专题一 解一元一次不等式（组）（第二章 不等式与不等式组）模型讲练+培优检测 共60题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册专项复习培优讲义

专题一 解一元一次不等式（组） （第二章 不等式与不等式组） 【北师大版八下●新教材】 优选题型 模型讲练 1 模型讲练一 不等式的解集 1 模型讲练二 不等式的性质 2 模型讲练三 —元一次不等式的定义 2 模型讲练四 求一元一次不等式的解集 3 模型讲练五 在数轴上表示不等式的解集 3 模型讲练六 求一元一次不等式的整数解 4 模型讲练七 求一元一次不等式解的最值 5 模型讲练八 解|×≥a型的不等式 5 模型讲练九 列一元一次不等式 7 模型讲练十 求不等式组的解集 7 模型讲练十一解特殊不等式组 8 模型讲练十二 求一元一次不等式组的整数解 10 模型讲练十三 由一元一次不等式组的解集求参数 10 模型讲练十四 由不等式组解集的情况求参数 11 模型讲练十五 不等式组和方程组结合的问题 12 培优检测 能力提升 12 模型讲练一 不等式的解集 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建厦门·月考）已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【变式训练2】（24-25七年级下·北京延庆·期末）关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若，则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”． (1)在①；②；③中，是“可乘方程”的是 ； (2)若方程是关于x，y的“可乘方程”，求的值； (3)若是关于x，y的“可乘方程组”，且，直接写出的取值范围． 模型讲练二 不等式的性质 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）若不等式成立，则满足的条件是 ． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 模型讲练三 —元一次不等式的定义 【典例分析】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数 a 的取值范围是 ． 【变式训练2】如果是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 模型讲练四 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． (3)． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 模型讲练五 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：． (1)求的值． (2)若的值大于－2，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1) ． (2)． 【变式训练2】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 模型讲练六 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（2026七年级下·全国·专题练习）已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏常州·月考）（1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：． （2）若（1）中的不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知是不等式的一个解，则整数的最小值是 ． 模型讲练七 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【变式训练1】已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【变式训练2】已知、满足和，求的最小值． 模型讲练八 解|×≥a型的不等式 【典例分析】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【变式训练1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式训练2】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 模型讲练九 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽·单元测试）当取何值时，的值不大于？ 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·假期作业）若式子的值不大于的值，则的最小整数值为 ． 模型讲练十 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·期中）已知整数同时满足不等式和，并且满足方程，求的值． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) (3) 【变式训练2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 模型讲练十一解特殊不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【变式训练1】阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 模型讲练十二 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解不等式组并写出非负整数解． 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【变式训练2】（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 模型讲练十三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【变式训练1】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如果关于的不等式的整数解只有1，2，3，则的取值范围 ，的取值范围 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)请验证方程是否是不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，请直接写出的取值范围． 模型讲练十四 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数）．求所有符合条件的整数的值． 【变式训练1】（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练2】（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 模型讲练十五 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（22-23七年级下·河南洛阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【变式训练1】（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【变式训练2】若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）要使在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）若，则下列不等式的变形中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，数轴上表示的是关于x的不等式组的解集，则该不等式组的整数解有 个． 7．（25-26九年级上·江西南昌·期末）不等式组的解集是 ． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）不等式的解集为 ． 9．（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 10．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得：_____， (2)解不等式②，得：_____． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____ 12．（25-26八年级下·全国·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的所有非负整数解． 13．（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）如图，在中，，，为上一点，过点作，交于点．请判断的形状，并说明理由． 14．（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：． （2）已知函数，，试比较，的大小关系． 15．（2026七年级下·全国·专题练习）已知不等式的解都是关于x的不等式的解，求a的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 解一元一次不等式（组） （第二章 不等式与不等式组） 【北师大版八下●新教材】 优选题型 模型讲练 1 模型讲练一 不等式的解集 1 模型讲练二 不等式的性质 4 模型讲练三 —元一次不等式的定义 5 模型讲练四 求一元一次不等式的解集 7 模型讲练五 在数轴上表示不等式的解集 9 模型讲练六 求一元一次不等式的整数解 12 模型讲练七 求一元一次不等式解的最值 14 模型讲练八 解|×≥a型的不等式 15 模型讲练九 列一元一次不等式 19 模型讲练十 求不等式组的解集 21 模型讲练十一解特殊不等式组 23 模型讲练十二 求一元一次不等式组的整数解 28 模型讲练十三 由一元一次不等式组的解集求参数 29 模型讲练十四 由不等式组解集的情况求参数 32 模型讲练十五 不等式组和方程组结合的问题 34 培优检测 能力提升 37 模型讲练一 不等式的解集 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【完整解答】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建厦门·月考）已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据，得出，再根据，即可求解． 【完整解答】（1）解： ， ：， ， 把代入②，得   （2）           法二：：         【变式训练2】（24-25七年级下·北京延庆·期末）关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若，则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”． (1)在①；②；③中，是“可乘方程”的是 ； (2)若方程是关于x，y的“可乘方程”，求的值； (3)若是关于x，y的“可乘方程组”，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【思路引导】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，解不等式． （1）根据“可乘方程”的定义逐一判断即可； （2）根据“可乘方程”的定义建立关于t的一元一次方程求解即可； （3）先根据“可乘方程组”，得到，求出，再根据，得到，求解即可． 【完整解答】（1）解：根据题意：①， ，则①不是“可乘方程”， ②，即， ，则②是“可乘方程”， ③， ，则③是“可乘方程”， 则是“可乘方程”的是②③， 故答案为：②③； （2）解：∵方程是关于x，y的“可乘方程”，即方程是关于x，y的“可乘方程”， ∴，即， 解得：； （3）解：∵是关于x，y的“可乘方程组”， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 模型讲练二 不等式的性质 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）若不等式成立，则满足的条件是 ． 【答案】 【思路引导】先对原不等式进行化简变形，通过移项合并同类项，得到关于的系数，再根据系数的正负性来确定的取值范围． 【完整解答】解：原不等式进行移项：， 提取公因式并化简： ， 两边同时除以： ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了不等式的基本性质和代数式化简．解题关键是通过化简消去含参数的项，再利用不等式两边同乘（或同除）负数时不等号方向改变的性质，确定的取值． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是根据已知条件判断乘数的符号，再依据“乘除负数，不等号方向改变”的性质进行推导． 先根据已知条件推导出，即是负数，再结合，利用不等式的性质，两边同时乘以负数时不等号方向改变，从而判断各选项是否成立． 【完整解答】解：已知，，则． A、取，，，则，不成立，不符合题意； B、取，，，则，，，不成立，不符合题意； C、由，，两边同乘得，再减得，不成立，不符合题意； D、因为，，两边同乘负数，不等号方向改变，故，成立，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，对每个选项逐一进行分析判断即可． 【完整解答】A、在不等式的两边同时减去8，不等式仍成立，即，故本选项错误，不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以再加1，不等号方向改变，即，故本选项错误，不符合题意； C、在不等式的两边同时除以，不等式仍成立，即，故本选项正确，符合题意； D、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 模型讲练三 —元一次不等式的定义 【典例分析】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查一元一次不等式的定义，绝对值，根据一元一次不等式的定义可得且，求解即可，正确把握定义是解题的关键． 【完整解答】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元一次不等式，根据题意可得，，再分别解不等式即可求解． 【完整解答】解：∵是不等式的解， ∴把代入得，， 解得， 又∵不是这个不等式的解， 把代入得，， 解得， ∴实数 a 的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练2】如果是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【思路引导】由一元一次不等式的定义即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出的值，将其代入原不等式中即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【完整解答】∵是关于的一元一次不等式， ∴，解得：， ∴原不等式为：， ， ， 故答案为：． 【考点剖析】此题考查了一元一次不等式的定义以及解一元一次不等式，解题的关键是根据一元一次不等式的定义确定的值及熟练掌握一元一次不等式的解法． 模型讲练四 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 (3)，表示见解析 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及数轴上实心点与空心点的区别是解题的关键． （1）先去括号化简不等式，再通过移项、合并同类项将不等式化为标准形式，最后系数化为求出解集，并在数轴上用实心点表示包含等号的解集； （2）先去分母消去分数，再移项、合并同类项求出解集，数轴上用空心点表示不包含等号的解集； （3）先去分母，再移项、合并同类项，注意系数化为时，若系数为负数要改变不等号方向，最后在数轴上表示解集． 【完整解答】（1）解：去括号得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为1得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得． 移项、合并同类项得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． （3）解：去分母，得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为1得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【思路引导】本题考查了知识点一元一次不等式的解法及解集的数轴表示，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，并注意系数化为时不等号方向的变化． （1）先通过去括号、移项、合并同类项、系数化为来解一元一次不等式，最后在数轴上表示解集； （2）先去分母，再按解一元一次不等式的步骤求解，最后在数轴上表示解集． 【完整解答】（1）解： ． 解集在数轴上表示如图． （2）解： ． 解集在数轴上表示如图． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【思路引导】先根据已知不等式的解集​，判断出的符号，并得到与的数量关系，再将该关系代入待求不等式，化简后求解． 【完整解答】解：关于的不等式的解集是， ∴，． ∴． 将代入不等式得： ． ∵，两边同时除以（负数），不等号方向改变： ． 