精品解析：四川自贡市田家炳中学2025-2026学年高二上学期12月期末模拟考试数学试题

自贡市田家炳中学高二上数学期末模拟考试 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知点，向量，则向量（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 倾斜角为 C. 方向向量可以为 D. 方向向量可以为 3. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为了了解学生们身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为（ ） A. 40 B. 35 C. 30 D. 25 5. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ） A B. C. D. 6. 如图，点是正方体面内的动点，且点到棱和面的距离相等，则点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 7. 已知，是圆上的两个动点，且，则，两点到直线的距离之和的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知双曲线，则双曲线（ ） A. 焦点坐标为和 B. 渐近线方程为和 C. 离心率为 D. 与直线有且仅有一个公共点 10. 一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在内，则（ ） A. 图中的 B. C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2 D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议 11. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时， C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为______． 13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点．若，且，则C的离心率为______． 四．解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值；若该市有200万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数； （2）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值． 16. 设圆C的圆心在直线上，圆C与直线相切于点 （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于A、B．若，求直线AB的方程． 17. 如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的左右焦点分别，若______． 请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分） ①四点中，恰有三点在椭圆C上． ②椭圆C经过，轴，且． （1）求椭圆C方程； （2）设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得为定值？请证明你的结论． 19. 已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市田家炳中学高二上数学期末模拟考试 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知点，向量，则向量（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算计算即可. 【详解】由，得， 则. 故选：A. 2. 已知直线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 倾斜角为 C. 方向向量可以为 D. 方向向量可以为 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后可计算出倾斜角，由此可判断AB；根据方向向量可求直线斜率，由此可判断CD. 【详解】因为斜率，令，则，故A正确，B错误； 方向向量为时，斜率，故C错误； 方向向量为时，斜率，故D错误； 故选：A. 3. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先求曲线表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系判断选项． 【详解】曲线表示椭圆，即或. 或， “”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 4. 为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为（ ） A. 40 B. 35 C. 30 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据按比例分层抽样的抽样比公式进行求解即可. 【详解】根据按比例分层抽样的抽样可知： 高二年级抽取的人数为. 故选：B 5. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能， 其中满足的数对有，共5种可能， 所以点在直线上的概率是. 故选：C. 6. 如图，点是正方体面内的动点，且点到棱和面的距离相等，则点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义进行判断. 【详解】如图：连接，过做于点. 因为是正方体，点在平面上，所以，所以线段的长度为点到棱的距离， 又，平面，平面平面， 平面平面，所以平面，所以线段的长度为点到平面的距离. 在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，且，所以点的轨迹为抛物线. 故选：C 7. 已知，是圆上的两个动点，且，则，两点到直线的距离之和的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设线段的中点为，由已知求得在圆上，设，两点到直线的距离之和为，到直线的距离为，由题意得，由直线与圆位置关系可得答案． 【详解】解：因为，所以为直角三角形，为斜边， 设线段的中点为，则，从而在圆上， 设，两点到直线的距离之和为，到直线的距离为，由题意得， 圆的圆心到直线的距离为， 所以，即，所以． 故选：D． 8. 已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，有对称性得到另外一条渐近线的斜率，从而得到正确答案. 【详解】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为. 故选:C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知双曲线，则双曲线（ ） A. 焦点坐标为和 B. 渐近线方程为和 C. 离心率为 D. 与直线有且仅有一个公共点 【答案】CD 【解析】 【分析】A：计算出的值，则焦点坐标可知；B：求出的值，则渐近线方程可知；C：根据可知离心率；D：分析直线与渐近线的关系可知结果. 【详解】A：因为，所以，所以焦点坐标为，故A错误； B：因为，所以渐近线方程为，即，故B错误； C：因为，所以，故C正确； D：因为与渐近线平行，所以与双曲线有且仅有一个交点，故D正确； 故选：CD. 10. 一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在内，则（ ） A. 图中的 B. C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2 D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议 【答案】BCD 【解析】 【分析】频率分布直方图中面积和为1，可判断A选项；由，判断B选项；根据频率分布直方图求平均数和百分位数，可判断C、D. 【详解】由频率分布直方图可知：，解之得，A错误； 评分落在内的有8人，所以，B正确； 评分的平均数为，C正确； ，所以第25百分位数在组，设其为， 则，， 所以甲会被邀请，D正确. 故答案为：BCD 11. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时， C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，，再根据抛物线的定义及借助基本不等式即可判断A；先结合A得到，，再根据题意得到，，进而即可判断B；设，，在准线上的射影为，，，根据题意求得即可判断C；结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程，再抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，从而得到切线方程，再联立准线方程即可求出交点，进而即可判断D． 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则，当且仅当时取等号， 所以 的最小值为，故A正确； 对于B，结合A可得，， 由，得，解得，，故B错误； 对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点， 设，，在准线上的射影为，，， 则，，， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于D，结合A可得，当最小时，不妨取， 则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】求出椭圆的焦距，再利用给定条件结合双曲线离心率求出双曲线实轴长. 【详解】椭圆的半焦距， 依题意，双曲线的半焦距为，而双曲线的离心率，则双曲线实半轴长， 所以该双曲线的实轴长为. 故答案为：8 13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点．若，且，则C的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取线段的中点M，连接，由题意可得，，进而求得，，， 利用，可得，求解即可. 【详解】由题意知，，由椭圆定义， 得，则， ，取线段的中点M，连接，如图所示． 易知，， ． 在中，得， 即，得， 即，又，解得． 故答案为：． 四．解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值；若该市有200万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数； （2）若该市政府希望使居民每月的用水量不超过标准，估计的值． 【答案】（1）；24万 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值；进而求用水量不低于的频率和人数； （2）分析可知，列式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得； 因为全市居民中月均用水量不低于的频率为， 所以估计全市居民中月均用水量不低于的人数为万. 【小问2详解】 因为，， 可知，则，解得. 16. 设圆C的圆心在直线上，圆C与直线相切于点 （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于A、B．若，求直线AB的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出过点的圆的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可求得圆的方程. （2）由（1）结合已知，求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否分类求解即得. 【小问1详解】 由圆C与直线相切于点，得圆心在垂直于直线的直线上， 则直线的斜率为1，方程为，即，由，解得，即点， 圆的半径，所以圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆：，由弦长为2，得圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为，显然点到此直线距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，即直线方程为， 所以直线方程为或. 17. 如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面. （2）取中点，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得且， 而且，又为的中点，则且，于是且， 因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令， 取中点，连接，而为中点，则，有底面， 由正，得，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，令，得，令直线与平面所成的角为， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 18. 已知椭圆的左右焦点分别，若______． 请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分） ①四点中，恰有三点在椭圆C上． ②椭圆C经过，轴，且． （1）求椭圆C的方程； （2）设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得为定值？请证明你的结论． 【答案】（1）条件选择见解析， （2）存在满足要求，证明见解析 【解析】 【分析】（1）若选①：先判断出在椭圆上，然后可求的值，则椭圆方程可求；若选②：先根据条件和椭圆定义表示出，然后结合的值以及勾股定理求解出，则椭圆方程可求； （2）当直线的斜率不存在时，直接分析即可；当直线的斜率存在时，通过联立思想结合求解出所过的定点，然后分析为直角三角形的斜边中点的情况（注意时的特殊情况），由此可确定出的坐标. 【小问1详解】 若选①：因为中有三点在椭圆上， 由于关于原点对称，所以均在椭圆上， 又因为的横坐标相同，所以不在椭圆上，在椭圆上， 所以，所以，所以椭圆的方程为； 若选②：因为轴，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，设，， 因为，所以且， 解得，此时显然不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以 ， 所以， 化简可得，解得或， 当时，过点，显然不符合题意， 当，过定点， 若时，此时为直角三角形且为斜边， 所以当为中点时，，即为定值； 当时，此时重合，取，则，符合情况， 综上所述，存在使得为定值. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略： （1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； （2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 19. 已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【小问1详解】 设双曲线焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． 【小问2详解】 如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $