15 专题逐一通关“阶段整合练”(二) 能力拔高卷-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

14　专题逐一通关“阶段整合练”(二)　 能力拔高卷 　三角函数与解三角形、平面向量 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知△ABC中，AB＝，B＝，BC＝4，则AC＝(　　) A．　 B．3　 C．　 D． A　[在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝7， 解得AC＝．] 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且(a－b)·(a＋2b)＝－6，则|a－b|＝(　　) A．　 B．2　 C．　 D．6 C　[由(a－b)·(a＋2b)＝－6，得a2＋a·b－2b2＝1＋a·b－2×3＝－6，所以a·b＝－1， 所以|a－b|＝＝＝＝．] 3．已知cos＝，则sin＝(　　) A．　 B．－　 C．　 D．－ D　[sin＝cos＝cos＝cos＝2cos2－1 ＝2×－1＝－．] 4．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝cos的图象(　　) A．向右平移个单位长度　 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度　 D．向左平移个单位长度 D　[因为y＝cos＝cos＝sin， 由y＝sin的图象向左平移个单位长度， 即得y＝sin＝sin的图象．] 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝，b＝3，△ABC的面积为6，则a＝(　　) A．65　 B．17　 C．　 D． C　[因为A＝，又S△ABC＝bcsin A＝×3c×sin＝c＝6，所以c＝4， 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(4)2－2×3×4×＝17，所以a＝．] 6．已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)和它的导函数f '(x)的部分图象如图所示，则ω＝(　　) A．　 B．　 C．　 D．1 B　[观察函数图象发现在x0的左侧，f '(x)>0，函数f (x)单调递增， 在x0的右侧，f '(x)<0，函数f (x)单调递减， 所以由图象可知，函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－A＝－1，解得A＝1， 故f (x)＝sin(ωx＋φ)，求导得f '(x)＝ωcos(ωx＋φ)，由图可知f '(x)max＝，故ω＝．] 7．如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝－＋λ，则λ的取值范围是(　　) A．　 B．　 C．　 D． D　[如图，由于＝－＋λ， 在OA的反向延长线上取点C，使得OC＝OA，过点C作CE∥OB，分别交OM和AB的延长线于点D，E， 则CD＝OB，CE＝OB， 要使点P落在指定区域内，则点P应落在DE上， 当点P在点D处时，＝－＋， 当点P在点E处时，＝－＋， 所以λ的取值范围是．] 8．已知函数f (x)＝asin x－cos x图象的一条对称轴为x＝－，且f (x1)·f (x2)＝－4，则|x1＋x2|的最小值为(　　) A．　 B．　 C．　 D． C　[ f (x)＝asin x－cos x＝sin(x－φ)， 由题意知f (x)图象的一条对称轴为x＝－，所以－－φ＝＋kπ(k∈Z)， 即φ＝－π－kπ(k∈Z)，所以tan＝(k∈Z)， 解得a＝1，所以f (x)＝2sin． 因为f (x1)·f (x2)＝－4，即sinsin＝－1， 不妨令sin＝1，sin＝－1． 所以x1－＝2k1π＋(k1∈Z)，x2－＝2k2π－(k2∈Z)， 即x1＝2k1π＋(k1∈Z)，x2＝2k2π－(k2∈Z)， 所以|x1＋x2|＝＝． 所以当k1＝－k2时，|x1＋x2|取到最小值．] 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量a＝(2，3)，b＝(－4，m)，则下列说法正确的是(　　) A．若a⊥b，则m＝ B．若m＝1，则|a－b|＝2 C．若(a＋b)∥b，则m＝6 D．若m＝2，则a在b上的投影向量的坐标为 AD　[对于A，由a⊥b，可得a·b＝－8＋3m＝0，解得m＝，故A正确； 对于B，当m＝1时，a－b＝(6，2)，故|a－b|＝＝2，故B错误； 对于C，a＋b＝(－2，3＋m)，由(a＋b)∥b，可得m＝6＋2m，解得m＝－6，故C错误； 对于D，当m＝2时，b＝(－4，2)，此时a在b上的投影向量为b＝×(－4，2)＝，故D正确．] 10．已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，将函数f (x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　) A．g＝－2 B．g(x)的图象的对称中心为，k∈Z C．g＝0 D．g(x)的单调递增区间为， k∈Z AD　[已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如题图所示， 则函数f (x)周期为2π，所以ω＝1， φ＋＝，解得φ＝， 所以f (x)＝2sin，g(x)＝2sin， 由图象可知，g＝－2，g＝1，所以A正确，C错误； 函数g(x)的图象关于中心对称，所以函数g(x)图象的对称中心为，k∈Z，B错误； 函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，D正确．] 11．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为5，且满足4sin A＋3cos(B＋C)＋3cos(B－C)＝8，则下列结论正确的是(　　) A．sin A＝　 B．△ABC是锐角三角形 C．b＝2　 D．△ABC的面积为10 AC　[因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，因此cos(B＋C)＝－cos A， 所以由4sin A＋3cos(B＋C)＋3cos(B－C)＝8， 可得4sin A－3cos A＋3cos(B－C)＝8， 即5sin(A－φ)＋3cos(B－C)＝8，其中cos φ＝，sin φ＝． 再由三角函数的值域可知sin(A－φ)≤1，cos(B－C)≤1， 因此只有当sin(A－φ)＝1，cos(B－C)＝1时，等式5sin(A－φ)＋3cos(B－C)＝8成立， 因此sin(A－φ)＝1，即A－φ＝＋2kπ，k∈Z． 对于A，可知sin A＝sin＝sin＝cos φ＝，即A正确； 对于B，可知cos(B－C)＝1，即B＝C． 又4sin A－3cos A＋3cos(B－C)＝8，sin A＝， 所以cos A＝－，因此A为钝角，即△ABC为钝角三角形，即B错误； 对于C，b＝c，且a＝2Rsin A＝8， 根据余弦定理的推论可得cos A＝＝＝－，解得b＝2，即C正确； 对于D，设△ABC的面积为S，S＝bcsin A＝×2×2×＝8，即D错误．] 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量a＝(x，0)，b＝(2，1)．若(a－4b)·b＝0，则x的值为________． 10　[因为向量a＝(x，0)，b＝(2，1)，所以a－4b＝(x，0)－4(2，1)＝(x－8，－4)， 又因为(a－4b)·b＝0，所以2(x－8)－4＝0，则x＝10．] 13．若tan θ＝－3，则＝______． 　[当tan θ＝－3时， ＝＝ ＝＝＝＝．] 14．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，且a＋c＝4，则△ABC面积的最大值为________． 　[由已知及正弦定理，得＝，即(a－c)c＝a2－b2，即a2＋c2－b2＝ac． 由余弦定理的推论得cos B＝＝，因为B∈(0，π)，则B＝．因为a＋c＝4，则S△ABC＝acsin B＝ac≤＝，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以S△ABC的最大值为．] 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)设函数f (x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sin x，－cos x)，b＝(sin x，－3cos x)，c＝(－cos x，sin x)，x∈R． (1)求函数f (x)的最大值及相应x的值； (2)将函数f (x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d． [解]　(1) f (x)＝sin x(sin x－cos x)－cos x(－3cos x＋sin x)＝sin2x＋3cos2x－2sin xcos x＝2＋cos， 故函数f (x)的最大值为2＋，相应x的值为x＝kπ－，k∈Z． (2)设d＝(u，v)，则平移后的函数为g(x)＝f (x－u)＋v＝2＋v＋cos， g(x)为奇函数，故k∈Z， 得k∈Z， 当u＝－时，|d|最小，此时d＝． 16．(15分)已知函数f (x)＝cos(ωx＋φ)． 条件①：f (x)的最小正周期为π； 条件②：f (x)为奇函数； 条件③：f (x)图象的一条对称轴为直线x＝． 从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使f (x)的解析式唯一确定，回答下列问题． (1)求f (x)的解析式； (2)设函数g(x)＝f (x)f ，当x∈时，求函数g(x)的值域． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． [解]　(1)选择条件①②，由f (x)的最小正周期为π，得ω＝2． 由f (x)为奇函数，0<φ≤，得φ＝，所以f (x)＝cos＝－sin 2x． 选择条件①③，由f (x)的最小正周期为π，得ω＝2． 由f (x)图象的一条对称轴为直线x＝，得2×＋φ＝kπ，k∈Z，而0<φ≤，则k＝1，φ＝， 所以f (x)＝cos＝－sin 2x． 选择条件②③，由f (x)为奇函数，0<φ≤，得φ＝． 由f (x)图象的一条对称轴为直线x＝，得ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝4k－2，k∈Z， ω值不唯一，不符合题意，即②③不可选． (2)由(1)知f (x)＝－sin 2x，则g(x)＝－sin 2x·＝sin 2x ＝sin 4x＋＝＋sin， 当x∈时，4x－∈， 则－≤sin≤1，0≤＋sin≤， 所以函数g(x)的值域是． 17．(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c(2－cos A)＝acos C． (1)求的值； (2)若A＝60°，b＝6，＝3，求AD的长． [解]　(1)因为c(2－cos A)＝acos C， 由正弦定理得，(2－cos A)sin C＝sin Acos C， 所以2sin C＝sin Acos C＋cos Asin C． 因为A＋B＋C＝π， 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以2sin C＝sin B，即＝2． (2)因为＝3，所以＝＝－， 则＝＋＝＋，即3＝2＋， 故9＝4＋4·＋． 由(1)可知＝2，则b＝2c． ||＝b＝6，所以||＝c＝3，所以＝c2＝9，·＝bccos A＝9，＝b2＝36， 所以9＝4×9＋4×9＋36＝108，则＝12， 故||＝＝2，即AD的长为2． 18．(17分)(2025·广东茂名二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝acos C＋2ccos2A． (1)求A； (2)若a＝2，且BC边上的高为，求△ABC的周长． [解]　(1)b＝acos C＋2ccos2A⇒sin B＝sin Acos C＋2sin Ccos2A， 又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋2sin Ccos2A⇒cos Asin C＝2sin Ccos2A， 又sin C≠0，所以2cos2A－cos A＝0，解得cos A＝0或cos A＝， 所以A＝或A＝． (2)若A＝，bcsin＝×2×⇒bc＝4， 由余弦定理的推论得， cos∠BAC＝＝＝⇒b2＋c2＝8， 所以b＋c＝＝＝4，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝6． 若A＝，△ABC为直角三角形，斜边BC上的高为， 由斜边中线长为斜边一半，则斜边BC上的中线为1<，则该三角形不存在． 故△ABC的周长为6． 19．(17分)已知向量a＝(－1，2)，b＝(sin2x－cos2x，sin xcos x)，f (x)＝a·b，x∈R． (1)求函数f (x)的单调递增区间和其图象的对称中心； (2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，f (A)＝1，求2a2＋bc的取值范围． [解]　(1) f (x)＝－1×(sin2x－cos2x)＋2×sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故函数f (x)的单调递增区间为(k∈Z)， 令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－，k∈Z，故函数f (x(k∈Z)． (2) f (A)＝2sin＝1，则sin＝， 又0<A<，则<2A＋<，故2A＋＝，即A＝． 2a2＋bc＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋·＋2， 在锐角△ABC中，A＝， 则⇒<B<⇒tan B>， 令u＝，u∈(0，)， 则2a2＋bc＝u2＋u＋2∈(2，8)． 所以2a2＋bc的取值范围为(2，8)． 11/11 学科网（北京）股份有限公司 $