重难点专题1.2 利用导数研究函数的性质十二种题型（高效培优专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

重难点专题1.2 利用导数研究函数的性质十二种题型 题型一 用导数判断或证明已知函数的单调性 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型三 应用导数比较函数值大小 题型四 应用导数解函数不等式 题型五 由函数在区间上的单调性求参数 题型六 利用导数研究含参函数的单调性（区间） 题型七 求已知函数的极值点 题型八：求已知函数的极值 题型九：求已知函数的最值 题型十：根据函数的极值（点）求参数 题型十一：根据函数的最值求参数 题型十二：函数的图象与函数性质的关系 题型一 用导数判断或证明已知函数的单调性 1．（25-26高二上·北京·期末）下列函数在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列函数在区间上不单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参） 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 5．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 题型三 应用导数比较函数值大小 8．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025高二·全国·专题练习）已知．则（   ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 题型四 应用导数解函数不等式 14．（25-26高二上·江苏南京·期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（   ） A．． B． C． D． 15．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 题型五 由函数在区间上的单调性求参数 17．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 18．（多选）（2026高二·全国·专题练习）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 19．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则 ． 20．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 题型六 利用导数研究含参函数的单调性（区间） 21．（25-26高二·全国·假期作业）讨论函数的单调性. 22．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 23．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，， (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 题型七 求已知函数的极值点 24．（25-26高二上·上海·期末）函数的驻点为 . 25．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数，则的极小值点为 . 26．（2026高三·北京·专题练习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 题型八：求已知函数的极值 27．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 28．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 题型九：求已知函数的最值 29．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知是函数的一个极值点. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 30．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 31．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 题型十：根据函数的极值（点）求参数 32．（25-26高二上·云南昭通·期末）若是函数的一个极值点，则 . 33．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 34．（25-26高二上·山西朔州·期末）设函数. (1)若当时，取得极值，求a的值，并说明此时的单调性； (2)若存在极值，求a的取值范围. 35．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 36．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 37．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围. 题型十一：根据函数的最值求参数 38．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 39．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 40．（2025·四川德阳·一模）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 41．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 题型十二：函数的图象与函数性质的关系 42．（2025高三·全国·专题练习）设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 44．（多选）（25-26高二上·重庆·期末）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D． 45．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 46．（多选）（2026高三·全国·专题练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题1.2 利用导数研究函数的性质十二种题型 题型一 用导数判断或证明已知函数的单调性 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型三 应用导数比较函数值大小 题型四 应用导数解函数不等式 题型五 由函数在区间上的单调性求参数 题型六 利用导数研究含参函数的单调性（区间） 题型七 求已知函数的极值点 题型八：求已知函数的极值 题型九：求已知函数的最值 题型十：根据函数的极值（点）求参数 题型十一：根据函数的最值求参数 题型十二：函数的图象与函数性质的关系 题型一 用导数判断或证明已知函数的单调性 1．（25-26高二上·北京·期末）下列函数在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据函数解析式结合基本的性质及导数与函数单调性的关系逐个分析判断. 【详解】对于A，定义域为，函数在上单调递增，在上单调递增，但在定义域内不单调递增，所以A错误， 对于B，定义域为，函数在上单调递增，但在定义域内不单调递增，所以B错误， 对于C，时，，函数y在R上不单调，所以C错误， 对于D，且等号只在离散点成立，故在上单调递增，所以D正确， 故选：D. 2．（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列函数在区间上不单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对A选项，根据解析式判断函数单调性，对B，C，D选项，求导并利用导数正负判断函数单调性. 【详解】在A选项中，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增， 在B选项中，因为，所以在上单调递减，不满足在上单调递增， 在C选项中，因为，所以在上单调递增， 在D选项中，因为，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以不满足在上单调递增. 故选：ABD. 3．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数分析各函数在上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，对函数求导得， 当时，；当时，. 故函数在上单调递增，在上单调递减，A不符合条件； 对于B选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，B符合条件； 对于C选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，C符合条件； 对于D选项，对函数求导得对任意的恒成立， 故函数在上单调递增，D符合条件. 故选：BCD. 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参） 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的乘除法 【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 5．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数定义域并令其导函数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为 故选：C 6．（26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 7．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为，． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求得函数的导数，确定切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程即可得到切线方程； （2）求得导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间． 【详解】（1）由题意可得，此时， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）已知，，函数定义域为， 令，即，得或， 令，即，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，． 题型三 应用导数比较函数值大小 8．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】先构造函数，再由已知结合导函数运算律构造函数的导函数，再根据导函数得出函数单调性列式求解. 【详解】根据可得， 可知当时，，即， 所以可知函数在上是增函数，即， 从而得， 故选：A． 10．（2025高二·全国·专题练习）已知．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】构造，由单调性可证；再由微元法或极值点偏移法证明，可得结论. 【详解】构造，则． 因为和在单调递减， 所以在单调递减，又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，，当时， 所以. 法一（微元法）：因为0.1非常小，可以近似， 而， 所以，所以，得， 所以，解得． 法二（利用极值点偏移）：，极大值点左偏， 所以，故，解得. 故选：B． 11．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、比较函数值的大小关系 【分析】先由题意得到，化不等式，再令，对函数求导，判断出其单调性，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的单调递减函数， 所以时，， 由，得到，, 令，则， 所以函数在区间上单调递增， 所以， 即， 所以，故A错误， 因为且， 所以, 所以，故B错误 ，故C正确，，故D错误； 故选：ABD 12．（多选）（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小 【分析】先由中间值法判断的大小，再用分析法判断，并用导数判断函数单调性可得. 【详解】因为，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，要证，只需证，即证， 因为,所以, 所以，所以，所以B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，则，所以C正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：BCD. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数判断函数的单调性，再通过比较自变量的大小即可求解. 【详解】，， 当时，，，则， 在上单调递增， ，，即. 故答案为：. 题型四 应用导数解函数不等式 14．（25-26高二上·江苏南京·期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（   ） A．． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】设函数，即可得到是偶函数，求导说明的单调性，即可得到的取值情况，从而得到的取值情况. 【详解】设函数，可知的定义域为， 又因为是定义在上的奇函数， 则，所以是偶函数， 又， 因为当时，有恒成立，则， 所以在上单调递减，且，可知， 则在上单调递增，且； 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 所以不等式的解集为. 故选：D 15．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由构造函数，由其单调性求解不等式. 【详解】因为，即，构造函数，因为， 所以函数是减函数，又由可得，且， 所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 16．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，利用导数及题目信息证明函数在上单调递增，所求不等式可化为，利用单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 对于不等式， 整理得，即， 根据函数的单调性及其定义域得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 题型五 由函数在区间上的单调性求参数 17．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因为在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：B 18．（多选）（2026高二·全国·专题练习）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 19．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，可求解值，分析导函数符号即可得到函数的单调递增以及递减区间，即可求解. 【详解】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 20．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用导数可得在上恒成立，即在上恒成立，设，再利用导数求的最大值即可. 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 题型六 利用导数研究含参函数的单调性（区间） 21．（25-26高二·全国·假期作业）讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系求解即可. 【详解】由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 22．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． 23．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，， (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）分别求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直条件列式求解. （2）由（1）中函数的导数，按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【详解】（1）函数，求导得， 函数，求导得，由函数与在处的切线垂直， 得，即，所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 题型七 求已知函数的极值点 24．（25-26高二上·上海·期末）函数的驻点为 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、导数的加减法、求已知函数的极值点 【详解】由题意得，，令，解得或（舍）， 则有驻点 故答案为：. 25．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数，则的极小值点为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】先求，根据导数的正负判断函数的单调性，进而确定函数的极值点. 【详解】定义域为， ， 令，解得：或， 当，， 在区间单调递增； 当，， 在区间单调递减； 是的极大值点， 当，， 在区间单调递增； 是的极小值点. 故答案为： 26．（2026高三·北京·专题练习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 【答案】(1). (2)当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点. 【详解】（1）由题意得，， 则， ，即切线的斜率为， 又， 所以切线方程为，即. （2），， 时，定义域为，，无极小值； 当时，定义域为. 令，即，则， 所以， 解得或， 当时，，解得或， 在区间和上， 单调递增； ，解得且， 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为. 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 题型八：求已知函数的极值 27．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 【答案】(1)； (2)的递增区间为和，递减区间为； (3)极大值为，极小值为. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）由斜率乘积为，求得参数的取值； （2）求导后根据导函数的正负来确定原函数的增减区间； （3）由第二问的增减性结合极值定义求得极值. 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为和，的递减区间为. （3）由可知，在处取得极大值； 在处取得极小值. 28．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 【答案】(1) (2)函数的增区间为，极小值为. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点处的导数和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，然后根据函数的单调性确定增区间和极小值. 【详解】（1）对函数求导得. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令，则，解得或. 当时，因为，所以或， 所以在单调递增； 当时，因为，所以，所以在单调递减； 所以函数的增区间为，极小值为. 题型九：求已知函数的最值 29．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知是函数的一个极值点. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)减区间为，，增区间为 (2)112 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）根据极值点列出方程求解，再利用导数求函数的单调区间即可； （2）根据（1）可知函数解析式及单调性，据此求解即可. 【详解】（1）， ∵是函数的一个极值点， ∴，∴， 经检验满足条件， ∴， 令，解得或；令，解得. 所以函数的减区间为，，增区间为. （2）由（1）知， 又∵在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的极大值为，又， ∴函数在区间上的最大值为. 30．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)极大值为，无极小值 (3)最大值；最小值． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 31．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 题型十：根据函数的极值（点）求参数 32．（25-26高二上·云南昭通·期末）若是函数的一个极值点，则 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、根据极值求参数 【分析】对函数进行求导，是极值点，则，计算出的值代入原函数计算即可. 【详解】， 因为是函数的极值点， 所以，即， 故，所以，. 故答案为： 33．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、求已知函数的极值点 【分析】利用即可求解. 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得. 故答案为：. 34．（25-26高二上·山西朔州·期末）设函数. (1)若当时，取得极值，求a的值，并说明此时的单调性； (2)若存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递增，在上单调递减 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）根据极值点的性质即可求出，通过导数与函数单调性的关系即可求出单调性； （2）对求导得，，分为和两种情况讨论，在讨论时，再判断是否在定义域中，结合极值的概念，即可求出答案. 【详解】（1）， 依题意有，解得， 从而， 易知的定义域为， 令，可得或， ∵当时，，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减. （2）由题可知的定义域为， 方程的判别式， ①若，即，则在内，恒成立， 故无极值； ②若，即或， 则有两个不同的实根， 当时，，， ，， ，， ， 从而在内没有零点，故无极值； 当时，，， ， ，在内有两个不同的零点， 当时，，当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值. 综上，当存在极值时，的取值范围为. 35．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 36．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）对求导后，依据、进行讨论即可； （2）在（1）的基础上，求出极大值，并列不等式即可求解． 【详解】（1）， ①当时对任意，，，故恒成立， 因此在上单调递增； ②当时令，即，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． （2）当时，在单调递增，无极值，不符合题意； 当时，在处取得极大值， 极大值为， 依题意有，解得，所以a的取值范围为． 37．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负来求函数的单调区间即可； （2）将问题转化为恰有3个互不相等的实根，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断的范围即可． 【详解】（1）当时，，， 令，得， 当时，,在上单调递减； 当时，,在上单调递增； （2）定义域为，， 要使函数恰有三个极值点，则有三个不同实数根， 令，得或， 即有两个除的实数根， 所以， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 当时，，当时，， 因此当时，方程有两个不同的正根， 综上所述：的取值范围为 题型十一：根据函数的最值求参数 38．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 39．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或e 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导化简，将导数整理为便于分析符号的形式，并分类讨论导数的符号，得知单调性即可； （2）先结合单调性判断最值是否存在，再确定最值点，最后代入最值条件列方程求解即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 且， 当时，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， ， 所以，解得或， 故函数的最小值为2，实数的值为或e. 40．（2025·四川德阳·一模）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数对称性的应用、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解； （2）先由题设分析得到，再利用导数工具研究函数的单调性和最值，结合即可求解. 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. 41．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求出切点，再结合导数的几何意义求出斜率，最后得到切线方程即可. （2）先求出，进而结合因式分解法判断，再利用余弦函数的性质求解单调区间即可. （3）先利用换元法得到，再针对参数范围讨论的单调性，进而结合最大值为4建立方程，求解的值即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点为，可得， 由斜率的几何意义得斜率为，故切线方程为. （2）因为， 所以， 故， 令，则， 因为，所以，， 可得，令，， 令，， 故的单调递增区间是， 单调递减区间是. （3）令，则可化为， 而，由题意得，故， 令，解得，下面我们讨论和的大小关系， 当时，解得，此时在上单调递减， 此时的最大值为， 令，则， 此时，故恒成立，则在上单调递增， 则，可得的最大值不可能为，故排除， 当时，解得，令，， 令，，故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 得到，解得. 题型十二：函数的图象与函数性质的关系 42．（2025高三·全国·专题练习）设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据题意，可得是上的奇函数，且，再数形结合解不等式即可． 【详解】当时，， 令，， 则在单调递增， 又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为： 的解集为． 故选：D． 43．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】先构造函数，得到单调递增，再分析各选项中与的距离变化情况是否符合的单调即可. 【详解】令，又，则，在定义域上单调递增， 对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，故，又与的距离越来越大，此时单调递减，故A错误， 对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故B正确， 对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确， 对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故D正确， 故选：A. 44．（多选）（25-26高二上·重庆·期末）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D． 【答案】AC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数的正负性得出函数的单调性即可逐一判断. 【详解】因为在上恒成立，所以在上单调递增，故A正确； 因为在上恒成立，所以在上单调递增，故B错误； 因为在上恒成立，在上恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，故C正确； 因为在上单调递减，所以，故D错误. 故选：AC 45．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【答案】ACD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、利用导数研究函数的零点 【分析】根据的图象，分析的单调性、极值、最值、零点即可. 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 46．（多选）（2026高三·全国·专题练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【答案】ABC 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】先由导函数图象得到的单调性，进而得到极值点情况，从而可得结果. 【详解】由图象知，当和时，，所以函数在，上单调递增，故A正确； 当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当和时，，当时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误． 故选：ABC. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $