第一章 整式的乘除 单元测试卷 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 单元测试卷 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列各式中，运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在①；②；③；④；⑤；⑥中，能用平方差公式计算的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（本题3分）如图是一块长方形菜地，在菜地中修有两条互相交叉的长方形小路，剩余部分种植蔬菜．种植蔬菜每平方米的种子成本是4元，人工成本是16元，当，，则这块菜地种植蔬菜的成本是（   ）元 A．11400 B．12000 C．12600 D．13200 5．（本题3分）已知，，那么a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（　　）    A． B． C． D． 7．（本题3分）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 8．（本题3分）设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）若，则 ． 10．（本题3分）某种微粒的直径为0.000058米，则该微粒的直径用科学记数法可以表示为 ． 11．（本题3分），，那么 12．（本题3分）计算： ． 13．（本题3分）已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为 ． 14．（本题3分）若的乘积中不含x的一次项，则 ． 15．（本题3分）如图，若，求长方形A与B的面积差 ． 16．（本题3分）比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”）． 三、解答题（共82分） 17．（本题10分）计算： (1)． (2) (3) ． (4)． 18．（本题12分）运用整式乘法公式化简 (1)； (2)； (3)； (4)； (5) ； (6)． 19．（本题10分）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)计算：的结果． 20．（本题10分）先化简，再求值：，其中 21．（本题10分）观察下列等式： ①；    ②；    ③； (1)请直接写出第④个等式__________； (2)根据上述等式的排列规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的结论． 22．（本题10分）[核心素养]我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如：图①可以得到，请解答下列问题． (1)观察图②，写出图②中所表示的等式____________________； (2)观察图③，写出图③中阴影部分所表示的等式____________________； (3)请利用（2）中得到的结论，解决下列问题： ①若图③中的a，b满足，求的值； ②若（a，b，c均为正数），，求的值． 23．（本题10分）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为______； (2)如果，则；如果，则；如果，则． 已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； (3)已知，求的值． 24．（本题10分）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 通过识别平方差公式的结构，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，将原式展开后，设，通过比较系数法求常数a的值． 【详解】∵，且该式为完全平方式， ∴设， 比较系数得：， ∴， 又， ∴． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查平方差公式的识别，核心是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，即满足的形式． 【详解】解：根据平方差公式的结构特征， ①，是完全平方公式，不符合平方差公式的结构； ②，符合平方差公式结构； ③，是完全平方公式的变形，不符合平方差公式结构； ④，式子中无相同项和互为相反数的项，不符合平方差公式结构； ⑤，符合平方差公式结构； ⑥，符合平方差公式结构； 综上，能用平方差公式计算的有②、⑤、⑥，共3个． 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，以及代数式求值等知识． 根据种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积表示出种植蔬菜的部分的面积，再代入求出面积，再根据面积乘以每平方米的费用计算即可． 【详解】解：种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积， 即： ， 当时， ， 所以这块菜地种植蔬菜需要的成本是元． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查乘方，零指数幂和负整指数幂的运算，掌握相关运算法则是解题关键． 根据幂的运算法则计算出a，b，c的值即可求解． 【详解】，， ， 故选：B． 6．D 【分析】根据4个长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解． 【详解】解：图1阴影的面积为：， 图2阴影的面积为：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键． 7．B 【分析】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 通过引入中间变量，将原方程转化为关于的方程，简化后直接求解． 【详解】，且， 。 设，则，， 代入得：， 展开：左边， 右边， ， 移项得：， 即， ，， ， ． 故选． 8．C 【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用将改写成，由此即可得． 【详解】解： ， 能被57整除， 也能被57整除， 又能被57整除， 也能被57整除， 即能被57整除， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键． 9． 【分析】本题考查了负整指数幂，掌握有负整指数幂的运行法则是关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】0.000058用科学记数法可以表示为． 故答案为：． 11．30 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 12．1 【分析】本题考查了逆用积的乘方，有理数的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 将转化为即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 13． 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：能运用完全平方公式分解因式， ， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】根据，不含一次项，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ∵不含一次项， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 15． 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分别表示出长方形与长方形的面积之差，再结合条件进行求解即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查幂的乘方，先把两个数字指数化成一样，再比较底数大小即可． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了幂的乘方运算，解题的关键是掌握其运算法则． 根据幂的乘方运算的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．(1)； (2)； (3)； (4)1； (5)1； (6) 【分析】题目主要考查完全平方公式及平方差公式的计算，熟练掌握运用是解题关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可； （3）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后计算加减法即可； （4）利用平方差公式计算即可； （5）利用完全平方公式计算即可； （6）先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求得，结合（1）所求即可解答； （3）逆用积的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ． 20．； 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 21．(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字类规律探究、整式的乘法和乘法公式： （1）根据题目中的规律即可写出答案； （2）根据题目中的规律即可写出答案，运用整式的乘法和乘法公式即可证明． 【详解】（1）解：根据题意可知，第④个等式为 故答案为：； （2）解：根据题意可知，第n个等式为 证明： ． 所以． 22．(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）根据大长方形的面积个小正方形的面积个长方形的面积个大正方形的面积即可得出结论； （2）类似（1）求解即可； （3）①将（2）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可； ②类似①求解即可． 【详解】（1）解∶ 该图形是个长方形，其长为，宽为，故其面积为； 该长方形是由3个小正方形，4个小长方形和1个大正方形组成，故其面积为， ∴， 故答案为：； （2）解∶ 该图形是正方形，其边长为，故其面积为； 该正方形是由1个小正方形，2个小长方形和1个大正方形组成，故其面积为， ∴， ∴阴影部分所表示的等式， 故答案为：； （3）解∶①由（2）得， 因为， 所以， 所以． 因为，所以． ②由，得． 因为， 所以． 因为a，b，c均为正数，所以． 23．(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、代数式求值、整式的加减、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键； （1）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，从而可以判断得解； （2）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，进而可以判断得解； （3）依据题意，由，从而，则，可得，，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，． 又∵对于任意实数满足， ． 的最小值为． 故答案为：； （2）解：由题意得， ． ∵对于任意实数满足， ． ． （3）解：∵， ∴， ∴． ∴，， ∴，， ； 24．解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”． （2）， ，或， 或， 故答案为：4或； 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：． （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $