16 专题逐一通关“阶段整合练”(二) 真题融合卷-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

16　专题逐一通关“阶段整合练”(二) 真题融合卷 　三角函数与解三角形、平面向量 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2　 B．－1　 C．1　 D．2 D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0， 即4＋x2－4x＝0，故x＝2．故选D．] 2．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0　 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0　 D．sin 2α<0 D　[法一：由题意知，－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α≥0，sin 2α<0，故选D． 法二：当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A，B，C，故选D．] 3．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x)＝的最小正周期为(　　) A．　 B．　 C．π　 D．2π C　[ f (x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f (x)的最小正周期T＝＝π．故选C．] 4．(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－　 B．－ C．＋　 D．＋ A　[法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A． 法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A．] 5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m　 B．－　 C．　 D．3m A　[因为cos(α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos(α－β)＝－3m． 故选A．] 6．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　) A．　 B．2　 C．4　 D．8 C　[法一：在△ABC中，cos C＝，则sin C＝>，所以C∈．由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝16＋9－2×4×3×＝9，所以AB＝3．由正弦定理＝，得sin B＝，易知B∈，所以cos B＝，tan B＝＝4．故选C． 法二：在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，所以由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，所以AB＝3，所以△ABC是等腰三角形．过点B作BD⊥AC于点D(图略)，则BD＝＝＝，tan ＝＝，所以tan B＝＝4．故选C．] 7．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． C　[依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈， 要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示， 则<ωπ＋≤3π，解得<ω≤， 则ω∈．故选C．] 8．(2023·全国甲卷)函数y＝f (x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f (x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1　 B．2　 C．3　 D．4 C　[把函数y＝cos的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝f (x)＝cos＝cos＝－sin 2x的图象．作出函数f (x)＝－sin 2x和直线y＝x－的部分图象如图所示， 所以由图可知，f (x)＝－sin 2x与y＝x－的交点个数为3． 故选C．] 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．(2020·山东卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A．sin　 B．sin C．cos　 D．cos BC　[由函数图象可知，＝－＝，则|ω|＝＝＝2，所以不选A． 不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1， 所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 解得φ＝2kπ＋(k∈Z)， 即函数的解析式为y＝sin(k∈Z)＝sin＝cos＝sin． 而cos＝－cos．故选BC．] [方法技巧]　已知f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ． (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 10．(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A．f (x)与g(x)有相同的零点 B．f (x)与g(x)有相同的最大值 C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴 BC　[A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点， 令g(x)＝sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误； B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f (x)图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z， g(x)图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z， 显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误． 故选BC．] 11．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝||　 B．||＝|| C．·＝·　 D．·＝· AC　[由题可知，||＝＝1，||＝＝1，所以||＝||，故A正确； 取α＝，则P1，取β＝，则P2， 则||≠||，故B错误； 因为·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以·＝·，故C正确； 因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝，β＝， 则·＝，·＝cos＝－，所以·≠·，故D错误．故选AC．] 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 2　[法一：|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2． 法二(数形结合法)：由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||．又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2． ] 13．(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f (x)＝sin x＋有如下四个命题： ①f (x)的图象关于y轴对称； ②f (x)的图象关于原点对称； ③f (x)的图象关于直线x＝对称； ④f (x)的最小值为2． 其中所有真命题的序号是________． ②③　[由题意知f (x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．又f (－x)＝sin(－x)＋＝－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为f ＝sin＋＝cos x＋，f ＝sin＋＝cos x＋，所以f ＝f ，所以函数f (x)图象关于直线x＝对称，③为真命题．当sin x<0时，f (x)<0，所以④为假命题．] 14．(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________． (－，＋)　[如图所示，延长BA与CD，相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE． 在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°， CF＝BC＝2， 所以BF＝＝－． 在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°， BE＝CE，BC＝2，＝， 所以BE＝×＝＋， 所以－<AB<＋．] 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2021·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝． (1)求a的值； (2)求cos C的值； (3)求sin的值． [解]　(1)因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶， 因为b＝，所以a＝2，c＝2． (2)由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝． (3)因为cos C＝， 所以sin C＝＝， 所以sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，cos 2C＝2cos2C－1＝2×－1＝， 所以sin＝sin 2Ccos－cos 2Csin＝×－×＝． 16．(15分) (2025·全国二卷)已知函数f (x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f (0)＝． (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f (x)＋f ，求g(x)的值域和单调区间． [解]　(1)因为f (0)＝cos φ＝，且0≤φ<π，所以φ＝． (2)g(x)＝f (x)＋f ＝cos＋cos 2x ＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x ＝cos 2x－sin 2x ＝ ＝cos． 因为函数y＝cos的值域是[－1，1]，那么函数y＝cos的值域就是[－，]，所以g(x)的值域为[－，]． 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 17．(15分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1． (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． [解]　(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，得BC＝． 法一：由正弦定理得，＝， 所以sin∠ABC＝＝． 法二：由余弦定理的推论得cos∠ABC＝＝＝， 所以sin∠ABC＝＝． (2)法一：由sin∠ABC＝，得tan∠ABC＝， 又tan∠ABC＝＝，所以DA＝， 故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝××1×＝． 法二：△ABC的面积为AC·AB·sin∠BAC＝×1×2×＝， ＝＝＝， 故△ADC的面积为S△ABC＝×＝． 18．(17分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C． (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． [解]　(1)由正弦定理可得BC2－AC2－AB2＝AC·AB， 所以cos A＝＝－， 因为A∈(0，π)，所以A＝． (2)法一：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9， 即(AC＋AB)2－AC·AB＝9． 因为AC·AB≤(当且仅当AC＝AB时取等号)， 所以9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－＝(AC＋AB)2， 解得AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB时取等号)， 设△ABC的周长为L， 所以△ABC的周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋2，所以△ABC周长的最大值为3＋2． 法二：设B＝＋α，C＝－α，则－<α<，根据正弦定理可知＝＝＝2，所以AC＋AB＝2(sin B＋sin C)＝2 ＝2cos α≤2，当且仅当α＝0，即B＝C＝时，等号成立．此时△ABC周长的最大值为3＋2． 法三：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得9＝b2＋c2＋bc，即＋c2＝9． 令θ∈ ， 得b＋c＝3sin θ＋cos θ＝2sin≤2，易知当C＝时，(b＋c)max＝2， 所以△ABC周长的最大值为3＋2． [方法技巧]　求解三角函数中的最值范围问题的常用方法 (1)正弦定理＋三角函数：利用正弦定理将问题转化为关于同一角的三角函数，然后利用角的范围求最值或范围．此方法为通性通法． (2)余弦定理＋基本不等式：利用余弦定理将问题转化为边的形式，然后利用基本不等式求最值．此方法在求范围问题中有一定的局限性． (3)构图法：构造三角形的外接圆，如本题：作出△ABC的外接圆，延长BA至点D且使AD＝AC，连接CD，然后作出△BCD的外接圆，则BD＝AB＋AC，故当BD为△BCD的外接圆的直径时，△ABC的周长有最大值． 其最大值为BC＋AB＋AC＝BC＋BD＝3＋＝3＋＝3＋2．此法常用于求解客观题． 19．(17分)(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A． (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． [解]　(1)法一：由三角形的内角和定理得＝－， 此时asin＝bsin A就变为asin＝bsin A． 由诱导公式得sin＝cos，所以acos＝bsin A． 在△ABC中，由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， 此时就有sin Acos＝sin Asin B，即cos＝sin B， 再由二倍角的正弦公式得sin B＝2sincos，解得B＝． 法二：由正弦定理得sin＝sin B， 两边平方得sin2＝sin2B，即＝sin2B． 又A＋B＋C＝π，即cos(A＋C)＝－cos B，所以1＋cos B＝2sin2B， 整理得2cos2B＋cos B－1＝0， 解得cos B＝，因此B＝． 法三：根据题意asin＝bsinA， 由正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A， 因为0<A<π，故sin A>0， 消去sin A得sin＝sin B． 因为0<B<π，0<<π，故＝B或者＋B＝π， 根据题意A＋B＋C＝π，故＋B＝π不成立，所以＝B， 又因为A＋B＋C＝π，代入得3B＝π，所以B＝． (2)法一：因为△ABC是锐角三角形，又B＝，所以<A<，<C<，则S△ABC＝acsin B＝c2··sin B＝·＝·＝·＝＋． 因为C∈，所以tan C∈，则∈(0，)， 从而S△ABC∈， 故△ABC面积的取值范围是． 法二：由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a． 因为△ABC为锐角三角形，且c＝1，B＝， 所以 即 又由余弦定理得b2＝a2＋1－a， 所以 即<a<2， 所以<S△ABC<，故△ABC面积的取值范围是． 法三：如图，在△ABC中，过点A作AC1⊥BC，垂足为C1，作AC2⊥AB与BC的延长线交于点C2． 由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a，因为△ABC为锐角三角形，且c＝1，B＝， 所以点C位于线段C1C2上且不含端点，从而c·cos B<a<， 即cos<a<， 即<a<2，所以<S△ABC<， 故△ABC面积的取值范围是． 2/13 学科网（北京）股份有限公司 $