约去后得到：． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了不等式的基本性质和含参数不等式的解法，解题关键是：通过已知解集判断系数的符号，建立参数间的关系，再代入目标不等式求解． 模型讲练五 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：． (1)求的值． (2)若的值大于－2，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【思路引导】（1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可； （2）先得出有理数混合运算的式子，再根据的值大于，求出的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【完整解答】（1）解：， ． （2）解：， ． 的值大于， ． 如图．    【考点剖析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 【思路引导】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）先去分母再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示； （2）先去分母、去括号再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示． 【完整解答】（1）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． 【变式训练2】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 【思路引导】本题考查一元一次不等式的解法，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等步骤，再把解集在数轴上表示，即可求解． 【完整解答】（1）解： 去括号得 合并得 移项得 合并得 数轴表示： （2）解： 去分母，两边乘15得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： （3）解： 去分母，两边乘12得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： 模型讲练六 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（2026七年级下·全国·专题练习）已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【答案】(1)-3 (2)，0 【思路引导】本题考查了在数轴上表示不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式组是解答本题的关键． （1）把代入整式计算即可； （2）根据题意可得不等式，再解不等式即可． 【完整解答】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得， 解得， 的非正整数值为，． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏常州·月考）（1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：． （2）若（1）中的不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式和一元一次方程的一般步骤． （1）按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成，求出不等式的解集，并表示在数轴上； （2）根据（1）中不等式的解集，求出它的最大整数解，再代入，得关于的方程，解方程求出即可． 【完整解答】解：（1）， ， ， ， ， 解集在数轴上表示为： （2）（1）中不等式的解集为， 不等式的最大整数解为， 把代入方程得： ， ， ． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知是不等式的一个解，则整数的最小值是 ． 【答案】1 【思路引导】先将已知的解代入不等式，得到一个关于的不等式，再解这个不等式，最后在解集中找到最小的整数解． 【完整解答】解:∵是不等式的一个解， ∴代入得：． 即， 移项得： ， ， 两边同时除以（不等号方向反转）： ， ∴． 故整数的最小整数解是． 故答案为:． 【考点剖析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是准确代入解并正确解不等式，注意在不等式两边除以负数时要改变不等号的方向． 模型讲练七 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【完整解答】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 【变式训练1】已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【思路引导】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【完整解答】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【考点剖析】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 【变式训练2】已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【思路引导】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【完整解答】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【考点剖析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 模型讲练八 解|×≥a型的不等式 【典例分析】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【完整解答】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 【变式训练1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【思路引导】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【完整解答】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 【变式训练2】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【思路引导】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出时的x的值，再仿照题意可得答案； （2）当时，则或，分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于；数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与的差的绝对值大于3，据此可得答案； （3）把方程组中的两个方程相加可得，则，同（2）分析可得答案． 【完整解答】（1）解：当时，， ∴根据题意可得的解集是或； （2）解：当时，则或， 解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为或； （3）解：， ∴方程组中的两个方程相加可得， ∵， ∴， 当时，则或，解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为． 模型讲练九 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【答案】（）；（）；（）． 【思路引导】本题考查了列不等式，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【完整解答】解：（）根据题意得，， ， ∴； （）根据题意得， ， ∴； （）根据题意得，， ， ， ， ， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽·单元测试）当取何值时，的值不大于？ 【答案】当的值时，的值不大于． 【思路引导】本题考查解一元一次不等式．根据题意，列出不等式，进行求解即可．解题的关键是正确的列出不等式． 【完整解答】解：由题意得， 去分母得 解得， 所以当的值时，的值不大于． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·假期作业）若式子的值不大于的值，则的最小整数值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了列不等式、解不等式等知识点，根据题意列出不等式是解答本题的关键． 先根据题意列出不等式，然后解不等式，最后确定最小整数值即可． 【完整解答】解：由题意可得：，解得：， 所以的最小整数值为4． 故答案为4． 模型讲练十 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·期中）已知整数同时满足不等式和，并且满足方程，求的值． 【答案】的值为或1 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的整数解，方程的解，解题的关键是准确熟练地进行计算． 先按照解一元一次不等式的步骤求出解集，并得到整数解，然后代入方程求出的值． 【完整解答】解：解不等式，得． 解不等式，得． 同时满足不等式和， ． 是整数， 或． 将代入方程， 得， 解得； 将代入方程，得，解得． 综上所述，的值为或． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了知识点一元一次不等式组的解法，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，准确求出每个不等式的解集，并正确取它们的公共部分． （1）（2）（3）分别解出两个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 【完整解答】（1）解： 解不等式① ． 解不等式② ． ∴不等式组的解集：． （2）解： 解不等式① ． 解不等式② ． ∴不等式组的解集：． （3）解： 解不等式① ． 解不等式② ． ∴不等式组的解集：． 【变式训练2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 【思路引导】本题考查了求不等式组的解集，解题关键是分别求出不等式组中两个不等式的解集． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，然后表示在数轴上． 【完整解答】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 将解集在数轴上表示出来为： 模型讲练十一解特殊不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【完整解答】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 【变式训练1】阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【完整解答】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【思路引导】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【完整解答】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 模型讲练十二 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解不等式组并写出非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，非负整数解为0，1 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的求解，先分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集，从而得出非负整数解即可 【完整解答】解：， 解不等式①：，，得， 解不等式②：，，得， 不等式组的解集为，非负整数解为0，1 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】12 【思路引导】本题综合考查不等式组的整数解分析与分式方程解的存在性与限制条件，关键在于准确处理边界情况及排除使分母为零的情况，同时注意整数解的个数限制与代数解之间的关系，逻辑严密才能正确求解．先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【完整解答】解：关于x的一元一次不等式组的解集为， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴, ∴或5或6或7或8或9， 关于y的分式方程的解为， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为非负整数， 即为非负偶数， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8． ∴． 【变式训练2】（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【完整解答】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 模型讲练十三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【完整解答】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 【变式训练1】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如果关于的不等式的整数解只有1，2，3，则的取值范围 ，的取值范围 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一元一次不等式组的解法，一元一次不等式组的整数解问题，解题过程中注意确定字母取值范围时的“等于号”的确定是解题的关键． 先解不等式组可得解集为：，再利用整数解只有1，2，3，列不等式 ，，再解不等式可得答案． 【完整解答】解： 由①得： 由②得： 因为不等式组有整数解，所以其解集为： 又整数解只有1，2，3， ∴ ，， 解得：， 故答案为：，． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)请验证方程是否是不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的关联方程 (2) (3) 【思路引导】本题考查求不等式组的解集，解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解和不等式组的解集，进行判断即可； （2）求出方程的解和不等式组的解集，根据新定义得到关于的不等式组，进行求解即可； （3）根据题意，得到不等式组有解，进而求出不等式组的解，求出方程的解，根据新定义得到关于的不等式组，进行求解即可． 【完整解答】（1）解：∵方程的解是，解，得：， ∴在的范围内， ∴方程是不等式组的“关联方程”， （2）由，解得， 由，解得， 根据题意，得， 解得：； （3）方程是关于x的不等式组的“关联方程”， ∴不等式组有解， 解，得：， ∵方程的解是， 不等式组的解集为， ∴根据题意，得， 解得：． 模型讲练十四 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数）．求所有符合条件的整数的值． 【答案】的值为4或2或 【思路引导】本题考查了不等式 (组) 中字母参数的取值或范围，熟练掌握解不等式（组）的方法是解题的关键； 解不等式组得到的一个取值条件，解方程组得到的一个取值条件，再把的值代入到、中，保证、也符合题干要求，即可得解． 【完整解答】解：将原不等式组整理，得 原不等式组的解集为， ． 对于方程组 ①－②，得， 解得． ， ， 且． 把代入②，得， 解得． 与都为整数， 或，解得或或（舍去）或， 的值为或或． 【变式训练1】（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，求解即可． 【完整解答】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5， ∴该不等式组的整数解是或， ∴或， 解得或． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】19 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【完整解答】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 模型讲练十五 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（22-23七年级下·河南洛阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式． 得到，求出，进而代入①求出，将，代入求解即可． 【完整解答】解：得：， 解得：， 将代入①得：， 根据题意得：， 解得：． 【变式训练1】（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【完整解答】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 【变式训练2】若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【完整解答】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）要使在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【完整解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 在数轴上表示时，数字处为实心圆点，并向数轴正方向延伸． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】解方程组用t表示x和y，代入得到，再根据t的范围求M的范围． 本题考查了含参不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【完整解答】解：∵ 方程组 ② − ①，得 ∴ ， 代入②，得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了构成三角形的条件，解一元一次不等式组，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出不等式组求解即可． 【完整解答】解：由题意得，， 解得， 故选：A． 4．（25-26七年级下·全国·周测）若，则下列不等式的变形中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式两边乘负数要改变不等号方向，以及平方运算对负数大小关系的影响是解题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项的变形是否恒成立． 【完整解答】解：A、若，则（不等式两边加同一数，不等号方向不变），成立，不符合题意； B、若，则（，不等式两边乘正数，不等号方向不变），故（不等式两边减同一数，不等号方向不变），成立，不符合题意； C、 若，当和同为正时，；但当和同为负时，如，则，但；当和异号时，也可能，故不一定成立，符合题意； D、若，则（不等式两边乘负数，不等号方向改变），成立，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【完整解答】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 6．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，数轴上表示的是关于x的不等式组的解集，则该不等式组的整数解有 个． 【答案】3 【思路引导】此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解，理解题意是解决本题的关键． 根据数轴得到不等式组的解集为，据此即可得到该不等式组的整数解的个数． 【完整解答】解：由数轴可知关于的不等式组的解集为， 该不等式组的整数解有，，，共3个， 故答案为：3． 7．（25-26九年级上·江西南昌·期末）不等式组的解集是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集． 【完整解答】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出答案． 【完整解答】解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向要改变的性质是解题的关键． 通过解不等式求出的值，再代入表达式计算． 【完整解答】解：解不等式 ， 两边同乘以得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 由解集为 ，得 ， 解得 ． 代入 得 ． 故答案为：． 10．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解不等式组和分式方程的方法是解题的关键．首先解不等式组，得到解集为，要求有且只有四个整数解，即，从而得到；再解分式方程，得到，要求解为非负数且，从而得到且；综合两者，整数 为，求和即可． 【完整解答】解：第一个不等式， 两边乘6得：， 化简得：， 第二个不等式， 化简得：， 因此不等式组的解集为：， 要求不等式组有且只有四个整数解，即，需满足， 解得：； 解分式方程， 方程化为， 即， 解得：（其中，故)， 要求解为非负数，即，故， 综合不等式组和分式方程的条件得：且， 整数为， 则和为：． 故答案为：1． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得：_____， (2)解不等式②，得：_____． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____ 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可； （2）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）取两个不等式解集的公共部分即可求解． 【完整解答】（1）解： ， 解得， 故答案为：； （2）解： ， 解得， 故答案为：； （3）解：不等式解集在数轴上表示如下： （4）解：由（3）可得不等式组的解集为． 12．（25-26八年级下·全国·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的所有非负整数解． 【答案】0和1 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法以及非负整数解的确定知识点，掌握通过方程组变形得到目标表达式，再代入不等式求解的方法是解题的关键． 先将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，再代入已知不等式，解出的取值范围，最后确定其中的非负整数解． 【完整解答】解： ①+②，得． ， ， 解得， 的所有非负整数解为和． 13．（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）如图，在中，，，为上一点，过点作，交于点．请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；见解析（2）为等边三角形．理由见解析 【思路引导】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为求出解集，再将解集表示在数轴上即可； （2）根据等腰三角形的性质结合，可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，，即可判断的形状． 【完整解答】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为，得． 解集在数轴上表示如图． （2）为等边三角形．理由如下： ，， ． ， ，， 为等边三角形． 【考点剖析】本题考查了解一元一次不等式，等边三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 14．（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：． （2）已知函数，，试比较，的大小关系． 【答案】（1）（2）当时，；当时，． 【思路引导】（1）考查一元一次不等式的解法，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等步骤求解； （2）考查利用作差法比较两个一次函数值的大小，通过计算两个函数的差，根据差的正负判断大小关系． 【完整解答】解：（1）解不等式 ： 去分母（两边同乘）： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为（两边同乘，不等号方向改变）： ． （2）比较与的大小： 作差： 分情况讨论： 当，即：时，； 当，即：时，； 当，即：时，． 故当时，；当时，． 【考点剖析】本题考查了一元一次不等式的解法和作差法比较代数式大小，解题关键是掌握不等式的基本性质（注意系数化为时不等号的方向），以及作差法中根据差的符号判断大小的逻辑． 15．（2026七年级下·全国·专题练习）已知不等式的解都是关于x的不等式的解，求a的取值范围． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先把看作常数求出两个不等式的解集，再根据“不等式的解都是关于x的不等式的解”列不等式进行计算即可． 【完整解答】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵不等式的解都是关于x的不等式的解， ，解得， 的取值范围为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $