19.1二次根式及其性质同步培优讲义（5知识点+5题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

19.1二次根式及其性质同步培优讲义 （5知识点+5题型+过关检测） 【题型1 二次根式的定义】 1 【题型2 求二次根式的值】 2 【题型3 求二次根式中的参数】 3 【题型4 二次根式有意义的条件】 5 【题型5 利用二次根式的性质化简】 6 理解二次根式的定义，能准确判断一个式子是否为二次根式，掌握二次根式的表示方法； 熟练掌握二次根式的值的求解方法，能根据已知字母的取值，计算二次根式的具体数值； 掌握求二次根式中参数（字母）取值范围的思路，能结合二次根式有意义的条件、非负性等求解参数； 知识点1. 二次根式的定义 一般地，形如 （其中 ）的式子叫做二次根式。 关键提醒：① 二次根式的两个核心特征：含有二次根号“”、被开方数a是非负数（），缺一不可；② 二次根号“”的次数是2（省略不写），区别于三次根式等；③ 被开方数a可以是具体的数、单项式、多项式等，但必须满足非负性；④ 二次根式的结果（值）一定是非负数（）。 知识点2. 二次根式的值 二次根式 （）的值，是指当字母（若有）取符合条件的数值时，通过计算得到的结果，其结果一定是非负数。 关键提醒：求二次根式的值时，需先确认字母的取值是否使被开方数为非负数，再代入计算，最后化简结果（若可化简）。 知识点3. 二次根式中的参数问题 二次根式中的参数，通常是指被开方数、根号外的字母，求解参数取值范围时，核心围绕“被开方数非负”“二次根式有意义”“结合其他条件（如分母不为0等）”展开，本质是解不等式（组）。 知识点4. 二次根式有意义的条件 核心条件：被开方数为非负数，即 （对于 ）。 拓展条件：若二次根式在分母上（如 ），则除了满足被开方数非负，还需满足分母不为0，即 ；若二次根式与其他式子结合，需同时满足所有式子有意义的条件。 知识点5. 二次根式的核心性质（重点） 性质1：（其中 ）。 解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数本身；注意条件 不可省略，若 ， 无意义。 性质2：。 解读：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值；核心是“先平方，再开方，结果取非负”，需根据字母的正负性去掉绝对值符号，这是化简的核心难点。 补充性质：二次根式具有非负性，即 （）；若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0（如 ，则 ，）。 【题型1 二次根式的定义】 解题思路： 查符号：必须含有二次根号 “​”。 定正负：被开方数必须大于或等于 0（a≥0）。 结论：两者同时满足才是二次根式。 【典例1】．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 跟随训练1-1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 跟随训练1-2．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【题型2 求二次根式的值】 解题思路： 验：确认代入的数值使被开方数非负。 代：将数值代入被开方数进行计算。 算：求出算术平方根（结果必为非负数）。 【典例2】．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 跟随训练2-1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 跟随训练2-2．当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】直接把的值代入进而得出答案． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 【题型3 求二次根式中的参数】 解题思路： 找条件： 普通型：被开方数 ≥0。 分母型：被开方数 >0（分母不能为 0）。 列不等式（组）：根据条件列出不等式。 解：解出参数的取值范围。 【典例3】．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 跟随训练3-1．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 跟随训练3-2．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 【题型4 二次根式有意义的条件】 解题思路： 核心：令被开方数 a≥0。 叠加：若在分母，需额外满足 a≠0。 综合：多个根式共存时，取所有条件的公共解。 【典例4】．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）及分式有意义的条件（分母不为0），逐一判断各选项在为任意实数时是否有意义． 【详解】解：对选项A：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项B：分母，当时式子无意义，虽分子中，但为任意实数包含，不符合题意 对选项C：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项D：∵为任意实数，，∴，被开方数始终为正，∴在实数范围内一定有意义，符合题意 故选：D． 跟随训练4-1．二次根式中，字母的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数即可求解，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， 故答案为：． 跟随训练4-2．二次根式在实数范围内有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得到，进而解出不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，即，解得． 故答案为． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 解题思路 · 利用性质1：（）化简 · 利用性质2 ： 化简（重点、难点） 1 第一步：先将被开方数化为“一个数的平方”形式（若已为平方形式，直接下一步）； 2 第二步：运用性质2，将二次根式化为绝对值形式 ； 3 第三步：判断绝对值里面的字母（或式子）的正负性： 【典例5】．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、平方根、算术平方根和立方根的意义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的意义是解决本题的关键，尤其要注意平方根与算术平方根的区别与联系． 根据平方根、算术平方根和立方根的意义、二次根式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，故原计算错误，选项符合题意； B、，故原计算正确，选项不符合题意； C、，故原计算正确，选项不符合题意； D、，故原计算正确，选项不符合题意； 故选：A． 跟随训练5-1．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质进行计算． 先计算，再化简二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 跟随训练5-2．化简：（   ） A．8 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；将18分解为，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：； 故选C． 05 过关•检测 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，需依据“形如且根指数为2的式子是二次根式”来判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，被开方数为负数，式子无意义，不是二次根式，故A不符合题意； B选项：的根指数为2（省略不写），被开方数，符合二次根式定义，是二次根式，故B符合题意； C选项：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D选项：，，，被开方数为负，式子无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 2．已知是整数，则满足条件的最大整数为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质，先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再化简二次根式，结合结果为整数的要求，分析为完全平方数，进而找出最大的整数m． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ， ∵是整数， ∴为整数，即是完全平方数（含0）， 要使m为最大整数，且，当时，，此时是整数，满足条件，且0是满足条件的整数中最大的， ∴ 满足条件的最大整数m为0． 故选：D． 3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，根据二次根式性质与分式的符号性质求解，先确定分母的取值范围，再根据分式小于0的条件确定分子的范围，最后取两者交集得到x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数需大于等于0，且分母不能为0， ∴， 解得， ∵分式，且， ∴分子， 解得， ∴综合两个不等式的解，x的取值范围是． 故选：C． 4．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可． 本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 故选：A． 5．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则原式 ． 故选：A． 7．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 8．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 10．比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，掌握通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：计算 ，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 11．如果的化简结果与无关，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，化简二次根式，利用绝对值和平方的非负性，求出 m 和 n 的值，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．若，，则用含，的代数式表示是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、含字母的根式化简，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再用字母表示数即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 14．为了化简，同学们提出下列三种变形方法，其中正确的是 （填所有正确的序号）． ；；． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知二次根式的相关运算法则．通过检查每种变形是否等价于原式 来判断正确性． 【详解】解：对于：右边，而原式，相等，故正确； 对于：右边，而原式，故错误； 对于：右边，等于原式，故正确； 故答案为：． 15．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）运用二次根式的性质化简； （2）运用二次根式的性质化简； （3）运用二次根式的性质化简； （4）运用二次根式的性质化简； （5）先逆用积的乘方法则和幂的乘方法则，再运用二次根式的性质化简． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 16． 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、实数的混合运算，解决本题的关键是把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． (1)根据二次根式的性质，把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； (2)把二次根式化为最简二次根式，根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再合并二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程： (1)填空：______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小明； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简求值即可得解； （2）根据二次根式的性质化简求值即可得解． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴ ， ∴小明的计算错误，小颖的计算正确． 故答案为：小明． （2）解：当时，， ∴ ． 18．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 19．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可得解； （2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示， 点所表示的数为； （2）解：， ， ， 即， ，， ， ， ， ； （法二：， ， ， ， ， ， ）； （3）解：由题可知， ，， ，， ， 的平方根为． 20．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 21．数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程：    解：原式 解：原式    (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 【答案】(1)小明 (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，关键是算术平方根的计算． （1）根据数轴上的点的位置可得，则，进而化简二次根式，即可求解． （2）先求得，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴ ， ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明； （2）解：， ， ∵m是5的算术平方根， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ∵m是5的算术平方根， ∴， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次根式及其性质同步培优讲义 （5知识点+5题型+过关检测） 【题型1 二次根式的定义】 1 【题型2 求二次根式的值】 3 【题型3 求二次根式中的参数】 3 【题型4 二次根式有意义的条件】 3 【题型5 利用二次根式的性质化简】 4 理解二次根式的定义，能准确判断一个式子是否为二次根式，掌握二次根式的表示方法； 熟练掌握二次根式的值的求解方法，能根据已知字母的取值，计算二次根式的具体数值； 掌握求二次根式中参数（字母）取值范围的思路，能结合二次根式有意义的条件、非负性等求解参数； 知识点1. 二次根式的定义 一般地，形如 （其中 ）的式子叫做二次根式。 关键提醒：① 二次根式的两个核心特征：含有二次根号“”、被开方数a是非负数（），缺一不可；② 二次根号“”的次数是2（省略不写），区别于三次根式等；③ 被开方数a可以是具体的数、单项式、多项式等，但必须满足非负性；④ 二次根式的结果（值）一定是非负数（）。 知识点2. 二次根式的值 二次根式 （）的值，是指当字母（若有）取符合条件的数值时，通过计算得到的结果，其结果一定是非负数。 关键提醒：求二次根式的值时，需先确认字母的取值是否使被开方数为非负数，再代入计算，最后化简结果（若可化简）。 知识点3. 二次根式中的参数问题 二次根式中的参数，通常是指被开方数、根号外的字母，求解参数取值范围时，核心围绕“被开方数非负”“二次根式有意义”“结合其他条件（如分母不为0等）”展开，本质是解不等式（组）。 知识点4. 二次根式有意义的条件 核心条件：被开方数为非负数，即 （对于 ）。 拓展条件：若二次根式在分母上（如 ），则除了满足被开方数非负，还需满足分母不为0，即 ；若二次根式与其他式子结合，需同时满足所有式子有意义的条件。 知识点5. 二次根式的核心性质（重点） 性质1：（其中 ）。 解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数本身；注意条件 不可省略，若 ， 无意义。 性质2：。 解读：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值；核心是“先平方，再开方，结果取非负”，需根据字母的正负性去掉绝对值符号，这是化简的核心难点。 补充性质：二次根式具有非负性，即 （）；若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0（如 ，则 ，）。 【题型1 二次根式的定义】 解题思路： 查符号：必须含有二次根号 “​”。 定正负：被开方数必须大于或等于 0（a≥0）。 结论：两者同时满足才是二次根式。 【典例1】．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式的值】 解题思路： 验：确认代入的数值使被开方数非负。 代：将数值代入被开方数进行计算。 算：求出算术平方根（结果必为非负数）。 【典例2】．当时，二次根式的值为 ． 跟随训练2-1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．当时，二次根式的值是 ． 【题型3 求二次根式中的参数】 解题思路： 找条件： 普通型：被开方数 ≥0。 分母型：被开方数 >0（分母不能为 0）。 列不等式（组）：根据条件列出不等式。 解：解出参数的取值范围。 【典例3】．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．若实数x，y满足，则的值为 ． 跟随训练3-2．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【题型4 二次根式有意义的条件】 解题思路： 核心：令被开方数 a≥0。 叠加：若在分母，需额外满足 a≠0。 综合：多个根式共存时，取所有条件的公共解。 【典例4】．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 跟随训练4-1．二次根式中，字母的取值范围是 ． 跟随训练4-2．二次根式在实数范围内有意义的条件是 ． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 解题思路 · 利用性质1：（）化简 · 利用性质2 ： 化简（重点、难点） 1 第一步：先将被开方数化为“一个数的平方”形式（若已为平方形式，直接下一步）； 2 第二步：运用性质2，将二次根式化为绝对值形式 ； 3 第三步：判断绝对值里面的字母（或式子）的正负性： 【典例5】．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 跟随训练5-2．化简：（   ） A．8 B．3 C． D． 05 过关•检测 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是整数，则满足条件的最大整数为（   ） A． B． C． D．0 3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 5．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 6．若，化简：（   ） A． B． C． D．3 7．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 8．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 10．比较大小： ． 11．如果的化简结果与无关，那么的取值范围是 ． 12．若，则 ． 13．若，，则用含，的代数式表示是 ． 14．为了化简，同学们提出下列三种变形方法，其中正确的是 （填所有正确的序号）． ；；． 15．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 16． 计算： (1) (2) 17．求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程： (1)填空：______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 18．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 19．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 20．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 21．数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程：    解：原式 解：原式    (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $