20.2 勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第一课时 第二十章 勾股定理 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1.能从勾股定理出发，构建直角三角形，探究勾股定理的逆定理，感悟构建图形证明定理的新方法，增强几何直观，提升推理能力. 2. 掌握勾股定理的逆定理，会用其判断一个三角形是不是直角三角形； 3.了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数，并能用勾股数进行简单的计算和证明，发展运算能力. 新课导入 02 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？ 新知探究 03 图中给出了确定直角的一种方法： 把一根长绳打上等距离的13个结， 然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长， 用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 上述方法意味着： 如果围成三角形的三边长分别为3，4，5， 它们满足关系“ 32 + 42 = 52 ”， 那么围成的三角形是直角三角形. 一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？ 观察 画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.5² + 6² = 6.5²”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试. 10 由上面的尝试，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形. 这个猜想就是勾股定理的逆命题. 怎么证明这个猜想呢？ 如图 (1)，已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a² + b² = c². 求证 △ABC 是直角三角形. 分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难.回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形. A B C c a b (1) 如图 (2)，作一个Rt△A'B'C'，使 B'C' = a，A'C' = b，∠C' = 90°. 根据勾股定理，A'B'² = B'C'² + A'C'² = a² + b². 因为 a² + b² = c²，所以 A'B' = c. 在 △ABC 和 △A'B'C' 中， BC = a = B'C'， AC = b = A'C'， AB = c = A'B'， ∴ △ABC ≌△A'B'C' (SSS). ∴ ∠C = ∠C' = 90°， 即 △ABC 是直角三角形. A B C c a b (1) C′ B′ A′ a b c (2) 这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形. 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 8，b = 15，c = 17； (2) a = 14，b = 13，c = 15. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 8，b = 15，c = 17； (2) a = 14，b = 13，c = 15. 解：(1) 因为 8² + 15² = 64 + 225 = 289， 17² = 289， 所以 8² + 15² = 17². 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 8，b = 15，c = 17； (2) a = 14，b = 13，c = 15. 解：(2) 因为 14² + 13² = 196 + 169 = 365， 15² = 225， 所以 14² + 13² ≠ 15². 根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. 对于(2)，如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a² + b² = c².事实上，上式不成立.因此，这个三角形不是直角三角形. 跟踪训练 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角. (1) 在 △ABC 中，AB = 15，BC = 20，AC = 25； 解：(1) ∵ AB² + BC² = 15² + 20² = 625，AC² = 25² = 625， ∴ AB² + BC² = AC²， ∴ 这个三角形是直角三角形，∠B 是直角. 跟踪训练 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角. (2) 在 △ABC 中，AB = 14，BC = 2，AC = 15； 解： (2) ∵ AB² + BC² = 14² + 2² = 200，AC² = 15² = 225， ∴ AB² + BC² ≠ AC²， ∴ 这个三角形不是直角三角形. 跟踪训练 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角. (3) 在 △ABC 中，a = m²-n²，b = 2mn，c = m² + n² (m > n > 0). 解：(3) 在△ABC 中，∵ a²+b² = (m²-n²)² + (2mn)² = m4+2m²n²+n4， c² = (m² + n²)² = m4 + 2m²n² + n4， ∴ a² + b² = c²， ∴ 这个三角形是直角三角形，∠C 是直角. 是一组勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a² + b² = c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数. 9，40，41 92+402=1 681 412=1 681 92+402= 412 两个较小数的平方和等于最大数的平方. 例2 给出下列数组： ① 5, 13, 12；② 2, 3, 4；③ 2.5, 6, 6.5；④ 3², 4², 5². 其中勾股数的组数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析： ① ∵ 5² + 12² = 13²，且 5，12，13 均是正整数， ∴ 5，12，13 是一组勾股数. ② ∵ 2² + 3² ≠ 4²，∴ 2，3，4 不是一组勾股数. ∵ 2.5，6，6.5 不都是正整数，∴ 2.5，6，6.5 不是一组勾股数. ∵ 3² = 9，4² = 16，5² = 25，9² + 16² ≠ 25²， ∴ 3²，4²，5² 不是一组勾股数. D 勾股数的特征 (1)常见的勾股数有： ①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④8，15，17； ⑤7，24，25；⑥9，12，15. (2)勾股数有无数组. (3)一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck (k为正整数)也是一组勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数. 随堂练习 04 1. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 2.已知 a，b，c 是△ABC三边的长，且满足关系式 0，则△ABC的形状是_______________． 等腰直角三角形 解析：∵0， ∴c-a=0，c2+a2-b2=0， 解得a=c，c2+a2=b2， ∴△ABC的形状是等腰直角三角形. 3. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 4，b = 5，c = 6； (2) a = 2.5，b = 0.7，c = 2.4； 解： (1) ∵ 4² + 5² = 16 + 25 =41，6² = 36， ∴ 4² + 5² ≠ 6². 根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. (2) ∵ 0.7² + 2.4² = 0.49 + 5.76 = 6.25，2.5² = 6.25， ∴ 0.7² + 2.4² = 2.5². 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. 3. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (3) a = ，b = ，c = ； (4) a = 1，b = ，c = . (3) ∵ ()² + ()² = + = ，()² = ， ∴ ()² + ()² ≠ ()². 根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. (4) ∵ 1² + ()² = 1 + 2 = 3，()² = 3，∴ 1² + ()² = ()². 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. 4. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别画三个半圆，三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3.若 S1 + S2 = S3，判断 △ABC 是不是直角三角形，并说明理由. 解：△ABC是直角三角形.理由如下： S1 = π ()² = πAB²，S2 = π ()² = πBC²， S3 = π ()² = πAC². ∵ S1 + S2 = S3 ，∴ πAB² + πBC² = πAC²， ∴ AB² + BC² = AC². 根据勾股定理的逆定理，判断△ABC是直角三角形. 课堂小结 05 勾股定理 的逆定理 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 内容 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a² + b² = c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第二课时 第二十章 勾股定理 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 32 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 能综合运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，发展应用意识. 新课导入 02 问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出勾股定理的逆定理与勾股定理的关系吗? 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 关系 在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c，∠C=90°. 在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c，且a2+b2=c2. a2+b2=c2. △ABC为直角三角形,且∠C=90°. 1.互为逆定理. 2.勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定. 新知探究 03 例1 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了. 1 2 N E P Q R 例1 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 1 2 N E P Q R 解：根据题意，PQ = 16 × 1.5 = 24， PR = 12 × 1.5 = 18，QR = 30. 因为 24² + 18² = 30²，即 PQ² + PR² = QR²， 所以 ∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 跟踪训练 如图，南北向MN为我国领海线，MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意. 反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A,B两艇的距离是5海里，反走私艇B离走私艇C12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 分析：要求走私艇C最早何时进入我国领海， 必须首先确定走私艇C进入我国领海的最短航线. 解：设 MN 与 AC 交于点 E，则 ∠BEC = 90°. ∵ AB² + BC² = 5² + 12² = 13² = AC²， ∴ △ABC 为直角三角形，且 ∠ABC = 90°. ∵ MN⊥CE， ∴ 走私艇C进入我国领海的最短距离是 CE 的长. ∴ S△ABC = AB·BC = AC·BE， ∴ BE = = = (海里)， E ∴CE = (海里). 走私艇 C 进入我国领海所需的最短时间为 ≈ 0.85 (时) = 51 (分)， 答：走私艇 C 最早进入我国领海的时间大约是 10 时 41 分. E 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ， DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由. A B C D 分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断 △ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD. 解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°. 在 Rt△ABC 中， AC² = AB² - BC² = 5² - 3² = 16. 所以 AC = 4. 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ， DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由. A B C D 在 △ACD 中，AC² + AD² = 4² + ()² = ， CD² = ()² = ， 所以 AC² + AD² = CD². 因此 △ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD. 跟踪训练 如图，已知AB⊥BC，AB=2，BC= ，CD=5，DA=4，求四边形ABCD的面积. 解：如图，连接AC. 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AC== =3. 在△ACD中，AC²+AD²=3²+4²=5²=CD². 由勾股定理的逆定理，得∠CAD=90°. 所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=×2×+×3×4=+6. 随堂练习 04 1. A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？ B A C 5 km 12 km 13 km 解：设 A，B，C 三地分别对应点 A，B，C，则在 △ABC 中， ∵ BC² + BA² = 5² + 12² = 169，AC² = 169， ∴ BC² + BA² = AC²， ∴ △CBA 为直角三角形，且 ∠B = 90°. ∴ C 地在 B 地的正北方向. 2. 高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a = 6，b = 8，c = 10， d = 24，e = 26 的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架. 请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合. 解：所有可能的钢条组合为 6，8，10 和 10，24，26 两种. 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，∠B = 90°.求四边形 ABCD 的面积. 解：∵ ∠B = 90°，∴ △ABC 是直角三角形. 依据勾股定理，得AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 25 = 5²， ∴ AC = 5. 在 △ACD 中，AD² = 13² = 169， CD² + AC² = 12² + 5² = 169， ∴ AD² = AC² + CD². ∴ △ACD 是直角三角形，且 ∠ACD = 90°. B C A D 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，∠B = 90°.求四边形 ABCD 的面积. ∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD = × 3 × 4 + × 5 × 12 = 6 + 30 = 36. ∴ 四边形 ABCD 的面积为 36. B C A D 4.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米， 则他应该往回收线多少米？ 15 25 1.6 ? 4.（1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得， CD2=BC2-BD2=252-152=400， 所以，CD=20（负值舍去）， 所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米. 15 25 1.6 ? 4.（1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 解：（2）如图，设点M是风筝下降后的位置，连接BM. 由题意得，CM=12，∴DM=8， ∴BM=DM²+BD2==17（米）， ∴BC-BM=25-17=8（米）， ∴他应该往回收线8米． M 15 25 1.6 课堂小结 05 勾股定理的 逆定理的应用 应用 解决实际问题 认真审题，画出符合题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题. 结合勾股定理解决面积、线段长、角度等问题. 方法 谢谢观看 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 57 $