4.4 约分（六大题型）（专项练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

4.4 约分 题型一 质因数的含义 1．210的质因数共有（    ）。 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．在5×6＝30中，( )和( )都是30的因数，其中( )是30的质因数。 3．因为40＝1×2×2×5，所以1、2、5都是40的质因数。( ) 4．写出几个连续的自然数，使它们的积是15120。 题型二 分解质因数 5．把18分解质因数是（    ）。 A． B． C． D． 6．“书香浸润心灵，阅读点亮人生。”李铭特别喜欢读名著，这天他读到《西游记》第四回“官封弼马心何足，名注齐天意未宁”时发现左右两页页码的乘积正好是420。那么他读到的这两页的页码分别是 和 。 7．把20分解成质数相乘的形式是20＝1×2×2×5。( ) 8．老师给你介绍过“分解质因数”吗？每个合数都可以由几个质数相乘得到。例如：4＝2×2，15＝3×5，30＝2×3×5…像这样，将一个合数写成几个质数相乘的形式就叫做分解质因数。你懂了吗？请先试着将下面的合数分解质因数： 12＝ 54＝ 利用“分解质因数”的方法还能帮我们解决一些看似难度很大的问题，请你看看下面这个问题能不能通过先分解质因数，再将质因数进行适当组合的方法来解决？ 天天、元元和笑笑三个好朋友的年龄是从小到大三个连续的自然数，如果将他们的年龄相乘，积是504，请问这三个人的年龄分别是多少岁？ 504＝ 题型三 公因数与最大公因数 9．下列（    ）的最大公因数是4。 A．1和4 B．2和4 C．4和8 D．6和24 10．学校阅览室用12枝满天星、15枝百合和24枝玫瑰扎同样的花束，刚好扎满，没有剩余。则每束花有( )枝满天星、( )枝百合和( )枝玫瑰。 11．两个数的最大公因数一定比这两个数小。( ) 12．学校教导处现有36支钢笔和40本软皮本，准备平均分发给参加数学竞赛优胜获奖的班级，结果钢笔多1支，软皮本缺2本。有几个班级优胜获奖？ 题型四 用最大公因数解决实际问题 13．用84朵黄花和48朵蓝花搭配扎成同样的花束（两种花都正好用完，没有剩余），最多能扎成（    ）束。 A．12 B．11 C．10 D．8 14．把两根长分别是28分米和36分米的彩带，剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是( )分米。 15．有一张长21厘米，宽14厘米的长方形彩纸，想用它剪几个大小相同的正方形（彩纸无剩余），正方形的边长最大是7厘米。( ) 16．五年级和四年级要完成植树任务。五年级来了40人，四年级来了56人。如果把两个年级的学生分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数相同，那么每个小组最多有多少人？分别可以分成几个小组？ 题型五 最简分数 17．下面分数中，（    ）是最简分数。 A． B． C． D． 18．在以为分数单位的分数中，最简真分数有( )个，它们相加的和再加上( )个这样的分数单位就等于最小的合数。 19．分子和分母是两个连续自然数（不包括0）的分数一定是最简分数。( ) 20．学校征集短视频、绘画和摄影作品参加红花岗区第三届劳动实践教育技能竞赛，共收到短视频作品21件，绘画作品33件，摄影作品比绘画作品多4件，短视频作品占所有作品的几分之几？ 题型六 约分的认识及应用 21．把5克糖加入45克水中，糖占糖水的（    ）。 A． B． C． D． 22．立夏当天，有斗蛋的习俗。将煮熟的鸡蛋放入编织好的网兜，比比谁的鸡蛋最硬。网兜一般用彩线编织成各种形状，将一根3m长的彩线剪成同样长的6段，其中每段的长度是全长的( )，每段长是( )m。 23．做同样一组题目（全部做对），小明用了15分钟完成，小红用了小时完成。小明做题的速度比小红慢。( ) 24．学校合唱队有男生28人，女生比男生多4人。合唱队的男生人数是女生人数的几分之几？男生人数是全体合唱队人数的几分之几？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 约分 题型一 质因数的含义 1．210的质因数共有（    ）。 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】先找出210所有的因数，再找出所有因数属于质数的数即可。 【详解】210的因数：1、2、3、5、6、7、10、14、15、21、30、35、42、70、105、210； 其中质因数有：2、3、5、7，一共有4个。 故答案为：A 2．在5×6＝30中，( )和( )都是30的因数，其中( )是30的质因数。 【答案】 5 6 5 【分析】（1）如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然数），那么b，c就是a的因数，a就是b，c的倍数。根据因数、倍数意义解答即可。 （2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。根据质数的意义，再从30的因数中找到是质数的因数，即30的质因数。 【详解】5×6＝30写成除法算式是30÷5＝6，根据因数、倍数的意义可知：5和6是30的因数。5是质数，6是合数，所以其中5是30的质因数。 所以在5×6＝30中，5和6都是30的因数，其中5是30的质因数。 【点睛】此题考查了因数、倍数的意义及质数的意义，注意质因数的含义。 3．因为40＝1×2×2×5，所以1、2、5都是40的质因数。( ) 【答案】× 【详解】质因数指的是40的因数里是质数的，1不是质数，所以1不是40的质因数。 故答案为：× 4．写出几个连续的自然数，使它们的积是15120。 【答案】5，6，7，8，9 【分析】对15120进行质因数分解，得到：15120＝2×2×2×2×3×3×3×5×7，为了得到连续的自然数，将质因数进行适当的组合。由于分解结果中包含5和7，这意味着连续的自然数至少需要覆盖5到7的范围。接下来，将其他因数进行组合，使其尽可能接近连续自然数的形式。6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，这样就可以得到几个连续的自然数分别是5，6，7，8，9，据此解答。 【详解】15120＝2×2×2×2×3×3×3×5×7 6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3 15120＝5×6×7×8×9 因此这几个连续的自然数分别是5，6，7，8，9。 题型二 分解质因数 5．把18分解质因数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。 据此判断即可。 【详解】A．6不是质数。该选项不符合题意； B．2、3、3都是质数。该选项符合题意； C．9不是质数。该选项不符合题意； D．9不是质数，1既不是质数也不是合数。该选项不符合题意。 故答案为：B 6．“书香浸润心灵，阅读点亮人生。”李铭特别喜欢读名著，这天他读到《西游记》第四回“官封弼马心何足，名注齐天意未宁”时发现左右两页页码的乘积正好是420。那么他读到的这两页的页码分别是 和 。 【答案】 20 21 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 这两页的页码是相邻的两个自然数，且乘积正好是420，就说明420是每个自然数的倍数，据此将420分解质因数，写成由几个质数相乘的形式，再把分解的质数适当组合起来，然后把质数相乘的积作为这两页的页码。 【详解】 420＝2×2×3×5×7 2×2×5＝20 3×7＝21 他读到的这两页的页码分别是20和21。 7．把20分解成质数相乘的形式是20＝1×2×2×5。( ) 【答案】× 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此将20拆分为质数乘积的形式即可。 【详解】由分析可知： 把20分解成质数相乘的形式是20＝2×2×5。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查分解质因数，明确分解质因数的方法是解题的关键。 8．老师给你介绍过“分解质因数”吗？每个合数都可以由几个质数相乘得到。例如：4＝2×2，15＝3×5，30＝2×3×5…像这样，将一个合数写成几个质数相乘的形式就叫做分解质因数。你懂了吗？请先试着将下面的合数分解质因数： 12＝ 54＝ 利用“分解质因数”的方法还能帮我们解决一些看似难度很大的问题，请你看看下面这个问题能不能通过先分解质因数，再将质因数进行适当组合的方法来解决？ 天天、元元和笑笑三个好朋友的年龄是从小到大三个连续的自然数，如果将他们的年龄相乘，积是504，请问这三个人的年龄分别是多少岁？ 504＝ 【答案】2×2×3    2×3×3×3     7岁；8岁；9岁 【分析】（1）分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 把504分解质因数，再将因数进行适当组合即可解答。 【详解】（1）12＝2×2×3 54＝2×3×3×3     （2）504＝2×2×2×7×9   2×2×2＝8 7×8×9＝504 答：三个人的年龄分别是7岁、8岁、9岁。 题型三 公因数与最大公因数 9．下列（    ）的最大公因数是4。 A．1和4 B．2和4 C．4和8 D．6和24 【答案】C 【分析】如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是两个数中的较小数，据此解答。 【详解】A．1和4是互质数，所以1和4的最大公因数是1； B．4÷2＝2，4是2的倍数，所以2和4的最大公因数是2； C．8÷4＝2，8是4的倍数，所以4和8的最大公因数是4； D．24÷6＝4，24是6的倍数，所以6和24的最大公因数是6。 故答案为：C 10．学校阅览室用12枝满天星、15枝百合和24枝玫瑰扎同样的花束，刚好扎满，没有剩余。则每束花有( )枝满天星、( )枝百合和( )枝玫瑰。 【答案】 4 5 8 【分析】要扎成同样的花束且没有剩余，意味着花束的数量是12（满天星数量）、15（百合数量）和24（玫瑰数量）的公因数。利用分解质因数法，求得这3个数的最大公因数（即最多能扎的花束数），然后再用每种花的数量除以花束数，就能得到每束花中该种花的数量。 【详解】12＝2×2×3 15＝3×5 24＝2×2×2×3 12、15和24的最大公因数是3，即最多能扎3束花。 12÷3＝4（枝） 15÷3＝5（枝） 24÷3＝8（枝） 每束花有4枝满天星、5枝百合和8枝玫瑰。 11．两个数的最大公因数一定比这两个数小。( ) 【答案】× 【分析】根据最大公因数的定义，若两个数是倍数关系或相等时，它们的最大公因数是较小的数或自身，此时最大公因数并不比这两个数小。 【详解】例如6和3，它们的最大公因数是3，与较小的数相等； 例如5和5，最大公因数是5，与两数相等。 因此，最大公因数不一定比这两个数小，原说法错误。 故答案为：× 12．学校教导处现有36支钢笔和40本软皮本，准备平均分发给参加数学竞赛优胜获奖的班级，结果钢笔多1支，软皮本缺2本。有几个班级优胜获奖？ 【答案】 7个 【分析】钢笔多1支，说明实际分发的钢笔数为36－1＝35支，且35能被班级数整除；软皮本缺2本，说明实际需要的软皮本数为40＋2＝42本，且42能被班级数整除。因此，班级数必须是35和42的公因数。35和42的公因数有1和7，但若班级数为1，则钢笔分发应无剩余（实际多1支矛盾），软皮本应无缺少（实际缺2本矛盾），故班级数不能为1。验证班级数为7时符合条件，因此获奖班级数为7个。 【详解】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有：1，5，7，35。 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42。 公因数有1和7。 若班级数为1，则钢笔分发应无剩余（实际多1支矛盾），因此，获奖班级数为7个。 答：有7个班级优胜获奖。 题型四 用最大公因数解决实际问题 13．用84朵黄花和48朵蓝花搭配扎成同样的花束（两种花都正好用完，没有剩余），最多能扎成（    ）束。 A．12 B．11 C．10 D．8 【答案】A 【分析】用84朵黄花和48朵蓝花搭配扎成同样的花束，两种花都正好用完，没有剩余。说明84和48的最大公因数就是最多能扎成多少束，可以用分解质因数法解答。84＝2×2×3×7；48＝2×2×2×2×3。两个数的最大公因数是这两个数公有的质因数的乘积，所以它们的最大公因数为2×2×3＝12。这意味着最多能扎成12束花，此时两种花正好用完，没有剩余。 【详解】84＝2×2×3×7 48＝2×2×2×2×3 2×2×3＝12（束） 所以最多能扎成12束花。 故答案为：A 14．把两根长分别是28分米和36分米的彩带，剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是( )分米。 【答案】4 【分析】要把两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根彩带最长是多少分米，就是求28和36的最大公因数；求两个数的最大公因数，也就是这两个数的公有质因数的连乘积。可以先分别把这两个数分解质因数，再把这两个数的公有质因数相乘即可解答。 【详解】28＝2×2×7 36＝2×2×3×3 28和36的最大公因数是2×2＝4，即每根短彩带最长是4分米。 15．有一张长21厘米，宽14厘米的长方形彩纸，想用它剪几个大小相同的正方形（彩纸无剩余），正方形的边长最大是7厘米。( ) 【答案】√ 【分析】已知把一张长21厘米，宽14厘米的长方形彩纸剪成相同的小正方形，且没有剩余，要求小正方形的边长最长是多少厘米，就是求21和14的最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积。据此解答。 【详解】21＝3×7 14＝2×7 21和14的最大公因数是7。 正方形的边长最大是7厘米。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了最大公因数的求法和应用。 16．五年级和四年级要完成植树任务。五年级来了40人，四年级来了56人。如果把两个年级的学生分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数相同，那么每个小组最多有多少人？分别可以分成几个小组？ 【答案】8人；五年级可以分成5个小组，四年级可以分成7个小组 【分析】由题意可知，每个小组的人数既是五年级人数的因数，又是四年级人数的因数，求每小组的最多人数就是求40和56的最大公因数，据此求出40和56的最大公因数，即是每组的人数，最后用分别用四五年级的总人数除以每组的人数即可求出四五年级分得的组数。 【详解】因为40和56的最大公因数是8，所以每个小组最多有8人。 （组） （组） 答：每个小组最多有8人，五年级可以分成5个小组，四年级可以分成7个小组。 题型五 最简分数 17．下面分数中，（    ）是最简分数。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子、分母只有公因数1的分数，或者说分子和分母互质的分数叫做最简分数，据此解答。 【详解】根据分析得： A.在分数中，分子9与分母15除了1以外还有3这个公因数，所以不是最简分数； B.在分数中，分子10和分母23除了1以外没有共同的因数，所以是最简分数； C.在分数中，分子17和分母51除了1以外还有17这个公因数，所以不是最简分数； D.在分数中 ，分子24和分母87除了1以外还有3这个公因数，所以不是最简分数。 故答案为：B 18．在以为分数单位的分数中，最简真分数有( )个，它们相加的和再加上( )个这样的分数单位就等于最小的合数。 【答案】 4 24 【分析】分子分母互质的分数是最简分数，分子小于分母的分数是真分数，最小的合数是4，据此解答。 【详解】由分析可知，分母是12的最简真分数有：、、、，4个。 它们相加的和是： 所以最简真分数有4个，它们相加的和再加上24个这样的分数单位就等于最小的合数。 19．分子和分母是两个连续自然数（不包括0）的分数一定是最简分数。( ) 【答案】√ 【分析】两个连续自然数的最大公因数是1，因此分子和分母为连续自然数的分数一定是最简分数。 【详解】设分子为，分母为（为自然数且）。因为和是连续自然数，它们的差为1，所以它们的最大公因数是1。根据最简分数的定义，分子和分母只有公因数1的分数是最简分数，因此该分数一定是最简分数。例如：、、等均为最简分数。结论正确， 故答案为：√ 【点睛】紧扣“连续自然数（非0）的最大公因数为1”与“最简分数的定义（分子分母只有公因数1）”的关联，直接推导结论，无需额外约分验证。 20．学校征集短视频、绘画和摄影作品参加红花岗区第三届劳动实践教育技能竞赛，共收到短视频作品21件，绘画作品33件，摄影作品比绘画作品多4件，短视频作品占所有作品的几分之几？ 【答案】 【分析】根据题意，先求出摄影作品的数量，再求出所有作品的总数，最后用短视频作品数量÷所有作品总数，得到短视频作品占所有作品的几分之几。据此解答。 【详解】摄影作品数量：33＋4＝37（件） 所有作品总数：21＋33＋37＝91（件） 短视频作品占比：21÷91＝＝ 答：短视频作品占所有作品的。 题型六 约分的认识及应用 21．把5克糖加入45克水中，糖占糖水的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】糖的质量是5克，水的质量是45克，所以糖水的总质量为5＋45＝50克。用糖的质量除以糖水的总质量，即用5除以50计算即可解答。 【详解】5＋45＝50（克） 5÷50＝＝ 所以糖占糖水的。 故答案为：A 22．立夏当天，有斗蛋的习俗。将煮熟的鸡蛋放入编织好的网兜，比比谁的鸡蛋最硬。网兜一般用彩线编织成各种形状，将一根3m长的彩线剪成同样长的6段，其中每段的长度是全长的( )，每段长是( )m。 【答案】 【分析】把这根彩线的全长看作单位“1”，求每段的长度是全长的几分之几，平均分的是单位“1”，用1÷6列式解答；求每段长多少m，平均分的是具体的长度，用彩线的全长除以平均分成的段数。 【详解】1÷6＝ 3÷6＝（m） 所以每段的长度是全长的，每段长m。 23．做同样一组题目（全部做对），小明用了15分钟完成，小红用了小时完成。小明做题的速度比小红慢。( ) 【答案】× 【分析】做同样一组题目（全部做对），用时越少速度越快，比较两人用时即可。根据1小时＝60分钟，单位小变大除以进率，将分钟数化成小时数。分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。 【详解】15÷60＝＝（小时） 做同样一组题目（全部做对），小明用了15分钟完成，即小时，小红用了小时完成。两人做题的速度一样快，所以原题说法错误。 故答案为：× 24．学校合唱队有男生28人，女生比男生多4人。合唱队的男生人数是女生人数的几分之几？男生人数是全体合唱队人数的几分之几？ 【答案】； 【分析】求合唱队的男生人数是女生人数的几分之几，用合唱队的男生人数÷女生人数即可；求男生人数是全体合唱队人数的几分之几，用男生人数÷全体合唱队人数即可。 【详解】28÷（28＋4） ＝28÷32 ＝ 28÷（28＋28＋4） ＝28÷60 ＝ 答：合唱队的男生人数是女生人数的，男生人数是全体合唱队人数的。 1 学科网（北京）股份有限公司 $