19.1 二次根式及其性质 课件 -2025--2026学年人教版八年级数学下册

19.1 二次根式及其性质 第一课时 第十九章 二次根式 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1.了解二次根式的概念,发展抽象能力. 2.理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如的式子有意义时字母的取值范围. 新课导入 02 问题1 什么叫作平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. 问题2 什么叫作算术平方根? 如果（≥0）,那么称为a的算术平方根.用(表示. 问题3 什么数有平方根? 我们知道，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6 400 km. 新知探究 03 思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征. (1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 _______m. (2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_________. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与 开始落下时离地面的高度h（单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_____. 9 思考 上面问题中，得到的结果，，，，这些代数式有什么意义？有什么共同点？ 1.分别表示 2Rh，65，， 的算术平方根． 2.根指数都为2. 3.被开方数都是非负数. 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式. 说明: （1） 中的既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （2）已知 是二次根式，就意味着满足≥0. 例1 给出下列式子： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦. 其中一定是二次根式的是_________.（只填序号） ①④⑦ 跟踪训练 用代数式表示：一个长方形的面积为S，且长和宽的比为5:2，则该长方形的长为________. 5 解：设长方形的长为5x，则它的宽为2x. 根据题意，得5x·2x=S，∴x=± . ∵长方形的边长不能为负数，∴x=. ∴长方形的长为5. 思考 当a满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 条件 字母表示 有意义 被开方数为 非负数 例2 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 解：由≥0，得 x≥2. 当x≥2时，在实数范围内有意义. 跟踪训练 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)；(2)；(3). 解：(1)由≥0，得≥-1， ∴当≥-1时，在实数范围内有意义. (2)由≥0且3-≠0，得3->0，∴<3. ∴当<3时，在实数范围内有意义. (3)∵不论为何值，(+1)2≥0恒成立， ∴取任意实数，在实数范围内都有意义. 思考 当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？呢？ 代数式 x满足的条件 x取任意实数 x取非负数 随堂练习 04 1.下列各式是二次根式的是( ) A. B. C. D. A 2.要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2， 它的长、宽各应取多少？ 解：设这个长方形的长、宽分别为3x cm， 2x cm. 由题意得， 所以 所以 所以 即这个长方形的长应取cm, 宽应取cm. 3.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)由a-1≥0，得a≥1. 所以当a≥1时，在实数范围内有意义. (2)由5-a≥0，得a≤5. 所以当a≤5时，在实数范围内有意义. (3)由2a+1≥0，得a≥- . 所以当a≥- 时，在实数范围内有意义. 4. 5.（1）当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ （2）若式子有意义，求x 的取值范围. 解：(1) 由题意，得 解得 . 所以当时，在实数范围内有意义. (2) 由题意，得 , 得 . 所以当时，有意义. 课堂小结 05 二次根式 二次根式的概念 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 形如的式子有意义的条件 被开方数为非负数 . 19.1 二次根式及其性质 第二课时 第十九章 二次根式 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 26 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法. 2.会运用二次根式的性质进行化简计算. 新课导入 02 问题1 正数有平方根吗？负数呢？0呢？ 正数、0都有平方根，但负数没有平方根. 问题2 计算下面两题： ①；② ；③ . 2 4 0 新知探究 03 我们知道，当>0时，表示的算术平方根，因此>0; 当=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说， ≥0 (≥0). 性质1：二次根式具有双重非负性. ① 例1 若 + |b| + c2 = 0，则=___；b=___；c=___. 0 点拨： ①三类常见的非负数： (≥0)，||2. ②若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0. 0 0 跟踪训练 ∴ 解得 ∴ 探究1 根据算术平方根的意义填空： 3 0.5 0 解：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数,因此，()2=3. 同理，，，分别是，，0的算术平方根，即得上面的等式. 一般地， ()2= (≥0). 性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 例2 计算： (1) ()2； (2) (2)2. 解：(1) ()2 =1.5. (2) (2)2 =22×()2=4×5=20. 对于形如(b)2(a≥0)的式子，要结合积的乘方运算法则来计算，即(b)2=b2·()2=b2·a=ab2. 跟踪训练 计算： ①()2；②(-)2；③()2；④(5)2；⑤(-7)2 . 解：①()2 =5； ②(-)2 =()2 =0.2； ③(2 = ； ④(52 =52×2 =25×5=125； ⑤(-72 =(-7)2×()2 =49× =14. 探究2 填空： 根据算术平方根的意义，可以得到 ；；；. 2 0.1 0 一般地， ＝a (a≥0) . 性质3：一个非负数的平方的算术平方根等于这个数本身. 思考 当a为任意实数时，都有意义，如果前一探究中的a为负实数，那么下面各式还成立吗？为什么？ . 2 0.1 注意：中的可以是任意实数， 但计算结果不一定是. ()2 不同点 表示的意义 包含的运算顺序 的取值范围 结果的表达形式 相同点 ()2与的结果都是非负数，且当a≥0时， ()2 =.  为任意实数. 先开方，再平方. 先平方，再开方. 表示非负数a的算术平方根的平方. 表示实数a的平方的算术平方根. 思考 ()2与的相同点与不同点？ 例3 化简： (1) . (2) . 解：(1) = =4. (2) = =5. 跟踪训练 计算： (1) ； (2) ； (3). 两步法计算 (1)去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式； (2)去绝对值符号. (1) 方法一：= = 10. 方法二：= |-10| = 10. (2) 方法一= = . 方法二：= =. (3) 方法一：= = . 方法二：= =. 随堂练习 04 1. 计算：(1) ；(2) . 解：(1) . (2)  2. 化简：(1) ；(2) ；(3) ；(4) . 解：(1)= 0.3. (2) . (3) . (4)=. 3.已知+=0，则x+y的值是______. -1 4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+. -1 0 1 2 a 解：由题意，得1＜a＜2， ∴＞0，a-2＜0. ∴|a-2|+ = |a-2|+ |a-1| = 2-a+a-1 =1. 5.已知a,b,c是△ABC的三边长，化简： 利用三角形三边关系 三边长均为正数， a+b+c＞0 两边之和大于第三边， b+c-a＞0， c-b-a＜0. 解：∵a,b,c是△ABC的三边长， ∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c． 课堂小结 05 二次根式 二次根式的性质 ≥0 (≥0)(双重非负性) ()2=(≥0) 谢谢观看 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 55 $