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．计算： (1)； (2)． 【题型4 分母有理化】 解题思路 1. 找因式：根据分母的形式，确定对应的有理化因式； 2. 同乘变形：分子分母同时乘有理化因式，消去分母中的根号； 3. 化最简：化简分子、分母，确保结果为最简形式（无分母根号、无开尽方部分）。 【典例4】．计算：． 跟随训练4-1．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 跟随训练4-2．在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【题型5 已知字母的化简求值】 解题思路 1. 验范围：确认字母取值使二次根式有意义（被开方数非负、分母不为0）； 2. 化简：将待求值的二次根式化为最简形式； 3. 代入：将字母取值代入最简式，计算得出结果（注意符号和运算顺序）。 【典例5】．计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 跟随训练5-1．已知． (1)求的值； (2)求的值． 跟随训练5-2．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【题型6 已知条件式，化简求值】 解题思路 1. 化简条件式：将已知条件式（含二次根式）化为最简，或变形得出字母的关系（如平方、倒数关系）； 2. 化简待求式：将待求值的二次根式化为最简，结合条件式变形，减少运算量； 3. 代入求值：将化简后的条件式代入待求式，计算得出结果（优先整体代入，简化运算）。 【典例6】．已知：，求代数式的值． 跟随训练6-1．已知：，求代数式的值． 跟随训练6-2．已知，判断和的正负并求的值． 【题型7 比较二次根式的大小】 解题思路 分情况选方法，优先选简便方法： 1. 平方法：两个正数型二次根式，两边平方，平方大的原数大； 2. 作差法：两式相减，差为正则前者大，差为负则后者大； 3. 估值法：估算每个二次根式的近似值（保留1-2位小数），再直接比较。 【典例7】．比较大小： (1)与 (2)与 跟随训练7-1．比较大小： (1)与． (2)与． 跟随训练7-2．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【题型8 二次根式的应用】 解题思路 1. 列算式：根据实际问题的题意，列出含二次根式的加减（或混合）算式； 2. 算结果：化简二次根式，按运算顺序计算算式，得出结果； 3. 验意义：结合实际问题，检验结果是否合理（如长度、面积不能为负）。 【典例8】．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 跟随训练8-1．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 跟随训练8-2．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【题型9 复合二次根式的化简】 解题思路 1. 凑完全平方：将复合二次根式的被开方数，凑成 的形式； 2. 开方化简：根据完全平方形式，开方得出结果（注意结果为非负数）； 3. 验最简：检查结果是否为最简二次根式，若可合并同类项，需进一步整理。 【典例9】．阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 跟随训练9-1．问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 跟随训练9-2．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 3．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 4．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 6．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 9．已知最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 10．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为 ． 11．若，则的值为 ． 12．若，则 ． 13．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 14．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的 段． 15．已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则 ． 16．计算： 17．先化简，再求值：，其中． 18．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 19．已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)若，求的值． 20．【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法与减法同步培优讲义 （8知识点+9题型+过关检测） 【题型1 同类二次根式】 3 【题型2 二次根式的加减运算】 4 【题型3 二次根式的混合运算】 6 【题型4 分母有理化】 7 【题型5 已知字母的化简求值】 11 【题型6 已知条件式，化简求值】 13 【题型7 比较二次根式的大小】 16 【题型8 二次根式的应用】 19 【题型9 复合二次根式的化简】 22 · 理解同类二次根式的定义，能快速判断两个（或多个）二次根式是否为同类二次根式； · 掌握二次根式加减运算的法则，能熟练进行二次根式的加减运算，做到准确无误； · 掌握二次根式混合运算的顺序和技巧，能规范完成含加减、乘除的混合运算； 03 知识•梳理 知识点1. 同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 关键提醒：① 判断同类二次根式的前提：必须先将所有二次根式化为最简二次根式；② 同类二次根式只与被开方数有关，与根号外的系数无关（如 与 是同类二次根式）；③ 几个不是最简的二次根式，即使被开方数相同，也不一定是同类二次根式（如 与 ，化简后被开方数不同，不是同类二次根式）。 知识点2. 二次根式的加法与减法法则 法则：二次根式加减时，先将各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式的系数相加、减，被开方数保持不变（非同类二次根式不能合并）。 关键提醒：① 核心步骤：先化简，再合并；② 非同类二次根式（如 与 ）不能合并，直接保留原式即可；③ 合并同类二次根式的方法，类似整式加减中合并同类项。 知识点3. 二次根式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。 关键提醒：① 运算过程中，所有二次根式需化为最简，同类二次根式及时合并；② 乘除运算遵循19.2的法则，加减运算遵循本节法则，避免混淆；③ 运算时注意符号变化，避免计算失误。 知识点4. 分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 核心方法：利用分式的基本性质，分子分母同乘分母的有理化因式（与分母相乘后不含根号的式子），常见类型： ① 分母为 （）：有理化因式为，即 ； ② 分母为 （）：有理化因式为 （平方差公式），即 。 知识点5. 二次根式的化简求值 核心思路：先将二次根式化为最简，再代入已知条件（或化简已知条件式），最后计算求值，避免直接代入未化简的式子，减少运算量。 关键提醒：代入字母取值时，需先确认字母取值使二次根式有意义（被开方数非负、分母不为0）。 知识点6. 二次根式的大小比较 常用方法：① 平方法（两边同时平方，比较平方后的大小，适用于两个正数）；② 作差法（两式相减，判断差的正负）；③ 估值法（估算二次根式的近似值，再比较大小）。 知识点7. 二次根式的应用 核心：将实际问题转化为二次根式的加减或混合运算，先根据题意列出算式，再化简计算，最后结合实际意义检验结果。 知识点8. 复合二次根式的化简 定义：被开方数中含有二次根式的式子，叫做复合二次根式（如 ）。 基本方法：将被开方数化为完全平方形式（），再开方化简（结果需为非负数）。 04 题型•汇总 【题型1 同类二次根式】 解题思路 1. 化简：将所有待判断的二次根式，全部化为最简二次根式； 2. 对比：观察化简后所有二次根式的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式； 3. 注意：忽略根号外的系数，只对比被开方数，非最简二次根式不能直接判断。 【典例1】．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 跟随训练1-1．下列二次根式，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的判断，需先将所有二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”进行判断． 【详解】∵， 对于选项A：已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式； 对于选项B：，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式； 对于选项C：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项D：已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式． 故选：C． 跟随训练1-2．下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与是同类二次根式的，则能与合并，与不是同类二次根式的，则不能与合并． 本题主要考查二次根式的化简和同类二次根式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能与合并；     B. 与不是同类二次根式，不能与合并；         C. 与不是同类二次根式，不能与合并；     D. ，与是同类二次根式，能与合并． 故选：D． 【题型2 二次根式的加减运算】 解题思路 1. 化简：将每个二次根式化为最简二次根式； 2. 找同类：找出所有同类二次根式（被开方数相同）； 3. 合并：同类二次根式的系数相加、减，被开方数不变；非同类二次根式直接保留。 【典例2】．计算结果正确的是（   ） A． B．1 C． D．不能计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的减法运算，先化简二次根式，再根据二次根式的减法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 跟随训练2-1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算． 依据二次根式的运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能直接相加，原计算不正确，不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能直接相加，原计算不正确，不符合题意； C．与不能直接相减，原计算不正确，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意． 故选：D． 跟随训练2-2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．运用同类二次根式的加减法则及二次根式的乘除法则一一判断选项正误即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、∵和不是同类二次根式，不能直接合并，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 【题型3 二次根式的混合运算】 解题思路 1. 定顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内； 2. 分步算：乘除运算按19.2法则，加减运算先化简再合并同类二次根式； 3. 化最简：每一步运算后，及时化简，最终结果需为最简二次根式。 【典例3】．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，该表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 跟随训练3-1．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 跟随训练3-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型4 分母有理化】 解题思路 1. 找因式：根据分母的形式，确定对应的有理化因式； 2. 同乘变形：分子分母同时乘有理化因式，消去分母中的根号； 3. 化最简：化简分子、分母，确保结果为最简形式（无分母根号、无开尽方部分）。 【典例4】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的分母有理化、平方差公式的应用以及分式的化简运算．先对两个分式分别进行分母有理化，第一个分式通过分子分母同乘消去分母中的根号，第二个分式利用平方差公式消去分母中的根式，再将化简后的两项进行合并计算，最终得到结果． 【详解】解： ． 跟随训练4-1．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 原式 ． （2）解：， ， ，即， ， ． 跟随训练4-2．在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值； （1）通过分母有理化，将分母乘以后化简． （2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消． （3）先将分母有理化得到，然后通过变形，平方后得到，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：9； （3）解：∵， ∴， ∴，则，即， ∴． 【题型5 已知字母的化简求值】 解题思路 1. 验范围：确认字母取值使二次根式有意义（被开方数非负、分母不为0）； 2. 化简：将待求值的二次根式化为最简形式； 3. 代入：将字母取值代入最简式，计算得出结果（注意符号和运算顺序）。 【典例5】．计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 跟随训练5-1．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：， ；， （2）由（1）可知：，． ． 跟随训练5-2．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先对分式进行化简，然后代数求值即可； （2）先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： 将代入上式得， 原式； （2）解： 将代入上式得， 原式． 【题型6 已知条件式，化简求值】 解题思路 1. 化简条件式：将已知条件式（含二次根式）化为最简，或变形得出字母的关系（如平方、倒数关系）； 2. 化简待求式：将待求值的二次根式化为最简，结合条件式变形，减少运算量； 3. 代入求值：将化简后的条件式代入待求式，计算得出结果（优先整体代入，简化运算）。 【典例6】．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 跟随训练6-1．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 跟随训练6-2．已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 【题型7 比较二次根式的大小】 解题思路 分情况选方法，优先选简便方法： 1. 平方法：两个正数型二次根式，两边平方，平方大的原数大； 2. 作差法：两式相减，差为正则前者大，差为负则后者大； 3. 估值法：估算每个二次根式的近似值（保留1-2位小数），再直接比较。 【典例7】．比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的大小比较，核心方法是：对于正数，通过平方转化为有理数比较；对于负数，先比较绝对值(平方后比较)，再根据“绝对值大的负数更小”判断． 【详解】（1）解：先计算两数的平方： ， ， 又，且，， ； （2）解：先计算两数的绝对值并平方： ，， ，， 又， ， 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小， ． 跟随训练7-1．比较大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小即可，或利用平方法进行比较； （2）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小，两个负数比较大小，被开方数越大，原数越小；或利用平方法进行比较，两个负数比较大小，平方后的数越大，原数越小． 【详解】（1）解：， ． ， ． 【一题多解法】，． ， ． （2）解：， ． ， ． 【一题多解法】，，，， 而， ． 跟随训练7-2．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 【题型8 二次根式的应用】 解题思路 1. 列算式：根据实际问题的题意，列出含二次根式的加减（或混合）算式； 2. 算结果：化简二次根式，按运算顺序计算算式，得出结果； 3. 验意义：结合实际问题，检验结果是否合理（如长度、面积不能为负）。 【典例8】．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 跟随训练8-1．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． ()根据证明过程补全即可； ()根据已知结论，得出，求出的值即可； ()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：； （2）解：由题意可知，， ∴，即， 故答案为：. （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得： ∴， ∴， ∴． 跟随训练8-2．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 【题型9 复合二次根式的化简】 解题思路 1. 凑完全平方：将复合二次根式的被开方数，凑成 的形式； 2. 开方化简：根据完全平方形式，开方得出结果（注意结果为非负数）； 3. 验最简：检查结果是否为最简二次根式，若可合并同类项，需进一步整理。 【典例9】．阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 跟随训练9-1．问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 跟随训练9-2．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)当 时，最小值为 【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较大． （1）把变形为即可求解； （2）把变形为即可求解； （3）把变形为即可求解； （4）把变形为，进而变形为，根据“均值不等式”结论得到，进而得到，从而得到当且仅当即时，等号成立，原式的最小值为3． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：； （3）解：； 故答案为： （4）解：条件可得， ∴ ∵， ∴ ， ∴当且仅当即时，等号成立， ∴原式的最小值为3． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算及二次根式的平方差公式应用，根据合并同类项、积的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵合并同类项法则：同类项系数相加，字母及指数不变 ∴，故A选项错误； ∵积的乘方法则：，且负号在括号外， ∴，故B选项错误； ∵平方差公式：，这里，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 2．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 3．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减法应用，根据三角形周长公式，将三边长相加合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：三角形的周长 ． 故选：C． 4．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 5．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 【详解】解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 6．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 7．下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：A. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； B. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，化简后为整数，故与不是同类二次根式，故选项不符合题意； D. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 8．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键． 根据流程图的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意，当输入时，， ∵， ∴循环计算； 当输入时，， ∵， ∴输出的结果为． 故选：C． 9．已知最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 10．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为3和9， ∴它们的边长分别为：和3， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 11．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算． 根据算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：因为，且和， 所以和． 解得， ∴． 故答案为． 12．若，则 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质及二次根式的运算，熟练掌握根据被开方数非负确定字母取值范围并化简绝对值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再依据绝对值的性质化简方程，通过移项、两边平方求出的表达式，最终计算出目标代数式的值． 【详解】解：由有意义，得， 所以． 代入方程得 ，即． 两边平方得， 所以． 因此， 故答案为：2026． 13．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定，代数式求值，提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式简化计算是解题的关键． 根据的小数部分确定的整数部分，再代入表达式计算． 【详解】解：的小数部分， ， 故整数部分，小数部分 代入： 原式 故答案为：． 14．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的 段． 【答案】② 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，无理数的估算，掌握二次根式的性质是解题关键．根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段数即可． 【详解】解：， ， ， 表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段， 故答案为：② 15．已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，设，，根据完全平方公式可求出的值，进而求出的值，再根据条件确定、、、的值，最后计算的值即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∵为正整数，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设， ∴ ， ∵为正整数且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，． ∴． ∴ ， 故答案为：． 16．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算．先根据二次根式的乘法，二次根式的性质化简，再合并即可求解． 【详解】解： 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 19．已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． （1）直接利用分母有理化即可解答； （2）先利用分母有理化得到规律，再根据规律化简，然后再计算即可； （3）先分母有理化可得，即，进而得到，再对变形，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ∴ ． （3）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 20．【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解题的关键． （）仿照例题中求解过程解答即可； （）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $