19.2二次根式的乘法与除法同步培优讲义（5知识点+6题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

19.2二次根式的乘法与除法同步培优讲义 （5知识点+6题型+过关检测） 【题型1 二次根式的乘法】 2 【题型2 二次根式的除法】 2 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 3 【题型4 最简二次根式的判断】 3 【题型5 化为最简二次根式】 4 【题型6 已知最简二次根式求参数】 4 · 掌握二次根式乘法、除法的法则，能熟练进行二次根式的乘除运算； · 掌握二次根式乘除混合运算的顺序和方法，能准确计算混合运算题目； · 理解最简二次根式的定义，能快速判断一个二次根式是否为最简二次根式； · 熟练掌握将二次根式化为最简二次根式的方法，规避化简易错点； 03 知识•梳理 知识点1. 二次根式的乘法法则 法则：（其中 ，）。 关键提醒：① 前提条件：被开方数均为非负数，否则运算无意义；② 可逆用：（，），用于化简二次根式；③ 多个二次根式相乘，可合并为一个根式相乘，即（）。 知识点2. 二次根式的除法法则 法则：（其中 ，）。 关键提醒：① 前提条件：被开方数 ，分母 （分母不能为0）；② 可逆用：（，）；③ 结果需化为最简二次根式。 知识点3. 二次根式的乘除混合运算 运算顺序：从左到右依次进行，可先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），再按乘法法则计算；也可直接结合乘除法则，合并为一个根式运算。 关键提醒：① 运算过程中，所有被开方数需满足非负性（除法中分母对应被开方数大于0）；② 最终结果必须化为最简二次根式。 知识点4. 最简二次根式的定义 同时满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被开方数的因数是整数、因式是整式，且不含有平方数因子）。 关键提醒：最简二次根式的被开方数，既无分母，也无开得尽方的部分，如 、 是最简二次根式，、 不是最简二次根式。 知识点5. 化为最简二次根式的方法 核心：消除被开方数中的分母、开尽方的因数或因式，步骤简洁总结为“去分母、开尽方”。 具体方法：① 去分母：利用分式性质，将被开方数的分母转化为整数（分子分母同乘分母的有理化因式）；② 开尽方：将被开方数分解因数（或因式），把能开得尽方的部分开出来，化为系数。 04 题型•汇总 【题型1 二次根式的乘法】 解题思路 1. 验条件：确认两个被开方数均非负（，），否则无意义； 2. 用法则：套用 ，合并为一个根式； 3. 化最简：将结果化为最简二次根式（开尽方、去分母）。 【典例1】．已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为 ． 跟随训练1-1．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 跟随训练1-2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 二次根式的除法】 解题思路 1. 验条件：确认 ，（分母不能为0）； 2. 用法则：套用 ，合并为一个根式； 3. 化最简：去分母、开尽方，将结果化为最简二次根式。 【典例2】．计算的结果是（    ） A．5 B．3 C． D． 跟随训练2-1．计算： (1)． (2)（）． 跟随训练2-2．运算能力计算： (1)； (2)． 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 解题思路 1. 定顺序：从左到右，将除法转化为乘法（）； 2. 合并算：统一按乘法法则，合并为一个根式 （，）； 3. 化最简：最终结果必须为最简二次根式，避免含分母、开不尽方的部分。 【典例3】．化简： (1)； (2)． 跟随训练3-1．计算：． 跟随训练3-2．计算：． 【题型4 最简二次根式的判断】 解题思路 对照最简二次根式的两个核心条件，缺一不可： 1. 查分母：被开方数是否含有分母，有则不是； 2. 查开方：被开方数是否含有能开得尽方的因数/因式（如4、9、等），有则不是； 3. 下结论：同时满足两个条件，即为最简二次根式。 【典例4】．下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 化为最简二次根式】 解题思路 分两步，先去分母，再开尽方： 1. 去分母：若被开方数有分母，分子分母同乘分母（或有理化因式），消去分母； 2. 开尽方：将被开方数分解因数/因式，把能开得尽方的部分开出来，化为系数； 3. 验结果：检查结果是否满足“无分母、无开尽方部分”，确保为最简。 【典例5】．把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 跟随训练5-1．将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．下列各式化成最简二次根式正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 解题思路 核心：根据最简二次根式的两个条件，列方程（或不等式）求解参数： 1. 无分母：若被开方数含参数的分母，令分母不为0且化简后无分母，列等式； 2. 无开尽方：令被开方数中能开得尽方的因数/因式的次数为偶数，且系数为1，列方程； 3. 验范围：结合二次根式有意义的条件（被开方数非负），筛选参数取值，确保符合所有条件。 【典例6】．若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 跟随训练6-1．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 跟随训练6-2．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 3．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 4．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 5．计算：（   ） A． B．10 C． D． 6．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 8．下列命题中真命题的个数有（    ） ①是最简二次根式；②任何一个定理都有逆定理；③不带根号的数一定是有理数；④两直线平行，内错角相等；⑤平方根等于本身的数是0和1；⑥两边分别相等的两个直角三角形全等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．计算： ． 10．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 11．化简的结果是 ． 12．计算的结果是 ． 13．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 15．先化简，再求值：，其中 16．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 17．跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 18．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次根式的乘法与除法同步培优讲义 （5知识点+6题型+过关检测） 【题型1 二次根式的乘法】 1 【题型2 二次根式的除法】 2 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 4 【题型4 最简二次根式的判断】 5 【题型5 化为最简二次根式】 7 【题型6 已知最简二次根式求参数】 9 · 掌握二次根式乘法、除法的法则，能熟练进行二次根式的乘除运算； · 掌握二次根式乘除混合运算的顺序和方法，能准确计算混合运算题目； · 理解最简二次根式的定义，能快速判断一个二次根式是否为最简二次根式； · 熟练掌握将二次根式化为最简二次根式的方法，规避化简易错点； 03 知识•梳理 知识点1. 二次根式的乘法法则 法则：（其中 ，）。 关键提醒：① 前提条件：被开方数均为非负数，否则运算无意义；② 可逆用：（，），用于化简二次根式；③ 多个二次根式相乘，可合并为一个根式相乘，即（）。 知识点2. 二次根式的除法法则 法则：（其中 ，）。 关键提醒：① 前提条件：被开方数 ，分母 （分母不能为0）；② 可逆用：（，）；③ 结果需化为最简二次根式。 知识点3. 二次根式的乘除混合运算 运算顺序：从左到右依次进行，可先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），再按乘法法则计算；也可直接结合乘除法则，合并为一个根式运算。 关键提醒：① 运算过程中，所有被开方数需满足非负性（除法中分母对应被开方数大于0）；② 最终结果必须化为最简二次根式。 知识点4. 最简二次根式的定义 同时满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被开方数的因数是整数、因式是整式，且不含有平方数因子）。 关键提醒：最简二次根式的被开方数，既无分母，也无开得尽方的部分，如 、 是最简二次根式，、 不是最简二次根式。 知识点5. 化为最简二次根式的方法 核心：消除被开方数中的分母、开尽方的因数或因式，步骤简洁总结为“去分母、开尽方”。 具体方法：① 去分母：利用分式性质，将被开方数的分母转化为整数（分子分母同乘分母的有理化因式）；② 开尽方：将被开方数分解因数（或因式），把能开得尽方的部分开出来，化为系数。 04 题型•汇总 【题型1 二次根式的乘法】 解题思路 1. 验条件：确认两个被开方数均非负（，），否则无意义； 2. 用法则：套用 ，合并为一个根式； 3. 化最简：将结果化为最简二次根式（开尽方、去分母）。 【典例1】．已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是关键． 根据长方形的面积等于长乘以宽，代入数值计算，并化简二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 跟随训练1-1．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算及无理数的估算，先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴在1和2之间， 故选：B． 跟随训练1-2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的算术平方根，先计算被开方数的值，再根据算术平方根的性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：和在实数范围内无意义，原运算错误，不符合题意； 选项B：，原运算错误，不符合题意， 选项C：，原运算正确，符合题意； 选项D：，原运算错误，不符合题意， 故选：C． 【题型2 二次根式的除法】 解题思路 1. 验条件：确认 ，（分母不能为0）； 2. 用法则：套用 ，合并为一个根式； 3. 化最简：去分母、开尽方，将结果化为最简二次根式。 【典例2】．计算的结果是（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的除法运算，（，），据此求解即可． 【详解】解： 故选：C． 跟随训练2-1．计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 跟随训练2-2．运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 解题思路 1. 定顺序：从左到右，将除法转化为乘法（）； 2. 合并算：统一按乘法法则，合并为一个根式 （，）； 3. 化最简：最终结果必须为最简二次根式，避免含分母、开不尽方的部分。 【典例3】．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算及化简，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再计算二次根式的乘法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得，， 原式． 跟随训练3-1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 跟随训练3-2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【题型4 最简二次根式的判断】 解题思路 对照最简二次根式的两个核心条件，缺一不可： 1. 查分母：被开方数是否含有分母，有则不是； 2. 查开方：被开方数是否含有能开得尽方的因数/因式（如4、9、等），有则不是； 3. 下结论：同时满足两个条件，即为最简二次根式。 【典例4】．下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定，依据最简二次根式的定义：被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵的被开方数不含分母，且7不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义， ∴A选项符合题意， ∵，被开方数含分母，不是最简二次根式， ∴B选项不符合题意， ∵，被开方数含分母，不是最简二次根式， ∴C选项不符合题意， ∵，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式， ∴D选项不符合题意， 故选：A 跟随训练4-1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式的定义，解题关键是熟练掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义（被开方数的因数是整数或整式，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）逐一分析选项即可． 【详解】解：选项，的被开方数是分数，不是最简二次根式； 选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项，，被开方数是分数，不是最简二次根式； 选项，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式． 故选：． 跟随训练4-2．下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 需根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：对于选项A，的被开方数5是整数，且5不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义； 对于选项B， ，被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义； 对于选项C，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式的定义； 对于选项D，的被开方数含分母，且4是能开得尽方的因数，不符合最简二次根式的定义； 故选：A． 【题型5 化为最简二次根式】 解题思路 分两步，先去分母，再开尽方： 1. 去分母：若被开方数有分母，分子分母同乘分母（或有理化因式），消去分母； 2. 开尽方：将被开方数分解因数/因式，把能开得尽方的部分开出来，化为系数； 3. 验结果：检查结果是否满足“无分母、无开尽方部分”，确保为最简。 【典例5】．把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将写成，然后利用进行化简即可； （2）先将写成，然后利用进行化简即可； （3）先将写成，然后利用进行化简即可； 本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 跟随训练5-1．将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用二次根式的性质将被开方数分解出完全平方数，同时注意算术平方根的非负性． 【详解】解：； 故选：A． 跟随训练5-2．下列各式化成最简二次根式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的化简，关键是掌握最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，而选项中的中还能继续化简，不是最简二次根式，故A错误； ，选项中的分母含有根号，不符合最简二次根式的要求，故B错误； ，该结果满足最简二次根式的两个条件，故C正确； ，选项中的化简错误，故D错误； 故选：C． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 解题思路 核心：根据最简二次根式的两个条件，列方程（或不等式）求解参数： 1. 无分母：若被开方数含参数的分母，令分母不为0且化简后无分母，列等式； 2. 无开尽方：令被开方数中能开得尽方的因数/因式的次数为偶数，且系数为1，列方程； 3. 验范围：结合二次根式有意义的条件（被开方数非负），筛选参数取值，确保符合所有条件。 【典例6】．若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 跟随训练6-1．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 跟随训练6-2．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根、二次根式的乘法运算、完全平方公式及算术平方根的性质，需根据相应法则逐一计算各选项判断正误． 【详解】解：∵， ∴，故A错误． ∵， ∴B正确． ∵， ∴C错误． ∵ ∴D错误． 故选：B． 2．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟练应用定义．由最简二次根式需满足：①被开方数不含能开尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A：，含有能开尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B：，不是最简二次根式，不符合题意； C：  被开方数不含能开尽方的因数或因式且不含分母，是最简二次根式，符合题意； D：被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 3．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可． 本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 故选：A． 4．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 5．计算：（   ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握二次根式乘法运算法则． 需结合有理数乘法的符号法则与二次根式乘法法则求解． 【详解】解：， 故选：C． 6．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故不属于最简二次根式，不符合题意； B、属于最简二次根式，符合题意； C、，故不属于最简二次根式，不符合题意； D、，故不属于最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 7．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先利用乘法分配律化简原式，再通过估算结果的取值范围，推导得出原式的取值范围． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴原式的值在5和6之间． 故选：A． 8．下列命题中真命题的个数有（    ） ①是最简二次根式；②任何一个定理都有逆定理；③不带根号的数一定是有理数；④两直线平行，内错角相等；⑤平方根等于本身的数是0和1；⑥两边分别相等的两个直角三角形全等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，逆命题的定义，有理数与无理数，平行线的性质，平方根及直角三角形全等判定，要判断每个命题的真假，需结合相关数学概念逐一分析即可． 【详解】解：①被开方数不含分母且无完全平方因数，是最简二次根式，为真命题； ②定理的逆命题不一定成立（如“对顶角相等”的逆命题假），故为假命题； ③不带根号的数可能为无理数（如π），故为假命题； ④两直线平行，内错角相等，为真命题； ⑤平方根等于本身的数只有0（1的平方根为，），故为假命题； ⑥假设一个直角三角形的一条直角边为4，另一条直角边为5，此时斜边为，另一个直角三角形的一条直角边为4，斜边为5，此时另一条直角边为3，此时两个直角三角形不全等，故为假命题， ∴真命题为①④，共2个， 故选：C． 9．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉计算是解题的关键． 利用二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为3． 10．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 11．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 根据二次根式的性质和绝对值的定义，二次根式的乘法，结合给定条件化简即可． 【详解】解： ． ，， ，， 原式， 故答案为：． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，直接计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 15．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、二次根式的代入求值．熟悉分式的混合运算法则，运用平方差公式进行因式分解，以及二次根式的代入求值与分母有理化的计算，是解题的关键． 根据分式的混合运算法则，先计算括号内的算式，经过通分，除法转化为乘法，因式分解，约分等步骤后得到最简分式，代入，并进行分母有理化即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 16．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据长方形的面积除以一条边等于另一条边，求出b即可； （2）根据长方形的面积除以一条边等于另一条边，求出a即可． 【详解】（1）解：根据题意得：b； （2）解：根据题意得：a． 17．跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【答案】(1)下落的时间为秒； (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时：， 答：下落的时间为秒； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 18．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $