10 专题逐一通关“阶段整合练”(一) 真题融合卷-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

10　专题逐一通关“阶段整合练”(一)　真题融合卷 　函数与导数 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2015·湖北卷)函数f (x)＝＋lg 的定义域为(　　) A．(2，3)　 B．(2，4] C．(2，3)∪(3，4]　 D．(－1，3)∪(3，6) C　[由函数y＝f (x)的表达式可知，函数f (x)的定义域应满足条件： 解得 即函数f (x)的定义域为(2，3)∪(3，4]．] 2．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．＝ D．＝ D　[由题意，得＝2.1，＝3.15．若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，又2.1＝2×1.05，3.15＝3×1.05，即2ln N1＝＝．] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　 B．[－2，0) C．(0，2]　 D．[2，＋∞) D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D． 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)上单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．] 4．(2023·新课标Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　 B．0 C．　 D．1 B　[法一：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，且g(－x)＝＝＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a应为奇函数，所以a＝0，故选B． 法二：因为f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B．] 5．(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　) A．f (x)在(0，2)上单调递增 B．f (x)在(0，2)上单调递减 C．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称 C　[由题意知，f (2－x)＝ln (2－x)＋ln x＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D错误；又f (x)＝ln [x(2－x)](0<x<2)，由复合函数的单调性可知f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以A，B错误，故选C．] 6．(2022·全国乙卷)函数f ＝cos x＋sin x＋1在区间上的最小值、最大值分别为(　　) A．－　 B．－ C．－＋2　 D．－＋2 D　[＝－sin x＋sin x＋cos x＝cos x， 所以在区间和上，f ′>0，f 单调递增； 在区间上，f ′<0，f 单调递减， 又f ＝f ＝2，f ＝＋2， f ＝－＋1＝－， 所以f 在区间上的最小值为－，最大值为＋2． 故选D．] 7．(2015·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f (x0)＜0，则a的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． D　[因为f (0)＝－1＋a<0，所以x0＝0． 又因为x0＝0是唯一的使f (x)<0的整数， 所以 即解得a≥． 又因为a＜1，所以≤a<1，经检验a＝，符合题意．故选D．] 8．(2022·全国乙卷)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f (x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　) A．－21　 B．－22 C．－23　 D．－24 D　[因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以g(2－x)＝g(x＋2)， 因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋2)－f (x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f (x－2)， 因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f (x)＋[7＋f (x－2)]＝5，即f (x)＋f (x－2)＝－2， 所以f (3)＋f (5)＋…＋f (21)＝(－2)×5＝－10， f (4)＋f (6)＋…＋f (22)＝(－2)×5＝－10． 因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (0)＋g(2)＝5，即f (0)＝1，所以f (2)＝－2－f (0)＝－3． 因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋4)－f (x)＝7，又因为f (x)＋g(2－x)＝5， 联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12， 所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g(3)＝6， 因为f (x)＋g(x＋2)＝5，所以f (1)＝5－g(3)＝－1． 所以＝f (1)＋f (2)＋[ f (3)＋f (5)＋…＋f (21)]＋[ f (4)＋f (6)＋…＋f (22)]＝－1－3－10－10＝－24． 故选D．] 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·全国二卷)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A．f (0)＝0 B．当x<0时，f (x)＝－(x2－3)e－x－2 C．f (x)≥2，当且仅当x≥ D．x＝－1是f (x)的极大值点 ABD　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，故A正确；当x＜0时，－x＞0，因此f (－x)＝[(－x)2－3]e－x＋2＝－f (x)，因此f (x)＝－(x2－3)e－x－2，故B正确；当x＞0时，f (x)＝(x2－3)·ex＋2，f ′(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)(x－1)ex，令f ′(x)＞0，得x＞1，令f ′(x)＜0，得0＜x＜1，因此f (x)在x＝1处取得极小值，因此奇函数f (x)在x＝－1处取得极大值，故D正确；当x＞0时，令f (x)≥2，即(x2－3)ex≥0，解得x≥，当x＜0时，f (x)在x＝－1处取得极大值，f (－1)＝－(1－3)e－2＝2e－2＞2，因此在(－∞，0)上也存在满足f (x)≥2的区间，故C错误．故选ABD．] 10．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，则(　　) A．f (0)＝0　 B．f (1)＝0 C．f (x)是偶函数　 D．x＝0为f (x)的极小值点 ABC　[因为f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)， 对于A，令x＝y＝0，f (0)＝0f (0)＋0f (0)＝0，故A正确； 对于B，令x＝y＝1，f (1)＝1f (1)＋1f (1)，则f (1)＝0，故B正确； 对于C，令x＝y＝－1，f (1)＝f (－1)＋f (－1)＝2f (－1)，则f (－1)＝0， 令y＝－1，f (－x)＝f (x)＋x2f (－1)＝f (x)， 又函数f (x)的定义域为R，所以f (x)为偶函数，故C正确； 对于D，不妨令f (x)＝0，显然符合题设条件，此时f (x)无极值，故D错误．] 11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f (x)有两个极值点 B．f (x)有三个零点 C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线 AC　[由题意知，f ′(x)＝3x2－1，令f ′(x)＞0，得x＞或x＜－， 令f ′(x)＜0，得－＜x＜， 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增， 所以x＝±是极值点，故A正确； 因为f ＝1＋＞0，f ＝1－＞0，f (－2)＝－5＜0， 所以函数f (x)在上有一个零点， 当x≥－时，f (x)≥f ＞0， 即函数f (x)在上无零点， 综上所述，函数f (x)只有一个零点，故B错误； 令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R， h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)， 则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f (x)的图象， 所以点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心，故C正确； 令f ′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f (1)＝f (－1)＝1， 当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误． 故选AC．] 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f (x)＝若＝3，则a＝__________． 2　[因为>2，所以f ＝6－4＝2，所以＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．] 13．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f (x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f (0)＝________． －4　[ f ′(x)＝(x－2)′[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]′＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]′，因为x＝2是函数f (x)的极值点，所以f ′(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f (x)＝(x－1)(x－2)2，所以f (0)＝－4．] 14．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． ln 2　[由y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，则y′|x＝0＝e0＋1＝2， 故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1． 由y＝ln (x＋1)＋a，得y′＝， 设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)， 由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝，则切点为，代入y＝2x＋1，得a＋ln ＝－1＋1， 解得a＝ln 2．] 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2023·全国甲卷)设a>0，函数f (x)＝2|x－a|－a． (1)求不等式f (x)<x的解集； (2)若曲线y＝f (x)与x轴所围成的图形的面积为2，求a． [解]　法一：(1)求不等式f (x)<x的解集，即求不等式2|x－a|－a<x的解集， 整理得2|x－a|<x＋a， 不等式两边同时平方，得4(x2－2ax＋a2)<x2＋2ax＋a2，整理得3x2－10ax＋3a2<0， 因式分解得(3x－a)(x－3a)<0，因为a>0，所以可得<x<3a， 故不等式的解集为． (2)易知该图形为三角形，设曲线y＝f (x)与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，x1>x2． 令f (x)＝0，得2|x－a|＝a，即2x－2a＝a或2x－2a＝－a， 得x1＝，x2＝，故曲线y＝f (x)与x轴的两个交点之间的距离d＝|x1－x2|＝a， 易得三角形不在x轴上的顶点的坐标为(a，－a)， 所以三角形的面积S＝＝a2＝2， 即a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍去)， 故a＝2． 法二：(1)若x≤a，则f (x)＝2a－2x－a<x， 即3x>a，解得x>，得<x≤a； 若x>a，则f (x)＝2x－2a－a<x， 解得x<3a，得a<x<3a． 综上，不等式的解集为． (2) f (x)＝ 作出f (x)的大致图象如图所示， 曲线y＝f (x)与x轴围成的图形即△ABC， 易得A，C(a，－a)， 所以|AB|＝a，△ABC的底边AB上的高为a， 所以S△ABC＝·a＝a2＝2，解得a＝2或a＝－2(舍去)， 故a＝2． 16．(15分)(2005·北京卷)已知函数f (x)＝－x3＋3x2＋9x＋a． (1)求f (x)的单调递减区间； (2)若f (x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． [解]　(1)由f (x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，求导可得f ′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x－3)(x＋1)， 由f ′(x)＝－3(x－3)(x＋1)<0，可得x<－1或x>3， 所以函数f (x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)因为f ′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x－3)(x＋1)， 令f ′(x)＝0，解得x1＝3或x2＝－1，可得下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1，2) 2 f ′(x) － 0 ＋ f (x) 2＋a ↘ －5＋a ↗ 22＋a 则f (2)，f (－1)分别是f (x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值， 所以f (2)＝22＋a＝20，解得a＝－2， 从而得函数f (x)在[－2，2]上的最小值为f (－1)＝－5＋a＝－7． 17．(15分)(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f (x)＝ex－ax－a3． (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1，f ′(x)＝ex－1， 可得f (1)＝e－2，f ′(1)＝e－1， 即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0． (2)法一：因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f ′(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f (x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a； 令f ′(x)<0，解得x<ln a； 可知f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，则f (x)有极小值f (ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值， 由题意可得，f (ln a)＝a－a ln a－a3<0， 即a2＋ln a－1>0， 令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g′(a)＝2a＋>0， 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1． 所以a的取值范围为(1，＋∞)． 法二：因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a， 若f (x)有极小值，则f ′(x)＝ex－a有变号零点， 令f ′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a， 可知y＝ex的图象与y＝a有交点，则a>0， 若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a； 令f ′(x)<0，解得x<ln a； f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 则f (x)有极小值f (ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，符合题意． 由题意可得f (ln a)＝a－a ln a－a3<0， 即a2＋ln a－1>0， 令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0， 因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 则不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1． 所以a的取值范围为(1，＋∞)． 18．(17分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x． (1)讨论f (x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f (x)＞2ln a＋． [解]　(1) f ′(x)＝aex－1，x∈R， 当a≤0时，f ′(x)≤0， 所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，令f ′(x)＞0，得x＞－ln a， 令f ′(x)＜0，得x＜－ln a， 所以函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f (x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f (－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a， 令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)， 所以g′(a)＝2a－，令g′(a)＞0，得a＞； 令g′(a)＜0，得0＜a＜． 所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增， 所以函数g(a)的最小值为g＝－ln ＝ 所以当a＞0时，f (x)＞2ln a＋成立． 19．(17分)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设x1，x2是f (x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2． [解]　(1) f ′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． ①设a＝0，则f (x)＝(x－2)ex，f (x)只有一个零点． ②设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f ′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0， 所以f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又f (1)＝－e，f (2)＝a，所以∃x1∈(1，2)， 使f (x1)＝0， 取b满足b＜0且b＜ln ， 则f (b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0， 所以∃x2∈(b，1)，使f (x2)＝0， 故f (x)存在两个零点． ③设a＜0，由f ′(x)＝0， 得x＝1或x＝ln (－2a)． 若a≥－，则ln (－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，因此f (x)在(1，＋∞)上单调递增． 又当x≤1时，f (x)＜0，所以f (x)不存在两个零点． 若a＜－，则ln (－2a)＞1， 故当x∈(1，ln (－2a))时，f ′(x)＜0； 当x∈(ln (－2a)，＋∞)时，f ′(x)＞0． 因此f (x)在(1，ln (－2a))内单调递减， 在(ln (－2a)，＋∞)上单调递增． 又当x≤1时，f (x)＜0，所以f (x)不存在两个零点． 综上，a的取值范围为(0，＋∞)． (2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f (x)在(－∞，1)上单调递减， 所以x1＋x2＜2等价于f (x1)＞f (2－x2)，即f (2－x2)＜0． 由于f (2－x2)＝＋a(x2－1)2， 而f (x2)＝＋a(x2－1)2＝0， 所以f (2－x2)＝． 设g(x)＝－xe2-x－(x－2)ex， 则g′(x)＝(x－1)(e2-x－ex)． 所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0， 故当x＞1时，g(x)＜0． 从而g(x2)＝f (2－x2)＜0， 故x1＋x2＜2． 2/11 学科网（北京）股份有限公司 $