19.2 二次根式的乘法与除法 课件 -2025--2026学年人教版八年级数学下册

19.2 二次根式的乘法与除法 第一课时 第十九章 二次根式 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1.了解二次根式的乘法法则. 2.能运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算. 新课导入 02 情境1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1. 第一宇宙速度v1可以表示为. 情境2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= v1，请结合情景1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2 . 第二宇宙速度v2可以表示为. 思考 若已知地球半径R≈6 400 km及重力加速度g≈10 m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？ 类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的运算. 根据算术平方根的意义. 当a取某个非负实数时，也是一个实数，我们从这类实数的运算出发学习二次根式的运算. 新知探究 03 (1)  (2)  (3)  探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 2×3=6 =6 4×5=20 =20 6×7=42 =42 一般地，二次根式的乘法法则是 · = (a≥0，b≥0). 二次根式相乘，________相乘，________不变. 根指数 被开方数 注意： ①≥0，b≥0是此法则成立的前提条件.在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数. ②本节法则中的a，b既可以是一个数，也可以是其他代数式. 你会证明吗？ 思考 求证：· = (a≥0，b≥0) . 证明：根据积的乘方法则，有(·)2=()2·()2=ab， ∴·就是ab的算术平方根. 又∵表示ab的算术平方根， ∴· = (a≥0，b≥0) . 例1 计算：. 解：(1)× ==. (2)× == = 3. (3)× = = = . 二次根式的乘法法则的推广 ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即 ∙ ⋯∙ = (a≥0,b≥0,c≥0, ⋯ , n≥0) ②乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适用. 类比单项式乘以单项式，可得 a·c=ac(b≥0,d≥0). 跟踪训练 计算： ()；×；④××. 解：① ； ②×(-2)=-2 =-2 =-2×3=-6； ③×2=×2 =-6； ④×× = =. 结果中有开得尽平方的因数，一定要开平方 把· = (a≥0，b≥0)反过来，就得到 =· (a≥0，b≥0). 积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 注意：各个因数或因式必须非负，如 = × = = √ 逆用二次根式乘法法则化简的步骤 ①将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时， 先把化成的形式. ②利用∙ 将能开得尽平方的因数或因式开到根号外，如. 拓展： = (a0，b0，c0). 例2 化简： (1) ； (2) . 解：(1)  = 4 × 9 = 36. (2)  =· . 像4，a2，b2这样开的尽平方的因数或因式，把它们开平方后移到根号外. 跟踪训练 化简： ①；②；③；④. 解：① = =× =10. ②==×=2×9=18. ③ = =× =5×3=15. ④ = =·=2a. 解：(1)  . (2)  . (3) . 例3 计算： (1) ；(2) ； (3) . 随堂练习 04 1. 计算： . 解：(1) . (2) = 6. (3) . (4) = 2. 2. 化简： . 解：(1) = 7×9 = 63. (2) . (3). 3. 一个长方形的长和宽分别是和，求这个长方形的面积. 解： . 答：这个长方形的面积为. 4.已知 =a ， =b，试用a，b表示. 解:∵×===×=10. 又∵=a，=b. ∴ab=10. ∴ =ab. 课堂小结 05 二次根式 二次根式的乘法 乘法法则：二次根式相乘,被开方数相乘，根指数不变 · = (a0，b0). 二次根式乘法法则的逆用 =· (a0，b0). 27 19.2 二次根式的乘法与除法 第二课时 第十九章 二次根式 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 28 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1.了解二次根式的除法法则. 2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. 新课导入 02 问题 已知，两个正方形面积分别为12，4，请求出大正方形的边长是小正方形边长的多少倍？ 大正方形的边长：， 小正方形的边长： ， = ？ 新知探究 03 探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) ___________, ___________; (2) ___________, ___________; (3) 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) (2) (3) 特殊 一般 一般地，二次根式的除法法则是 = (a≥0，b>0). 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 注意：此处b的取值范围，与乘法法则中b的取值范围不同. 二次根式的乘法法则的推广 ①多个二次根式相除的情况， = (a≥0，b>0，c>0) ②当二次根式根号外的因数不为1时，类比单项式除以单项式，可得 = (b≥0，d>0，c≠0). 例1 计算：(1) ；(2) ÷. 解:(1). (2) == 3. 除式是分数或分式时， 先要转化为乘法再进行运算. 跟踪训练 计算：(1)； (2) ÷ 解：(1)方法一 = = =2. 方法二 = ==2 . (2)方法一 ÷=÷ = × = . 方法二 ÷= = = . 方法点拨： (1)当a是b的倍数或a,b为分数时，利用 = 直接进行计算； (2)当,的被开方数含有能开得尽平方的因数（式）时，常先进行开平方，再进行除法运算. 解：(3) 4÷2 =(4÷2)× =2× =2×6 =12. (4) -÷ ÷ =(-1 1)× = ×= . 跟踪训练 计算： (3)÷；(4) . 二次根式除法法则的逆用 = (a≥0,b>0). 商的算术平方根等于被除式的算术平方根 除以除式的算术平方根. 注意：被除式必须非负，除式必须为正，如 = × = = √ 例2 化简： 　　 解：(1) ==； . 例3 设长方形的面积为S. 相邻两边长分别为a，b. 已知S=，b=，求a. 解:因为S=ab，所以 a = = = = = = = . 二次根式化简的结果中被开方数不含分母 跟踪训练 化简： (1) ； (2) ； 解：(1) . (2) = . 跟踪训练 化简： (3) ； (4) (a>0， b≥0). 解： (3) (4). 随堂练习 04 1. 计算：(1) (2) (3) (4) . 解：(1)  (2) . (3)  (4) = = =2a. 2. 化简：(1) ；(2)；(3) . 解：(1)  = . (2)  = . (3)  == . 49 3. 计算：(1) ； (2) . 解：(1) = = . (2) ===. 4.计算： ÷× 解：(1)  . (2)  . 课堂小结 05 二次根式的除法 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. = (a≥0，b>0). 二次根式除法法则的逆用 = (a≥0，b>0). 19.2 二次根式的乘法与除法 第三课时 第十九章 二次根式 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 54 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1.了解最简二次根式的概念. 2.能逆用二次根式的乘除运算法则化简二次根式，提升运算能力. 新课导入 02 情境 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 实际上，广播电视塔高度与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6 400 km. 如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是. 如何化简这个式子呢？ 新知探究 03 思考 2， 3， ， ， ，观察上面这些式子中的二次根式，可以发现它们有什么共同特点吗？ 特点： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 注意：有限小数可以化为分数，故最简二次根式的被开方数中不含有限小数. 例1 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，说明理由： ①；② ； ③ ； ④ ； ⑤ 解：①④是，满足最简二次根式的条件. ②不是，被开方数含有分母. ③不是，被开方数含有能开得尽平方的因数4. ⑤不是，∵a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2，∴被开方数含有能开得尽平方的因式. 化简二次根式的一般方法 ①将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方. ②化去根号下的分母:若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数;若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数. ③被开方数是多项式的要先进行因式分解. (1)解法1: = = = = = . 解法2: = = = . 例2 化简：(1)；(2) ； (3) . 　　 这样变形是为了使分母中不含二次根式. 解:(2) = = = = = . (3) = = = 例2 化简：(1);　 　(2) ; (3) . 　　 分母中含有二次根式的式子的化简方法 方法一：先应用分数（式）的基本性质，把分母化成一个完全平方数（式），再逆用二次根式的除法法则. 方法二：先直接逆用二次根式的除法法则，把分子和分母分别化简，再应用分数（式）的基本性质，使分母中不含二次根式. 跟踪训练 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式. (1) ；(2) ；(3)；(4). 解：(1) . (2) 方法一 . 方法二 . 跟踪训练 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式. (1) ；(2) ；(3)；(4). 解： (3) 方法一 . 方法二 (4). 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 一分：将被开方数（或被开方数的分子、分母)分解因数（式）. 二移：把能开得尽平方的因数（式），利用公式= a(a≥0)移到根号外. 三化：化去被开方数中的分母. 四约：约分，化为最简二次根式. 现在来看本章引言中的问题. 如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是. 如何化简这个式子呢？ = = = = . 可以看出，这个比与地球半径无关. 这样，只要知道 h₁, h₂，就可以求出比值. 随堂练习 04 1.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式. （1）；（2）；（3）(x ≥ 0). 解：（1）原式 = = ； （2）原式 = = ； （3）原式 = = . 2. 计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4). 解：(1) . (2) . (3) . (4) . 3. 一个长方体的体积，高，求它的底面积S. 解：∵ ∴. 故这个长方体的底面积S为. 4. 计算： (1) ； (2)； 解：(1) . (2) . 4. 计算：(3) ； 解：(3) = = = 4. 计算：(4) . 解： (4) 方法一 = = = . 方法二 = = . 课堂小结 05 最简二次根式 条件： 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式 化简步骤： “一分”“二移”“三化”“四约” 谢谢观看 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 81 $