精品解析：2026年江苏省南京市鼓楼区名校联合中考一模数学试题

2026届初三学情调研 一、单选题（本大题共6小题，共12分） 1. 已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　） A. ⊙O的内部 B. ⊙O的外部 C. ⊙O上或⊙O的内部 D. ⊙O上或⊙O的外部 2. 一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A. y＝x2+4x+7 B. y＝x2－4x+7 C. y＝x2+4x+1 D. y＝x2－4x+1 4. 学校举行读书节活动，某小组的名同学在这次活动中的读书本数分别是：，，，，．下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 极差是 5. 如图，在中，，E，F，G，H分别是边的中点，连接，则对四边形的形状描述最准确的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③（为任意实数），④若方程两根为，且，则，⑤若点在抛物线上，当二次函数的自变量的取值范围为时，则二次函数的函数值的取值范围为．其中正确的结论有（ ）个． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，共20分） 7. 已知一组数据，，5，7，这组数据的极差是___________． 8. 若，则__________． 9. 如图，点 在双曲线 上，连接 ，以 为边作平行四边形．若点 恰落在双曲线 上，此时平行四边形 的面积为___________． 10. 用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 _____． 11. 二次函数，当时， y的范围_____________． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为________． 13. 五边形内角和为________；等腰三角形有一个角，其顶角度数为________． 14. 如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点F从点C出发，沿的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为__________. 15. 如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，则的长度为________． 16. 如图，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若AF=2，则的面积为__． 三、解答题（本大题共8小题，共88分） 17. 解方程： (1) (2) 18. 某学校在“体育节”期间举行投篮比赛活动．学校在每班随机抽取10名同学参加，规定每人投篮10次． 下面对八年级（3）班10名参赛同学的投中次数进行了收集、整理和分析． 【收集数据】 3，2，1，4，3，5，6，4，3，5 【整理数据】 投中次数 1 2 3 4 5 6 频数 1 a b 2 2 1 根据上面整理的数据，制作出扇形统计图如图． 【分析数据】 统计量 班 平均数 中位数 众数 方差 八年级（3）班 e f 3 2.04 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据扇形统计图，将投中次数所占百分比不低于20%的记为“最多投中数”，学校通过“最多投中数”来评估八年级（3）班学生的投篮情况，若八年级（3）班共有40名学生，估计全班同学能达到“最多投中数”的有多少名？ 【数据应用】 （3）八年级（6）班10名参赛同学的投中次数的相关信息如下： 统计量 班 平均数 中位数 众数 方差 八年级（6）班 3.6 4 2 3.64 根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个班同学的投篮水平更高一些？并给出一条合理的解释． 19. 进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温， （1）甲同学通过A通道进入校园的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率． 20. 如图，抛物线交直线于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标和的最小周长值． 21. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于F，且，连接． （1）求证：D是的中点； （2）如果，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若四边形为菱形，则需满足________（添加合适的条件）． 22. 如图①，在中，，，．动点从点出发，在边上以的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动时间为，连接． （1）若与相似，求的值； （2）如图②，连接，，若，求的值． 23. 我们不妨约定：若存在实数，对于函数图象上任意两点 ，都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为． （1）若下列函数是幸福函数，则其中幸福指数为6的是 ．（填序号） ①；②；③； （2）若一次函数 和反比例函数 （为常数， 且，当 且时，这两个函数的幸福指数相同，求的值； （3）若关于的幸福函数 （为常数），当 时，幸福指数为，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当，时，求抛物线的解析式； （2）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初三学情调研 一、单选题（本大题共6小题，共12分） 1. 已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　） A. ⊙O的内部 B. ⊙O的外部 C. ⊙O上或⊙O的内部 D. ⊙O上或⊙O的外部 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径4的大小，若d﹥4，则点P在⊙O的外部，若d﹤4，则点P在⊙O的内部，若d=4，则点P在⊙O上，即可解答． 【详解】解：原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0， 解得：x1=5，x2=﹣1（舍去）， ∴d=5， ∵d=5﹥4， ∴点P在⊙O的外部， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键． 2. 一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，求解即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，共6个， ∴从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为． 故选C． 3. 将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A. y＝x2+4x+7 B. y＝x2－4x+7 C. y＝x2+4x+1 D. y＝x2－4x+1 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，根据顶点式写出平移后抛物线的解析式即可得出答案． 【详解】∵抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴所得到的抛物线的解析式是y=（x﹣2）2+3， 即y＝x2－4x+7． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移.将抛物线先化为顶点式再按平移规律写出平移后的解析式是解题的关键． 4. 学校举行读书节活动，某小组的名同学在这次活动中的读书本数分别是：，，，，．下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 极差是 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了众数、中位数、平均数、极差，根据众数、中位数、平均数、极差等定义逐一排除即可，正确理解各定义及计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵某小组的名同学在这次活动中的读书本数分别是：，，，，， ∴从小到大排序为：，，，，， ∴、众数为，原选项不符合题意； 、中位数为，原选项不符合题意； 、平均数为，原选项不符合题意； 、极差是，原选项符合题意； 故选：． 5. 如图，在中，，E，F，G，H分别是边的中点，连接，则对四边形的形状描述最准确的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键．连接、，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：连接、， 四边形为平行四边形，， 平行四边形为菱形， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 故选：B． 6. 二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③（为任意实数），④若方程两根为，且，则，⑤若点在抛物线上，当二次函数的自变量的取值范围为时，则二次函数的函数值的取值范围为．其中正确的结论有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件分别求得与的关系式，进而判断①②，根据抛物线开口以及对称轴求得最小值，进而判断③，根据两函数图象交点求得方程的解，进而判断即可判断④，根据二次函数图象以及自变量的范围求得函数值值的最小值与最大值即可判断⑤ 【详解】解：二次函数图象过点，对称轴为直线，即；即 根据对称性，二次函数与轴的另一个交点坐标为 , 解得 故①不正确； ， 故②正确； 时， （为任意实数） （为任意实数） 故③正确 若方程两根为，且， 即为两函数的交点，如图， 则 故④不正确； 若点在抛物线上，当二次函数的自变量的取值范围为时， 当时，取得最大值0，当时，取得最小值， 则二次函数的函数值的取值范围为 故⑤不正确 综上所述，正确的有②③， 故选B 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的图象求方程的解，掌握二次函数图像与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，共20分） 7. 已知一组数据，，5，7，这组数据的极差是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】用最大的数减去最小的数，即可求解． 【详解】解：这组数据的极差是， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的极差，解题的关键是掌握极差是一组数据最大值与最小值的差． 8. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可； 【详解】解：由可设，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 9. 如图，点 在双曲线 上，连接 ，以 为边作平行四边形．若点 恰落在双曲线 上，此时平行四边形 的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过A点作轴于D，过C作CE⊥x轴于E，过B作于交延长线于点F，则，设），，根据可得，从而得到，设，则可化方程为可化方程为，，求得，，然后根据，即可得解． 【详解】解：如图，连接，过A点作轴于D，过C作CE⊥x轴于E，过B作于交延长线于点F，则， ∴， 设），， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵B点在双曲线上， ∴， 设，则可化方程为， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ = ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，解此题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质，根据反比例函数求面积等知识点． 10. 用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解即可. 【详解】扇形的弧长=， 设圆锥的底面半径为R，则，解得． 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解、扇形的半径和圆锥母线等长. 11. 二次函数，当时， y的范围_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出，时的函数值，即可求解取值范围． 【详解】解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 13. 五边形内角和为________；等腰三角形有一个角，其顶角度数为________． 【答案】 ①. 540° ②. 80°或20° 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式即可求出五边形的内角和，分80°为等腰三角形的顶角和底角两种情况，分别根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：五边形内角和为（5－2）×180°=540°； 若80°为等腰三角形的顶角，则顶角度数是80°；若80°为等腰三角形的底角，则顶角的度数为180°－80°－80°=20°． 故答案为：540°，80°或20°． 【点睛】本题考查了多边形的内角和和等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点F从点C出发，沿的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为__________. 【答案】3或 【解析】 【分析】分点落在对角线上和点落在对角线上两种情况分别进行讨论求解，即可得出点F运动的距离． 【详解】解：分两种情况： ①当点落在对角线上时，连接，如图1所示： ∵将矩形沿折叠，点C的对应点为点，且点恰好落在矩形的对角线上， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴点D、C、在以E为圆心，DE为半径的圆上 ∴，即， ∴， ∴ ∴点F是的中点， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴点F运动的距离为3； ②当点落在对角线上时，作于H，则， 四边形为矩形，如图2所示： 在矩形中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点F运动的距离为 综上所述：点F运动的距离为3或 故答案为：3或 【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要利用翻折变换的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、圆周角定理的推论、解直角三角形等知识；熟练掌握矩形的性质，熟记翻折变换的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，过点作于点，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，证明，进而得到，通过证明，得到，则． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若AF=2，则的面积为__． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取DF的中点K，连接AK，EK．连接GM交EF于H．首先证明△DEF是等腰直角三角形求出DE，EF，解直角三角形求出EN，MH即可解决问题． 【详解】解：如图，取DF的中点K，连接AK，EK．连接GM交EF于H． ∵四边形ACD是正方形， ∴AD=AB=6，∠DAB=90°，AB∥CD，∠DAC=∠CAB=45°， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF=∠DAF=90°， ∵DK=KF， ∴KA=KD=KF=KE， ∴A，F，E，D四点共圆， ∴∠DFE=∠DAE=45°， ∴∠EDF=∠EFD=45°， ∴DE=EF， ∵AF=2，AD=6， ∴DF=， ∴DE=EF=， ∵AF∥CD， ∴， ∴FG=FM=， ∴GM=FM=， ∴FH=GH=HM=， ∵EF⊥GM， ∴GH=HM=， ∴EH=EF-FH=， ∵MH∥DE， ∴， ∴EN=， ∴S△ENM=•EN•MH=． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，四点共圆，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8小题，共88分） 17. 解方程： (1) (2) 【答案】(1)，；(2)，. 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可. 【详解】解：(1)原方程可化为， 移项得， 分解因式得， 于是得，或， ，； (2)原方程化简得， ， ∴， ，. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键. 18. 某学校在“体育节”期间举行投篮比赛活动．学校在每班随机抽取10名同学参加，规定每人投篮10次． 下面对八年级（3）班10名参赛同学的投中次数进行了收集、整理和分析． 【收集数据】 3，2，1，4，3，5，6，4，3，5 【整理数据】 投中次数 1 2 3 4 5 6 频数 1 a b 2 2 1 根据上面整理的数据，制作出扇形统计图如图． 【分析数据】 统计量 班 平均数 中位数 众数 方差 八年级（3）班 e f 3 2.04 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据扇形统计图，将投中次数所占百分比不低于20%的记为“最多投中数”，学校通过“最多投中数”来评估八年级（3）班学生的投篮情况，若八年级（3）班共有40名学生，估计全班同学能达到“最多投中数”的有多少名？ 【数据应用】 （3）八年级（6）班10名参赛同学的投中次数的相关信息如下： 统计量 班 平均数 中位数 众数 方差 八年级（6）班 3.6 4 2 3.64 根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个班同学的投篮水平更高一些？并给出一条合理的解释． 【答案】（1），，；（2）28名 （3）八年级（3）班成绩好； 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数、众数，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据扇形统计图列式计算即可求出全班同学能达到“最多投中数”的有多少名； （3）从平均数、中位数、众数、方差的比较得出结论，理由合理即可． 【详解】解：（1）10名参赛同学中投中3次的有3人， ， ， 平均数（次）； 将3，2，1，4，3，5，6，4，3，5按从小到大的顺序排序为：1，2，3，3，3， 4， 4，5，5，6，中间两个数是3，4， （次）； 故答案为：，，； （2）投中2次的有1人，占，投中次数所占百分比不低于20%的有8个人， 40名同学能达到“最多投中数”的有（名）， 答：40名同学能达到“最多投中数”的有28名． （3）八（3）班同学的投篮水平更高一些， 理由：从平均数来看，两班成绩一样；从中位数来看，八年级（6）班比八年级（3）班成绩好，不低于4次的人数多；从众数来看，八年级（3）班成绩好；从方差来看，八年级（3）班成绩稳定，综上，八（3）班同学的投篮水平更高一些． 19. 进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温， （1）甲同学通过A通道进入校园的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意，画出树状图，可得共8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有2种，再由概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：甲同学通过A通道进入校园的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意，画出树状图，如下图： 共8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有2种， ∴甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键． 20. 如图，抛物线交直线于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标和的最小周长值． 【答案】（1） （2），的最小周长值为 【解析】 【分析】（1）根据直线交坐标轴于，两点，可得点，点坐标，利用待定系数法即可求解． （2）根据当的周长最小时，则最小，此时点D为直线与直线的交点，把代入，求出y值即可求点D坐标．再求出点A坐标，从而可求得，，即可由的周长最小值求解． 【小问1详解】 解：直线交坐标轴于，两点， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， 抛物线交直线于坐标轴上，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线交x轴于点A、B， ∴点A、B关于直线对称， ∵点D在抛物线的对称轴上， ∴， ∴ ∴当点B、D、C三点共线时，的值最小，最小值等于的长， ∵的周长， ∴当的周长最小时，则最小， 此时点D为直线与直线的交点，如图， 把代入，得， ∴． 把代入，得， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查二次函数图象与一次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键． 21. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于F，且，连接． （1）求证：D是的中点； （2）如果，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若四边形为菱形，则需满足________（添加合适的条件）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中，， ， ， ， ， ∴是的中点； （2）四边形为矩形， 证明：∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，证明是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解； （2）首先判定四边形为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可得四边形为矩形； （3）由（1）知平行等于，证四边形是平行四边形，而，利用直角三角形的性质定理，可证，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若满足时，四边形是菱形， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴平行四边形是菱形． 22. 如图①，在中，，，．动点从点出发，在边上以的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动时间为，连接． （1）若与相似，求的值； （2）如图②，连接，，若，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别与，根据相似的性质列出方程求解即可； （2）过点作于点，证明，可得，证明，，根据相似的性质列出方程，解方程即可求得的值． 【小问1详解】 由题意知：，， ∴ ，， 当时，， ∴ ，解得：； 当时，， ∴ ，解得：， ∴ 与相似时，的值为或． 【小问2详解】 过点作于点，如图所示， 由题意得：，， ， ∴ ． ， ∴， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴，解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 我们不妨约定：若存在实数，对于函数图象上任意两点 ，都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为． （1）若下列函数是幸福函数，则其中幸福指数为6的是 ．（填序号） ①；②；③； （2）若一次函数 和反比例函数 （为常数， 且，当 且时，这两个函数的幸福指数相同，求的值； （3）若关于的幸福函数 （为常数），当 时，幸福指数为，求的值． 【答案】（1）① （2） （3）的值为或  【解析】 【分析】本题 主要考查了一次函数，反比例函数，二次函数的运用，理解新定义的含义及计算方法，掌握函数值的计算方法是关键． （1）根据函数解析式，分别代入自变量求出对应的函数值，再结合定义判定即可求解； （2）根据题意得到，根据绝对值方程，求一个数的平方根的运算计算即可； （3）根据二次函数图象的性质得到图象开口向下，对称轴直线为，分类讨论：①当，即时；②当时；③当时，当时；分别算出函数值，结合幸福指数的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：①，当时，，当时，， ∴， ∴是幸福函数，幸福指数为6，符合题意； ②，当时，，当时，， ∴， ∴是幸福函数，幸福指数为4，不符合题意； ③，图象开口向上，对称轴为，当时，随的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴， ∴是幸福函数，幸福指数为3，不符合题意； 综上所述，符合题意的只有①， 故答案为：①； 【小问2详解】 解：一次函数 和反比例函数 （为常数， 且，当 且时，这两个函数的幸福指数相同， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，， ∵， ∴舍去， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴函数图象向下，对称轴直线为， ①当，即时，当时，，当时，， ∴， 整理得，， ∵，则， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； ②当时，当时，，当时，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得，； ③， 解得，， 当时，当时，，当时，， ∴， 整理得，，即， 解得，， ∵，， ∴； 当时，当时，，当时，， ∴， 整理得，，即， 解得，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 24. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当，时，求抛物线的解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）将，代入抛物线解析式待定系数法求解析式，即可求解； （2）方法一：将点，代入抛物线解析式，整理得，，根据对称轴为得出，方法二：当时，点，的纵坐标相等，得出对称轴为得出， 【小问1详解】 解：当，时，将， 代入抛物线解析式 解得： 抛物线解 【小问2详解】 方法一：将点，代入抛物线解析式， ，整理得，， 抛物线的对称轴为直线； ， 方法二：当时，点，的纵坐标相等， 由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $