周周练19 期末复习专题一：平面向量及其应用（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练19 期末复习专题一：平面向量及其应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量，若向量在方向上的投影为，则（ ） A． B． C．或13 D．3 2．已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 3．若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 4．已知在直角三角形中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，为半圆弧上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（    ） A．45° B．60° C．135° D．150° 6．在锐角三角形ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，则sinB的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（    ） ①若，则点为的重心； ②若，，，则； ③若，则点为的垂心； ④若，，且为边中点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 8．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ） A．(1，9] B．(3，9] C．(5，9] D．(7，9] 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B． C．若，则 D． 10．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点F在弧上，且，点E在弧上运动.则下列结论正确的有（    ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．的最小值是 11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则为的中点 D．若在线段上，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，满足，则的最小值为 ． 13．在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则的最小值是 ． 14．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，满足，． (1)求与的夹角； (2)若，，求m的值． 16．在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，） 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 18．如图，在中，，，AD与BC相交于点M，设，. (1)试用，表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值. 19．如图，已知是边长为2的正三角形，点四等分线段 (1)求 (2)为线段上一点，若，求实数的值； (3)为边上一点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练19 期末复习专题一：平面向量及其应用 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B A C C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．9 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1)；(2)0. 【分析】 （1）根据给定条件，求出，再求出夹角的余弦即可. （2）由（1）中信息，利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律及已知求解即得. 【详解】（1）由，得，由，得，解得， 而，， 因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）知，， 由，得，解得， 所以m的值为0. 16．（本小题满分15分）10小时 【分析】在中，根据已知条件利用正弦定理即可求解. 【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则， 由题意知，，，， 在中， 又 ， 在中，由正弦定理可得，即，解得， 所以我方军舰大约需要10小时到达C岛． 17．（本小题满分15分）(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 18．（本小题满分16分）(1) (2) 【分析】（1）利用三点共线求得. （2）先求得的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】（1）设， ， 由于三点共线，所以. 所以. （2）依题意，， 由于过点，而，，所以， 由（1）得， 所以, 由于三点共线，所以， ， 当且仅当，时等号成立. 19．（本小题满分17分）(1)；(2) ；(3)． 【分析】先根据题目条件确定为的中点，为的中点，为的中点，为的中点， ，再由是正三角形，得. (1)利用向量数量积的运算律与向量加法法则，化简可得，再在中利用勾股定理求出的长； (2)根据为线段上一点，设，再利用向量的加减法与数乘运算，求出结合列方程组求解，可得； (3)根据为边上一点，设，，再利用向量的加减法与数乘运算， 求出，进而得出，从而当时，取得最小值. 【详解】由题知，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点， 因为是正三角形，所以. (1) ， 因为，，， 所以， 故. (2) 因为为线段上一点，所以可设， 又， 所以. 又，且向量，不共线， 所以，解得， 所以实数的值为. (3)因为为边上一点，所以可设，. ， 因为，， 所以， 当时，取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练19 期末复习专题一：平面向量及其应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量，若向量在方向上的投影为，则（ ） A． B． C．或13 D．3 【答案】B 【分析】根据题意得，进而且，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为， 所以向量在方向上的投影为， 所以且，即且 所以. 故选：B 2．已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解. 【详解】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：， 故选：. 3．若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值. 【详解】在中，因为，所以，又a＝6，所以， 可得，且， 故的面积， 当且仅当，即时取等号， 故面积的最大值为12. 故选：B 4．已知在直角三角形中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，为半圆弧上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出半圆弧所在的圆的方程，利用数量积的坐标形式可求数量积的取值范围. 【详解】    因为直角三角形为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系， 其中，，，而以为直径的圆的方程为：， 设，则,， 故，因为M在半圆上运动变化， 故，故的取值范围为：. 故选：A. 5．已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（    ） A．45° B．60° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可. 【详解】∵，， ∴.∵， ∴，，则， 设向量与的夹角为，与反向,则. 故选：C. 6．在锐角三角形ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，则sinB的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，可得，然后结合角的范围可得，进而求得，根据锐角三角形可得，进而可求解. 【详解】由得，． 因为，，所以而， 所以，即，因此，．由和得到，， 因此，． 故选:C． 7．已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（    ） ①若，则点为的重心； ②若，，，则； ③若，则点为的垂心； ④若，，且为边中点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】设中点为，由已知等式可得，由重心性质可知①正确；取中点，中点，由已知等式可得，则可得与到直线距离之比，由此可知②正确；由可得，即，同理得，，由垂心定义知③正确；由已知等式可得，由此知④正确. 【详解】对于①，当时，； 设中点为，则，即， 为的重心，①正确； 对于②，当，，时，，， 取中点，中点， ，，，即， 到直线距离与到直线距离之比为：，即； 又为中点，点到直线距离，， ，即，②正确； 对于③，由得：， ，同理可得：，， 为的垂心，③正确； 对于④，当，，时，，， 又为边中点，， 又，，，④正确. 故选：D. 8．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ） A．(1，9] B．(3，9] C．(5，9] D．(7，9] 【答案】D 【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 则有， 由的内角为锐角， 可得， ， 由余弦定理可得 因此有 故选：D. 【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B． C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】根据的定义即可判断A；根据即可判断B；根据，可得，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以或， 所以，故C正确； 对于D，若，则， ，故D错误. 故选：AC. 10．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点F在弧上，且，点E在弧上运动.则下列结论正确的有（    ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】由图形特征，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，由，，得各点坐标，由点坐标写出向量坐标，利用向量运算的坐标表示判断每个选项的正误. 【详解】 以O为坐标原点，OB为x轴建立如图平面直角坐标系， 因为，，， 所以，，，，， 设，， 对于A项，，故A错误， 对于B项，，即，解得，， ，故B正确， 对于C项，因为，，所以在方向上的投影向量为，故C正确， 对于D项， 因为，所以，， 所以时，最小为，故D正确. 故选：BCD. 11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则为的中点 D．若在线段上，且，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案. 【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 则，整理得到， ， ，，设， 对选项A：，，，错误； 对选项B：，， ，即投影向量为，正确； 对选项C：， ， ，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误； 对选项D：，，， ，， 整理得到，，故，正确. 故选：CD 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，满足，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据向量加法的几何意义以及模长的定义即可求解. 【详解】因为，所以，，所以，反向时，取得最小值，且最小值为3． 故答案为：3 13．在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则的最小值是 ． 【答案】9 【分析】利用平面向量的运算，可得，接着把问题转化为代数中的函数最值，然后根据有条件基本不等式的有关知识来解决． 【详解】解：由题意得： 又以为为上一点，则由向量共线定理，得 所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值是9． 故答案为：9 14．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 由于，，， 所以， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知向量，满足，． (1)求与的夹角； (2)若，，求m的值． 【答案】(1)； (2)0. 【分析】 （1）根据给定条件，求出，再求出夹角的余弦即可. （2）由（1）中信息，利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律及已知求解即得. 【详解】（1）由，得，由，得，解得， 而，， 因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）知，， 由，得，解得， 所以m的值为0. 16．(本小题满分15分)在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，） 【答案】10小时 【分析】在中，根据已知条件利用正弦定理即可求解. 【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则， 由题意知，，，， 在中， 又 ， 在中，由正弦定理可得，即，解得， 所以我方军舰大约需要10小时到达C岛． 17．(本小题满分15分)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 18．(本小题满分16分)如图，在中，，，AD与BC相交于点M，设，. (1)试用，表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三点共线求得. （2）先求得的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】（1）设， ， 由于三点共线，所以. 所以. （2）依题意，， 由于过点，而，，所以， 由（1）得， 所以, 由于三点共线，所以， ， 当且仅当，时等号成立. 19．(本小题满分17分)如图，已知是边长为2的正三角形，点四等分线段 (1)求 (2)为线段上一点，若，求实数的值； (3)为边上一点，求的最小值． 【答案】(1)；(2) ；(3)． 【分析】先根据题目条件确定为的中点，为的中点，为的中点，为的中点， ，再由是正三角形，得. (1)利用向量数量积的运算律与向量加法法则，化简可得，再在中利用勾股定理求出的长； (2)根据为线段上一点，设，再利用向量的加减法与数乘运算，求出结合列方程组求解，可得； (3)根据为边上一点，设，，再利用向量的加减法与数乘运算， 求出，进而得出，从而当时，取得最小值. 【详解】由题知，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点， 因为是正三角形，所以. (1) ， 因为，，， 所以， 故. (2) 因为为线段上一点，所以可设， 又， 所以. 又，且向量，不共线， 所以，解得， 所以实数的值为. (3)因为为边上一点，所以可设，. ， 因为，， 所以， 当时，取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $