19.3 二次根式的加法与减课件2025-2026学年 人教版数学八年级下册

19.3 二次根式的加法与减法 第一课时 第十九章 二次根式 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1.能准确判断二次根式能否合并,并掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法. 2.了解二次根式的加、减运算法则. 3.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算. 新课导入 02 问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式? （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后你发现了什么？ (1) (2) 化简后被开方数相同 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并. 如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并. 例1 下列各组二次根式中，能合并的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 D 2 2 2 例2 已知12与最简二次根式可以合并，则a=____. 解：∵. ∴ a+1 = 3，得a=2. 2 跟踪训练 若最简根式与可以合并，求的值. 分析：利用被开方数相同，根指数相同，列关于待定字母的方程组求解. 解：由题意得 解得 = = . 新知探究 03 思考1 和可以直接相加吗？ 不能，和的被开方数不同，无法直接相加. 思考2 如何计算？能否类比整式运算？ +=3 2 =(3+2) =5. (化成最简二次根式) (利用分配律合并) 合并的方法： 合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如 (a≥0). 可看作二次根式的“系数” 例3 计算： 解：(1) = = ； (2) = 3+5 = 8； (3) = 4 = 14. (1);(2); (3). 　　 例4 计算： 解：(1) 2(- = . (1)(-)； (2) . 有括号，先去括号 (2) = = . 1.二次根式的加减法法则: 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 2.加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式化成最简二次根式； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)合——把被开方数相同的二次根式合并. “一化、二找、三合” 例5 有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？ 分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 7.5dm 5dm 8dm2 18dm2 解：大正方形木板的边长为 dm. 因为<5，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为() dm， 而 = 2+3 = (2+3) = 5. 由 可知 <7.5， 即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长， 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板. 7.5dm 5dm 8dm2 18dm2 跟踪训练 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板. (1)求剩余木板的面积； 解：(1)方法一：两个正方形的面积分别为18 dm2和32 dm2. 这两个正方形的边长分别为 dm和 dm， ∴剩余木板的面积为=6 (dm2). 方法二：由题意知，长方形木板的长和宽分别为 dm和 dm， ∴剩余木板的面积为-18-32=6 (dm2). 跟踪训练 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板. (2)如果木工想从剩余的木板中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木板，最多能截出几块这样的木板？ 解：(2)= . ∵4<3<4.5，1< <1.5， ∴从剩余的木板中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木板，最多能截出2块这样的木板. 辨析 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 随堂练习 04 1. 下列计算是否正确？为什么？ (1) ;(2) ;(3) . 解: (1)不正确.理由： = 2 + 3 = 5， = ，5 ≠ . (2)不正确.理由：= ， ，. (3)正确. = (3-1)= . 2. 计算： (1) ； (2) ； 解： (1) = = . (2) = = = . 2. 计算： (3) ； (4) . 解： (3) = = . (4) () - () = . 3.计算： (1)　； (2) . 解：(1) = . (2) = = . 4. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3. 求圆环的宽度d（π取3.14）. d 解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r， 则 d = R – r. 因为 R = ≈ =， r = ≈ = ， 所以 d = R - r ≈ = . 答：圆环的宽度d约为. 5.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=， 求(2*3)(27*32)的值. 解：∵ a*b = ∴ (2*3)－(27*32) = +(+3) =+3 = -11. 课堂小结 05 二次根式的加法与减法 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并 一化：将非最简二次根式化成最简二次根式 二找：找出被开方数相同的二次根式 三合：将被开方数相同的二次根式合并 可以合并的 二次根式 二次根式的加减 19.3 二次根式的加法与减法 第二课时 第十九章 二次根式 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 31 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式 的混合运算,提升运算能力. 新课导入 02 复习 1.单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则分别是什么？ 2.多项式除以单项式的法则是什么？ p(a+b+c)=pa+pb+pc； (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq. (am+bm)÷m=am÷m+bm÷m. 36 完全平方公式 变式 平方差公式 复习 3.学习过的乘法公式，你还记得吗？ 新知探究 03 1.运算依据： 实数的运算律(交换律，结合律，分配律)，整式的乘法法则和乘法公式(平方差公式，完全平方公式)在二次根式的混合运算中仍然适用. 2.运算顺序： 无括号的先乘方，再乘除，最后加减. 有括号的先算括号里面的(或先去掉括号）. 同级运算，从左到右进行计算. 先乘方 再乘除 最后加减 例1 计算： (1) 解:(1) =+ =4+3. (2) =()× =4×3× =2. 运用了分配律 例2 计算： 解:(1) =2+ =2215 =132. (2) =()2 =53 =. 用了多项式乘多项式的法则 (1) (); (2)()(). 用了平方差公式 跟踪训练 计算： (1); (2)(); 解：(1) = = . (2)方法一 () =(2) = =2. 方法二 () = × = =2. 跟踪训练 计算： (3)(4)÷2; (4)(+3)(). 解：(3)(4)× = × = . (4)() () =()232 = = . 几种常见运算类型： ①(+) = + ②()() = +++ ③()() = ()2-()2 = a-b ④(±)2 = ()2±2+()2 = a±2+b ⑤()÷ = = 二次根式的混合运算，先要弄清运算类型，再确定运算顺序， 最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 45 随堂练习 04 1. 计算： (1) ()； (2) () ÷ ； 解：(1)() . (2) =+ = . 1. 计算： (3) (+ 3)(+ 2)； (4) ()(). 解： (3) . (4) = 6 - 2 = 4. 2. 计算： (1) (4 + )(4 - )； (2) ()()； 解：(1) (4 + )(4 - ) = 16 - 7 = 9. (2) ()() = ()² - ()² = a – b. 2. 计算： (3) (+ 2)²； (4) (2- )². 解： (3) (+ 2)² = 3 + 4+ 4 = 7 + 4. (4) (2)² = (2)² - 2×2+ ()² = 20 - 4+ 2 = 22 - 4. 3.计算： (1) ()； (2) (2 026)0 . 解：(1)原式= =3. (2)原式= =-2. 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值符号，注意去掉绝对值符号后，得到的数应该为非负数. 4.计算： 解：(1)原式= = =. (2)原式= = = . 分母形如m的式子，分子、分母同乘以m，构成平方差公式，可以使分母不含根号. 5. 先化简，再求值：a(-a)+(a+)(a- )，其中a=-1. 解： a(-a)+(a+)(a- ) = a-a2+ a2 -3 = a-3. 当a=-1时，原式=(-1)-3 =2--3 =-1-. 课堂小结 05 二次根式的混合运算 运算顺序： 先乘方，后乘除，最后加减； 如有括号，先做括号内的运算； 同级运算从左到右进行. 应用：化简求值 技巧：运用运算律和运算公式简化计算 谢谢观看 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 56 $