专题01 空间向量的运算及坐标表示13种重点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题01 空间向量的运算及坐标表示13大重点常考题型 题型一：空间向量的线性运算 题型二：利用空间向量的线性运算求参数 题型三：空间共线向量定理的推论及应用 题型四：空间共面向量定理的推论及应用 题型五：空间向量数量积的运算 题型六：利用空间向量数量积求角度、模、投影向量问题 题型七：空间向量数量积的综合应用 题型八：用空间基底表示向量 题型九：空间向量基本定理及其应用 题型十：求空间点的坐标 题型十一：空间向量运算的坐标表示 题型十二：利用坐标法解决平行、垂直问题 题型十三：利用坐标法求空间向量的数量积、角度、模、投影向量问题 题型一：空间向量的线性运算 1．如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的加减运算法则即可表示出向量. 【解析】在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点， 若 则 故选：A. 2.已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【解析】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 3.在正方体中，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【解析】. 故选：B 4.如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解． 【解析】由已知 . 故选：D． 5.在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【解析】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 6.如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解析】（1）； （2）； （3）. 题型二：利用空间向量的线性运算求参数 7．在四面体中，，，，，为的中点，若，则（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【解析】如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. 8.如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果. 【解析】设, 则 故, 故选：B 9.如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【解析】， 故，，，. 故选：A. 10.在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算，求得，结合已知条件，即可求解. 【解析】如图所示，因为N为BC的中点，所以， 又因为，所以， 因为，所以. 故选：B. 11.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则___________    【答案】1 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【解析】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故答案为：1. 题型三：空间共线向量定理的推论及应用 12．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【解析】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 13.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（  ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【解析】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B. 14.（多选）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【解析】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 15.在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量的运算，结合向量共线定理即可求得使、、三点共线的的值. 【解析】由题意可知， ，，则， ， ，，三点共线，，． 故答案为：. 16.在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则_______ 【答案】 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故答案为： 题型四：空间共面向量定理的推论及应用 17．在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【解析】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 18.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（ ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【解析】由题意可知四点共面，且， 则，所以实数的值为1. 故选：D 19.已知，，，若，，共面，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】D 【分析】由空间向量共面的基本定理求解即可； 【解析】因为共面，所以， 即， 则解得. 故选：D. 20.已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【解析】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 21.已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【解析】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 22.已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【解析】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 故选：B. 23.如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 . 【答案】 【分析】设，结合题目条件，得到，由四点共面得到方程，求出答案. 【解析】设， 其中，为的中点，， 故, 所以，， 因为四点共面，所以，解得 故答案为： 题型五：空间向量数量积的运算 24．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【解析】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得 . 故选：D. 25.如图，在斜三棱柱中，，，，则（ ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【分析】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【解析】 . 故选：C. 26.如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是 . 【答案】2 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【解析】， ； 由题意易知， 则，， 则 故答案为：2 27.如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【解析】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以 . 故答案为： 题型六：利用空间向量数量积求角度、模、投影向量问题 28．已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【解析】由题意，，，，， ， . 故选：D. 29.如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体，利用空间向量的几何运算，得到，利用数量积的运算得，再利用条件，即可求解. 【解析】因为， 所以， 又，， 所以，得到， 故选：A. 30.已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【解析】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 31.在空间四边形中，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【解析】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 32.已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解析】，，， ，， ，，. 故选：C. 33.已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【解析】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：D. 题型七：空间向量数量积的综合应用 34．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【解析】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 35.如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出，再对已知式子化简可得，，从而可得点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，进而可求出的最大值. 【解析】因为，，且两两所成的角均为60°， 所以， ． 由，得， 所以， 由，得， 所以，所以， 因此点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，两个球的半径分别为，， 设点，分别是AB，AC的中点，则， 所以DE的最大值为， 故选：A． 36.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（ ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【解析】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 37.如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（ ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解析】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 38.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【解析】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C. 39.已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【解析】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D. 40.正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果. 【解析】取的中点M，连接， 则，则，即， 故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球. 由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3， 即动点P的轨迹为正方体的外接球. 取的中点N，连接， 则 . 由题可知，，则，， 则. 所以的最小值为， 故选：C. 题型八：用空间基底表示向量 41．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 42.如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理结合空间向量的线性运算即可求解； 【解析】由于底面为等边三角形，所以为其重心， 所以, 所以, 故选：C. 43.如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 【答案】(1)；(2) 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算计算即可. 【解析】（1）； （2）因为，所以， 因为，所以， 则. 44.如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2)-1 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，； （2）设，得到，求出，当时，取得最小值. 【解析】（1）由题意可得 ， 所以 ； （2）设， 因为 ， 所以 ， 故当时，取得最小值，最小值为． 题型九：空间向量基本定理及其应用 45．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先依据空间向量基本定理利用向量、、表示向量，进而求得、、的值，即可求得的值. 【解析】由 又，则，所以， 故选：C． 46.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【解析】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选:A. 47.已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则________ 【答案】0 【分析】推导出，利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合适的选项. 【解析】如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 又因为，且、、不共面，则，， 故，， 故答案为：0. 48.如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明： （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解析】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 49.在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得. 【解析】（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. . （2）， 而，且不共面， 所以. 题型十：求空间点的坐标 50．设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【解析】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 51.（多选）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（ ） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解. 【解析】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 52.三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用中位线和向量的线性运算，将用基底表示，表示系数即为所求坐标. 【解析】 为的中点，为中点，则为的中位线， 故，于是以为基底时，的坐标为. 故答案为： 53.向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为__________ 【答案】 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【解析】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故答案为：． 题型十一：空间向量运算的坐标表示 54．在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令，根据向量的坐标表示求出坐标，进而确定E，F坐标，最后求的坐标即可. 【解析】令，则， 所以， 所以. 故选：D 55.已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标计算可得答案． 【解析】 故选：B. 56.若，，则（ ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】先求出和的向量坐标，再利用向量的数量积公式计算. 【解析】 则. 故选：A. 57.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【解析】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A. 58.在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标； （2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标. 【解析】（1）设点为坐标原点，， 则. ，则； （2），则， 又，因此，； （3）设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 题型十二：利用坐标法解决平行、垂直问题 59．已知空间向量，.若，则（ ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解. 【解析】因为，所以有：， 解得，，所以. 故选：A. 60.已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【解析】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 61.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【解析】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 62.已知，向量，，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【解析】因为向量， ，， 由，则，解得， 由，则，解得，则． 故选：A． 63.（多选）已知向量，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．共面 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算逐项计算判断即可. 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由选项BC知，向量两两垂直，则不共面，D错误. 故选：BC 64.在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果 【解析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（） 则， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为t >0 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 题型十三：利用坐标法求空间向量的数量积、角度、模、投影向量问题 65．已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据点对称的性质可得，进而可得 【解析】由题意，点关于轴的对称点为， 故. 故选：D 66.设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【解析】解：因为，，， 所以，则， 所以. 又因为，且， 所以，则， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 67.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【解析】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 68.如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【解析】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 69.已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，根据夹角公式，代入坐标运算，求其最值即可. 【解析】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 70.在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，进而可得点的坐标，利用，求解即可. 【解析】以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，， 所以， 所以， 所以， 当最小时，，， 所以，， 由，得，整理得①， 由，得， 整理得②， 由①②解得， .      故答案为： 71.已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是 . 【答案】 【分析】，又，根据垂直得到数量积为0，列出等式即可求解. 【解析】    设侧棱长为，则长为, 由题意， 又， 其中， 故，， 又， 故 即， 又， 所以， 所以， 即侧棱长的取值范围是， 故答案为： 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算及坐标表示13大重点常考题型 题型一：空间向量的线性运算 题型二：利用空间向量的线性运算求参数 题型三：空间共线向量定理的推论及应用 题型四：空间共面向量定理的推论及应用 题型五：空间向量数量积的运算 题型六：利用空间向量数量积求角度、模、投影向量问题 题型七：空间向量数量积的综合应用 题型八：用空间基底表示向量 题型九：空间向量基本定理及其应用 题型十：求空间点的坐标 题型十一：空间向量运算的坐标表示 题型十二：利用坐标法解决平行、垂直问题 题型十三：利用坐标法求空间向量的数量积、角度、模、投影向量问题 题型一：空间向量的线性运算 1．如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是（  ） A． B． C． D． 2.已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（  ） A． B． C． D． 3.在正方体中，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 4.如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ） A． B． C． D． 5.在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 6.如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 题型二：利用空间向量的线性运算求参数 7．在四面体中，，，，，为的中点，若，则（ ） A． B．3 C． D．2 8.如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（  ） A．1 B． C． D． 9.如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（  ） A． B． C． D． 10.在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（  ） A． B． C． D． 11.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则___________    题型三：空间共线向量定理的推论及应用 12．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（  ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 14.（多选）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 15.在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 16.在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则_______ 题型四：空间共面向量定理的推论及应用 17．在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A． B． C． D． 18.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（ ） A．2 B．0 C． D．1 19.已知，，，若，，共面，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．－1 20.已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 21.已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 22.已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 23.如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 . 题型五：空间向量数量积的运算 24．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 25.如图，在斜三棱柱中，，，，则（ ） A．48 B．32 C． D． 26.如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是 . 27.如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 题型六：利用空间向量数量积求角度、模、投影向量问题 28．已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A．1 B． C．3 D． 29.如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 30.已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 31.在空间四边形中，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 32.已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 33.已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 题型七：空间向量数量积的综合应用 34．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 35.如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 36.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（ ） A．2 B． C．5 D． 37.如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（ ）    A．2 B．1 C． D． 38.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 39.已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 40.正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型八：用空间基底表示向量 41．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 42.如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（ ） A． B． C． D． 43.如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 44.如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 题型九：空间向量基本定理及其应用 45．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ）    A． B．1 C． D． 46.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（ ） A．1 B．2 C． D． 47.已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则________ 48.如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 49.在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 题型十：求空间点的坐标 50．设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 51.（多选）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（ ） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 52.三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为 ． 53.向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为__________ 题型十一：空间向量运算的坐标表示 54．在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 55.已知向量，则（ ） A． B． C． D． 56.若，，则（ ） A． B． C．8 D．10 57.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（ ） A． B． C． D． 58.在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 题型十二：利用坐标法解决平行、垂直问题 59．已知空间向量，.若，则（ ） A．12 B．10 C． D． 60.已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 61.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 62.已知，向量，，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 63.（多选）已知向量，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．共面 64.在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是 ． 题型十三：利用坐标法求空间向量的数量积、角度、模、投影向量问题 65．已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A． B． C．2 D． 66.设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 67.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 68.如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）    A． B． C． D． 69.已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 70.在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为 . 71.已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是 . 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $