【中原名校联盟】2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

绝密★启用前 2025一2026学年上学期期末测评试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本 试卷上无效。 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合， 再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。 料 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位 置，在其他位置答题一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 蟋 1.抛物线y=4x2的准线方程为 A.x=-1 B.x=1 C.y=16 D.y=-16 长 2.已知数列{an为等差数列，且，+2a4+ag=12,则数列{an}的前9项和S,= A.25 B.26 C.27 D.28 期 3.若直线l1:(a-1)x+y+2=0和直线l2:2x+ay+3a-2=0平行，则实数a的值为 A.-1 B.2 C.2或-1 D.-2或1 4.如图，在三棱柱BC<4C中，点D在线段BC,上，且CD=分C,B,若 B A4=a,A店=b,4花=c,则AD等于 2 3a+3 1m±b+3e B Ib+ 30-3 3c A C.-1 +b- b+ 2 B 30+3 3 5.已知△ABC的周长为16，B(0,-3),C(0,3),则顶点A(x,y)的轨迹方程为 若后1G0 翠 R若+后10 C 2 25+i6=1 6.已知数列{an}的首项a1=0,且满足am+1=2an+1,则这个数列的第11项是 A.254 B.256 C.1023 D.1025 2025—2026学年上学期期末测评试卷高二数学 第1页（共4页） 7,已知双曲线C:。-三1(b>0),以C的焦点为圆心，4为半径的圆与C的渐近线相交，则 双曲线C的离心率的取值范围是 A.(1,) B.(1,3) C.(1,3) D.(1,5) 8.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P(xo,yo,2o),且以向量n=(a,b,c)(abc≠0)为 方向向量，则这条直线可以用方程二布_二”来表示已知直线1的方程为-1= b y+2=-8-1,则M(-1,1,0)到直线1的距离为 2 A.2 B.5 D 52 5 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.一 9.对于空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是 A.0P=30i-0B-0元 B.0示=04号丽+号0d c.0=oi+20-20d p卯年i+g成+g0d 10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a<0,S=S4,则 A.d<0 B.ds=0 C.当Sn最小时，n=8或9 D.使Sn<0的整数n的最大值为16 11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线E:y2一4x=4就是其中之一，则下列结论正确的是 A.曲线E既关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于坐标原点中心对称 B.曲线E上任意一点到原点O的距离都不超过2 C.曲线E上存在一点到原点O的距离等于到直线x=2的距离 D.若直线y=t与曲线E没有公共点，则实数t的取值范围是(-2,2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知n=(1,-1,0)是平面a的一个法向量，点A(0,-1,0)在平面x内，则点B(1,1,1) 到平面α的距离为 13.圆C:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2x=0的公切线方程为 14.将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2025,2026，从第二 行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M,则M等于 123…202420252026 357…40494051 812…8100 M 2025一2026学年上学期期末测评试卷高二数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=3,2Sn-an+1+3=0. (1)数列{an}是否为等比数列？若是，求出通项公式；若不是，请说明理由. (2)数列{bn是等差数列，b=-5,且b3,b4-1,b,+1成等比数列，设cn=anbn,求数列 {cn}的前n项和Rn 16.（15分)已知圆C:(x+1)2+y2=3,直线l:(1-m)x-(m+1)y+m+1=0(m∈R) (1)求证：直线1与圆C恒有两个交点； (2)若直线l与圆C交于点A,B,求△ABC面积的最大值，并求此时实数m的值. 17.(I5分)如图，在三棱锥PMBC中，BC=2,MB=AC=PA=l1,∠PAB=∠PAC=号，点Q 满足P可=AB (1)证明：平面PBCL平面ABC; (2)求二面角P-BC-Q的大小 2025一2026学年上学期期末测评试卷高二数学第3页（共4页） 18.17分)已知椭圆C:号+2 +京=1(a>6>0)的离心率为5，短轴长为2，万. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(3,0)的直线1与椭圆C交于A,B两点 ①0为坐标原点，若△M0的面积为35求直线1的方程： 2证明：P+阳为定值 校大联考 羊 19.(17分)已知数列{an}满足a3= 6,a+1 浙 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=+1+4u,04 2n 数列6，的前n项和为T,求证：工，< 2 (3)若数列{cn}满足c1= ,L+1,求证+++>2a+7-3. 2an+1 CI C2 2025一2026学年上学期期末测评试卷高二数学第4页（共4页）参考答案 2025一2026学年上学期期末测评试卷 高二数学 1.D【解析】因为y=4,所以抛物线的标准方程为2=子，2p=子 因为抛物线的准线方程为y=一分，所以抛物线的准线方程为y=一。 2.C【解析】因为数列{an}为等差数列，且a3+2a4+a,=12, 所以2a6+2a4=4a5=12,所以a5=3, 则s,-9(a+a）_9×2=9x3=27 2 2 3.A【解析】由直线l1:(a-1)x+y+2=0和直线l2:2x+ay+3a-2=0平行，可得a(a-1)-1×2=0, 即a2-a-2=0,可得a=2或-1，易验证当a=2时，直线l1和直线l,重合，所以a=-1. 4.D【解析】A,币=A+店+B元=-+店+BB+BC) =-+店+子d+子(d-) 试+丽+ =-a+3b+3c ，2 5.B【解析】△ABC的周长为16，顶点B(0,-3),C(0,3), .1BC1=6,IAB1+IAC=16-6=10, ∴.点A到两个定点的距离之和等于定值，又10>6， ∴.点A的轨迹是椭圆，且a=5,c=3, 6=16,又箱圆的焦点在)辅上心椭圆的方程为站+6-1(：≠0. 6.C【解析】因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(am+1), 所以an+1}是以a1+1=1为首项，2为公比的等比数列， 所以an+1=2”-1,即an=2"-1-1, 所以41=21-1-1=1023. 7入【解折】由题意可知双周线的其中一条新近线为y=台，即：-y=0, 参考答案第1页（共7页）》 根据对称性，不妨设圆的圆心为(c,0),故圆心到渐近线的距离为 bc 02+9 因为圆与渐近线相交，所以c <4,即2c2<16(b2+9), B2+9 又2=c2-a2=c2-9,则(c2-9)c2<16c2, 解得c2<25,即c<5,则e=c=<5 a-33 又e>1,故离心率的取值范围是(1，号) 8D【解标直线1的方程可化为-2》=少 2 -1 从而直线1过点P(1,-2,-1),方向向量n=(1,2,-1), 与n同向的单位向量y=”=二(1,2，-1)， 1nl√6 P7=(-23,1),P7=14,Pm.y= 2 则点M到直线1的距离d=√-(P成)-4牙要 9.ABD【解析】方法-对于A,由02=30A0-OC,可化为0亦-Oi=(0i-0)+(Oi-0心)， 所以A=BA+C,即A正=-A店-AC,所以P,A,B,C四点共面，故A正确 对于B,因为0命-号0+号0i+0d,所以30亦-0i+0+0心，所以0亦-0=(0成-0时+ (O元-O),所以A产=P店+P元，所以Pi=P店-P元，所以P,A,B,C四点共面，故B正确. 对于C,0心-子i+0。d无法转化成证=rP丽+yP心的形式.故C不正确 对于D.0耐-子信+g=a+g(o+)+g+d=0i+g+gd,所以 0亦-O=日话+日C,所以正-日店+日C,所以P,AB,C四点共面，放D正确 方法二当点P与A,B,C共面时，对空间任意一点0，都有02=x0+y0B+z0元，且x+y+z=1,由此 可判断出选项A,B,D符合要求. 10.BCD【解析】因为S,=S4,所以3a1+3d=141+91d,从而a1=-8d,d=-。 8a1, 因为a1<0,所以d>0,故A错误. ag=a1+8d=0,故B正确. 因为ag=0,d>0,所以ag<0,ao>0,所以Sg=Sg,且Sg,Sg为Sn的最小值，故C正确； S.=a1+nm1D4,令S.<0,解得0<n<17,所以整数n的最大值为16，故D正确. 2 参考答案第2页（共7页） 11.ACD【解析】对于A,若点(x,y)在曲线E上，则(x,-y)满足曲线E的方程，所以曲线E关于x 轴对称，同理可得曲线E关于y轴对称，也关于坐标原点中心对称，故A正确， 对于B,由曲线E的对称性，不妨令x≥0，则y2-4x=4,所以y2=4+4x,设P(x,y)在曲线E上，则 10P1=√+了=√+4x+4=√(x+2)了≥2，所以曲线E上任意一点到原点0的距离都不小 于2，故B错误 对于C,易知(0,2)是E上一点，该点到原点O的距离等于到直线x=2的距离，故C正确. 对于D,由曲线E的对称性，以及曲线的平移方法可画出曲线E的简图如下图所示，要使直线y= 与曲线E没有公共点，则t的取值范围是(-2,2)，故D正确. y2-4lx=4 12.② 【解析】由已知可得=(1,2,1)，所以点B(1,1,1)到平面α的距离为 AB·= n 1-2+0 √2+(-1)2+02 13.x-2=0【解析】圆C,的圆心为C(0,0),半径1=2，圆C2:(x-1)2+y2=1的圆心为C,(1,0), 半径2=1，则1C,C2I=(0-1)2+(0-0)2=1=2-1,可知两圆内切. 南产4， ,「x=2 解得所以切点为(2,0)，所以公切线方程为x-2=0. 1x2+y2-2x=0,y=0, 14.2027×2224【解析】记第n行的第一个数为an 则a1=1,4=3=2a1+1,a3=8=2a3+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2”-2, 所以是岩+1，即是是以号=2为首项，1为公差的等差数列 所以，品2=2+(a-1)x1=n+1,所以a=(a+1)×22, 又每行比上一行的数字少1个，所以最后一行为第2026行，所以M=a26=2027×2224, 参考答案第3页（共7页） 15(1)因为2S。-01+3=0,所以S.=3(a1-3), 则a,=8.-51=2(a1-3)-2(a-3)=241-2,≥2 1 则an+1=3an,n≥2， 2分 当n=1时，2S1-a2+3=2a1-2+3=0,a1=3, 可得a2=9=3a1, 4分 综上，数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，通项公式为an=3”. 5分 (2)设等差数列{bn的公差为d, 因为b3,b4-1,b5+1成等比数列，所以(b4-1)2=b3(b5+1), 7分 又b1=-5,所以(3d-6)2=(2d-5)(4d-4),整理可得-8d+16=0,解得d=4, 故bn=b,+(n-1)d=-5+4(n-1)=4n-9. 9分 由(1)得cn=anbn=(4n-9）·3”, 故Rn=-5×3-1×32+3×33+…+(4n-9)·3 则3Rn=-5×32-1×33+3×34+…+(4n-9)·3 两式相减得-2n=-15+4(32+33+…+3)(4n-9)·3"+ 11分 =-15+4×31-3-(4n-9）·3d14.31-3. 1-3 放R=(23+受 13分 16.(1)直线l:(1-m)x-(m+1)y+m+1=0可变形为x-y+1+m(-x-y+1)=0, 联立∫ x-y+1=0, 解得 3分 -x-y+1=0, Iy= 故直线经过的定点为P(0,1),将点P(0,1)代入圆的方程有12+12=2<3， 则点P(0,1)在圆C内，所以直线1与圆C恒有两个交点. 6分 (2)由题意得圆心C(-1,0),半径r=√3，则1PC1=2, 因为△ABC的面积S=ACBC1·sin∠ACB,所以当∠ACB=0时，△ABC的面积最大， 9分 此时△ABC为等腰直角三角形，△ABC面积的最大值为S=之=多 12分 此时点C到直线1的距离d=二=5<2=1PC1,所以∠ACB可以取到90， 1m-1+m+11 由 √(1-m)2+(m+1)72 =5,解得m=5或m=-5. 故实数m的值为√3或-√3， 15分 参考答案第4页（共7页） 17.(1)取BC的中点0，连接A0,P0,因为AB=PA,LPAB=牙， 所以△PAB是正三角形，故PB=AB=PA=1, 同理可得PC=AC=PA,所以PB=PC=1, 因为0为BC的中点，所以B0=C0=2 .OPLBC. 因为AB=AC,所以AO⊥BC, 2分 又因为BC=2,AB=AC=PB=PC=1,所以BC2=AB2+AC2,BC2=PB2+PC2, 所以AB⊥AC,PB⊥PC, 所以由直角三角形的中线性质得A0=B0=P0=分BC= 2 因为PA=1,所以PA2=OP2+A02,故0P⊥A0. 4分 因为OP⊥BC,A0nBC=O,A0,BCC平面ABC,所以OP⊥平面ABC, 因为OPC平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABC. 5分 (2)由(1)得OP⊥A0,OP⊥B0,A0⊥B0, 以O为原点，OA,OB,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B 7分 设0a.6e),故0=a6c-. 因为成=丽=(-号号0)所以a=号8-空-号=0， 解得a=-号6-号c-9故@以-竖号马. 2 2’2’2 所u配=0，-E0前-(-90. 9分 设m=(x,y,z)是平面BCQ的法向量， rm·BC=0, 「-2y=0, 则由 可得 m·Bd=0, -22。 取z=1,得y=0,x=1, 2t+ 23=0, 参考答案第5页（共7页） 故平面BCQ的一个法向量为m=(1,0,1), 11分 设二面角P-BC-Q的平面角为B, 因为O=(号0,0)是平面P8C的一个法向量， 1m·0A1 放wBl=m·o不+T×号 2 21 14分 由图可得二面角的平面角为锐角，则B= 4 故二面角P-BC-Q的大小为买 15分 b=2, 18.(1)由题意得 c-6 rb2=2, 解得 3 a2=6, a2=b2+c2, 所以椭圆C的方程为 6+2=1. 大联考 4分 (2)①当直线1的斜率为0时，显然不合题意. 设直线1的方程为x=+√3，A(x,y),B(x2,y2) 联立 =+5,得(2+3)分230， x2+3y2=6, 所以4=122+12(2+3)=12(22+3)>0， 由根与系数的关系可得+，=-2 3 +3=2+3 8分 所以△AB0的面积为8三0P-为1三×G,+2-4于 2 2+3 3)= 252-4×（-F+3 3/22+335 2+3-4 化简可得5-2t2-3=0,解得t=1或t=-1, 故所求直线的方程为x=y+3或x=-y+3, 即x-y-3=0或x+y-5=0. 11分 2当直线1的斜率为0时，亦+6+*石-2 1 1 1 12分 当直线1不与x轴重合时， 参考答案第6页（共7页） 1 1 1 1 1 1 1.+ 1P1+PB下(x,-3)2+7+(-3)2+好(1+2)月+(1+P)房=1+2· +21 (22-23 2+3 2·2+3.1.18(+1D=2 .2 yi 1+ -3)2 2+19 故 1 PA+PB为定值， 17分 19.（1)显然0≠0，对41=22+两边同时取倒数。 得1-20，+1-1+2，即1-1=2 n+ an an+l an 所以数列工是公差为2的等差数列。 联考 3分 又4=6所以时女+(a-3)x2=2,所以a=六 4分 an a3 1 1 (2)因为b=1+4a,44=2n+2+4 +4×2n2n+2.2·（2n+2）n·2”（n+1）.20 2n+4 1 2n 7分 所以=++6=分动8委安)++元 -2mn2+ 1 n2(+1):2m]= 1 1 2人(n+1)2*T, 9分 (n+1)·2*>0,所以T,< 1 因 10分 1=21 (3)c.cn+1=2a =.2(n+1)+1=n+2,① 当n=1时，c1c2=3,又c1=1,解得c2=3,所以cn>0. 当n≥2时，cn-1cn=n+1,② 由①-②得c,(c1-c,-1)=1,所以=ca1-c-1, 13分 Cn i=2C:i=2 i=2 =(c3+c4+…+n-1+cn+cn+1)-(C1+c2+c3+…+cn-2+Cn-1), =Cn+1 +Cn-CI-C2=Cn+1+cn-4 >2√Ccn+1-4=2√n+2-4(经验证得cn≠cn+1. 故以+1+…+L>1+2/n+2-4=2n+2-3. 17分 CI C2 Cn CI 参考答案第7页（共7页）