第二讲 基本函数指对幂的性质、图像 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

第2讲 基本函数指对幂的性质、图像 函数概念知识讲解 一、函数概念 (1)给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应。记作：， (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则 (3)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同 二、函数定义域 ①分式的分母不为零； ②偶次方根的被开方数大于或等于零： ③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④零次幂或负指数次幂的底数不为零； ⑤三角函数中的正切的定义域是且； （6）复合函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围） ●若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出； ●若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．； 三、函数值域 (1)基本函数：的值域是；的值域是；且的值域是 (2)不等式法： (3)换元法：对于形的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数 (4)分离常数法： ① ；② ③ →同时除以分子：→②的模型 （5）抽象函数的求值：赋值法，用0,1，x,-x，等特殊值求解 四、函数解析式的常见求法 法1：配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换 法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可 法3：换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. 法4：解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 五、反函数 （1）定义：函数叫做的反函数，记作． 例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数 （2）性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 ②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立 ③互为反函数的两个函数的单调性相同 ④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域 ⑤单调函数必有反函数 六、高斯函数 （1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. （2）性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. （3）图象 函数性质知识讲解 【一】单调性定义 1、求函数的单调区间：设函数f(x)的某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数 注意：应先求定义域，在定义域内求单调区间；多个单调区间用“逗号”或“和”连接，不能用“∪”连接 例：对勾函数（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减 2、判断单调性 (1)判断方法：①定义法；②图象法；③导数法 (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减” ①若有或，则在闭区间上是增函数 ②若有或，则在闭区间上是减函数 内层函数 外层函数 复合函数 增/减 增/减 增 增 减 减 3、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有； 【二】奇偶性 1、函数奇偶性的判断：两个必备条件： (1)定义域关于原点对称 (2)奇函数：，图像关于原点对称；偶函数：，图像关于y轴对称 注意：既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 若奇函数的定义域包括，则 若函数是偶函数，则 2、常见奇偶性函数模型 (1)奇函数（证明）；奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同 ①；； ②或函数 ③函数或函数 (2)偶函数：偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反 ①；②常数函数；③函数类型的一切函数 3、已知奇函数，，则 （1）；（2） 【三】周期性与对称性】 1、周期性(a是不为0的常数)：若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0. (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|; 2、对称性的常用结论 【线对称】 ①函数关于直线对称 ②函数关于直线对称 【点对称/中心对称】 ①函数关于点对称 ②函数关于点对称⇔f(a+x)=-f(b-x) ③函数关于点对称 ④函数关于点对称⇔f(a+x)+f(b-x)=c 3、函数自身的对称性 （1）的图像关于直线对称的充要条件是：，即 （2）的图像关于点对称的充要条件是：，即； 4、不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称 5、函数的的对称性与周期性的关系：类比三角函数 （1）有两条对称轴，，则是周期函数，且； （2）的图象有两个对称中心，是周期函数，且； （3）有一条对称轴和一个对称中心，是周期函数，且. 6、函数的奇偶性和对称性的关系（证明） ①若为奇函数，则关于对称； ②若为偶函数，则关于对称 ③若为奇函数，则关于对称；④若为偶函数，则关于对称 指对幂知识讲解 【一】幂函数 （1） 幂函数：形如的函数称为幂函数 （2） 幂函数图象：所有的幂函数图象都过；时，幂函数的图象都过原点 （3）幂函数的单调性： （4）幂函数的奇偶性（证明） （5）一元二次方程 ①方程有两个实数根 ②方程有同号两根 ；③方程有异号两根 ④（证明）韦达定理及应用： , 【二】指数函数 1、指数、根式性质 （1）；（2）（3）; （4）①；②当为奇数时，；③当为偶数时， 2、指数计算 （1）； （2）； （3）； （4） 3、指数函数：函数（且） 4、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 对称性 函数与的图象关于y轴对称 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 5、规律：在轴右侧，图象从上到下相应的底数变小 【三】对数函数 1、指对互化：如果，那么可以记作；. 2、两种特殊的对数函数：（1）常用对数：；（2）自然对数： 3、对数运算 ①两个基本对数：； ②对数恒等式：； ③换底公式：； 对数的倒数式 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：；； 4、对数函数：形如；真数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 (1，0) 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 5、规律：在第一象限内，自左向右，底数变大；函数与的图象关于轴对称 6、对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 7、对数型糖水不等式：设 , 且 , 则有 8、图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） ① ② ③ ④ 特别地：当时；， 当时； 9、图象变换 （1）平移变换 （2）对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x) ②y＝f(x)y＝f(－x) ③y＝f(x)y＝－f(－x) ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1) （3）伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) （4）翻折变换 ①y＝f(x) y＝|f(x)|. ②y＝f(x) y＝f(|x|)． 10、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 一、真题讲解 1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 3．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 5．（2025·天津·高考真题）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ． 6．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A．B．C． D． 8．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 12．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 15．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 16．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 17．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 21．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 22．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 24．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 25．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 二、模拟讲解 1. （26福建泉州一模-多选）已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 函数取最小值时， 2. （26福建泉州一模）定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 3．（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4. （26河北沧州一模）已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 5. （26河北沧州一模）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（ ） A. B. C. D. 6. （26河南濮阳一模-多选）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 7. （26河南濮阳一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. （26四川泸州二模）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为___________． 9. （26浙江金丽衢一模）已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 10.（26湖南长沙模拟-多选） 已知函数的定义域为，且．当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 当时， D. 为的极值点 11. （26湖南长沙模拟）已知函数若是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. （26湖南常德一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 13. （26湖南邵阳一模）设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 14. （26湖南邵阳一模）已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 15. （26湖南湘潭一模-多选）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ） A. B. C. D. 16. （26湖南湘潭一模）已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 17. （26湖南岳阳一模）已知函数，则（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，且曲线的对称中心为，则有极值 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若且，直线是曲线在对称中心处的切线，定点满足，则过点与曲线相切的直线有三条 18. （26湖南岳阳一模）已知函数的定义域为.若的图象关于点中心对称，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 关于直线对称 C. D. 19. （26湖南长沙一模）已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 20. （26湖南株洲一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（    ） A. 0 B. 2 C. D. 1 21. （26江苏南通一模-多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 22. （26江苏南通一模）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ） A. B. C. D. 23. （26江苏南通一模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 24. （26江苏徐州一模）已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. 25. （26江西九江一模）已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 26. （26江西九江一模）已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 27. （26江西萍乡一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 28. （26江西上饶一模）已知函数，则（ ） A. 在点（2，a-4）处的切线方程为 B. 若有两个极值点，则 C. 当时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 29. （26江西上饶一模）已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立 D. 若实数满足，则 30. （26江西上饶一模）已知，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 31. （26江西上饶一模）已知函数，则（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 32. （26广东湛江一模-多选）已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 33. （26广东湛江一模）已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 34. （26广东茂名一模）已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 35. （26山东济南一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 36. （26山东济南一模）已知函数的图象上存在不同的两点关于轴对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 37. （26山东枣庄一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 38. （26山东枣庄一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 39. （26山东威海一模）已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 40. （26山东潍坊一模）下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 41. （26山东泰安一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（ ） A. B. C. D. 42. （26山东泰安一模）函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 43. （26皖南八校）设函数，其中，若对任意恒成立，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 44. （26皖南八校）已知函数，下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 45. （26安徽滁州一模）已知函数，的零点分别是，则满足（ ） A. B. C. D. 46. （26安徽淮北一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于直线对称 C. 3是的一个周期 D. 47. （26安徽淮北一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ ） A. B. C. D. 48. （26安徽淮南一模）已知，若函数的图象存在对称中心，则__________． 49. （26安徽淮南一模）对于一个声强为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）．设声强为时的声强级为，声强为时的声强级为，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000 50. （26安徽黄山一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 51. （26安徽马鞍山一模）已知函数，且，则的值为__________. 52.（26安徽合肥一模） 已知函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 53. （26湖北孝感一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 54. （26湖北孝感一模-多选）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在函数，使得恒成立 B. 存在函数，使得恒成立 C. 存在函数，使得恒成立 D. 存在函数，使得恒成立 55. （26湖北荆州一模-多选）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 56. （26湖北荆州一模）已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 57. （25湖北武汉二调-多选）已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 58. （25湖北武汉二调） 函数满足：，若，，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 59．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 60．（2025·安徽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 61．（2025·安徽·一模）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 62．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 63．（2025·安徽·一模）若函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64．（25安徽合肥一模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 65．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 66．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 67．（2025·安徽·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．与的奇偶性相同 B．曲线关于直线对称 C．的最小正周期是最小正周期的2倍 D．在上单调递减 68．（2025·安徽黄山·一模）已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 基本函数指对幂的性质、图像 函数概念知识讲解 一、函数概念 (1)给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应。记作：， (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则 (3)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同 二、函数定义域 ①分式的分母不为零； ②偶次方根的被开方数大于或等于零： ③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④零次幂或负指数次幂的底数不为零； ⑤三角函数中的正切的定义域是且； （6）复合函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围） ●若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出； ●若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．； 三、函数值域 (1)基本函数：的值域是；的值域是；且的值域是 (2)不等式法： (3)换元法：对于形的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数 (4)分离常数法： ① ；② ③ →同时除以分子：→②的模型 （5）抽象函数的求值：赋值法，用0,1，x,-x，等特殊值求解 四、函数解析式的常见求法 法1：配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换 法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可 法3：换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. 法4：解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 五、反函数 （1）定义：函数叫做的反函数，记作． 例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数 （2）性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 ②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立 ③互为反函数的两个函数的单调性相同 ④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域 ⑤单调函数必有反函数 六、高斯函数 （1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. （2）性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. （3）图象 函数性质知识讲解 【一】单调性定义 1、求函数的单调区间：设函数f(x)的某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数 注意：应先求定义域，在定义域内求单调区间；多个单调区间用“逗号”或“和”连接，不能用“∪”连接 例：对勾函数（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减 2、判断单调性 (1)判断方法：①定义法；②图象法；③导数法 (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减” ①若有或，则在闭区间上是增函数 ②若有或，则在闭区间上是减函数 内层函数 外层函数 复合函数 增/减 增/减 增 增 减 减 3、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有； 【二】奇偶性 1、函数奇偶性的判断：两个必备条件： (1)定义域关于原点对称 (2)奇函数：，图像关于原点对称；偶函数：，图像关于y轴对称 注意：既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 若奇函数的定义域包括，则 若函数是偶函数，则 2、常见奇偶性函数模型 (1)奇函数（证明）；奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同 ①；； ②或函数 ③函数或函数 (2)偶函数：偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反 ①；②常数函数；③函数类型的一切函数 3、已知奇函数，，则 （1）；（2） 【三】周期性与对称性】 1、周期性(a是不为0的常数)：若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0. (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|; 2、对称性的常用结论 【线对称】 ①函数关于直线对称 ②函数关于直线对称 【点对称/中心对称】 ①函数关于点对称 ②函数关于点对称⇔f(a+x)=-f(b-x) ③函数关于点对称 ④函数关于点对称⇔f(a+x)+f(b-x)=c 3、函数自身的对称性 （1）的图像关于直线对称的充要条件是：，即 （2）的图像关于点对称的充要条件是：，即； 4、不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称 5、函数的的对称性与周期性的关系：类比三角函数 （1）有两条对称轴，，则是周期函数，且； （2）的图象有两个对称中心，是周期函数，且； （3）有一条对称轴和一个对称中心，是周期函数，且. 6、函数的奇偶性和对称性的关系（证明） ①若为奇函数，则关于对称； ②若为偶函数，则关于对称 ③若为奇函数，则关于对称；④若为偶函数，则关于对称 指对幂知识讲解 【一】幂函数 （1） 幂函数：形如的函数称为幂函数 （2） 幂函数图象：所有的幂函数图象都过；时，幂函数的图象都过原点 （3）幂函数的单调性： （4）幂函数的奇偶性（证明） （5）一元二次方程 ①方程有两个实数根 ②方程有同号两根 ；③方程有异号两根 ④（证明）韦达定理及应用： , 【二】指数函数 1、指数、根式性质 （1）；（2）（3）; （4）①；②当为奇数时，；③当为偶数时， 2、指数计算 （1）； （2）； （3）； （4） 3、指数函数：函数（且） 4、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 对称性 函数与的图象关于y轴对称 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 5、规律：在轴右侧，图象从上到下相应的底数变小 【三】对数函数 1、指对互化：如果，那么可以记作；. 2、两种特殊的对数函数：（1）常用对数：；（2）自然对数： 3、对数运算 ①两个基本对数：； ②对数恒等式：； ③换底公式：； 对数的倒数式 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：；； 4、对数函数：形如；真数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 (1，0) 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 5、规律：在第一象限内，自左向右，底数变大；函数与的图象关于轴对称 6、对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 7、对数型糖水不等式：设 , 且 , 则有 8、图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） ① ② ③ ④ 特别地：当时；， 当时； 9、图象变换 （1）平移变换 （2）对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x) ②y＝f(x)y＝f(－x) ③y＝f(x)y＝－f(－x) ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1) （3）伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) （4）翻折变换 ①y＝f(x) y＝|f(x)|. ②y＝f(x) y＝f(|x|)． 10、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 一、真题讲解 1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能；故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B． 2．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为. 3．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题知对一切成立， 于是.故选：A 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 5．（2025·天津·高考真题）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称， 则对任意的，，，则， 所以，， 所以，函数是周期为的周期函数，且， 因此，.故答案为：. 6．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D 7．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又，故可排除D.故选：B. 8．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. 9．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 10．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以，故选：D 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时；可知若，符合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 12．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，，，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，且不恒为0，则不是偶函数，故D错误.故选：B. 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD 14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【详解】由题，整理得， 或，又，所以，故 15．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得， 若，令，可得；因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意；综上所述：. 16．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 17．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【详解】（1）时，，其中，则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即，所以的最小值为.， （2）的定义域为，设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而，， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即， 先考虑时，恒成立.此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立，设， 则，当，， 故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立. 当时，，故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立.当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时.而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为. 综上，. 18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 据此可得， 函数在处的切线方程为，即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知， 取可得，即，则，解得， 经检验满足题意，故.即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令，则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， ；当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故的最小值为， 令，则，函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立，则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时，， 且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减，当时，，单调递增， 所以.令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以 ，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 20．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是. 21．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A. 22．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则.所以.故选：D 23．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【详解】方法一：因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.故选：. 24．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数.故选：B. 25．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【详解】因为，所以，令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 二、模拟讲解 1. （26福建泉州一模-多选）已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 函数取最小值时， 【详解】对于A，当时，，此时， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故A正确； 对于B，， 因为，由基本不等式可得， 故即，故B错误； 对于C，由题设有，故， 故， 要证即证，即证， 不妨设，，即证，即证， 设，则， 设，则，故在为增函数， 故，故在为增函数，故. 故成立，故C正确.对于D，略，故D正确.故选：ACD. 2. （26福建泉州一模）定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【详解】当时，，则，因函数为奇函数，则当时，则， 所以，又因，所以，即， 综上可得的值域为，故D正确. 3．（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：因为当时，单调递增；当时，单调递增； 又因为单调递增，且，所以， 解得.故选：C. 4. （26河北沧州一模）已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 【详解】因为，令，，可得， 所以，令，，可得，所以， 所以，A正确；由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以，所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确；.故选：ACD. 5. （26河北沧州一模）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以，由题意可知，解得，所以，，故选：AC. 6. （26河南濮阳一模-多选）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【详解】令，则，故，则，故B正确； 令，则， 则，则或， 令，则，则， 若，则，也满足，故为奇函数，故A错误； 因为为偶函数，所以的对称轴为，则， 因为为奇函数，所以，则， 则，故，即是的一个周期， 则，故C正确； 因为，所以，； 因为，所以， ，故D正确.故选：BCD 7. （26河南濮阳一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标， 图象如图： 由图可知，； 法2：易知，均为增函数，因为，所以， 因为，所以，所以.故选：A 8. （26四川泸州二模）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为___________． 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 且，可知为奇函数， 若函数恰有4个零点，则函数在内恰有2个零点， 当，则，可得， 令，可得， 构造，，则与在内恰有2个交点， 因为，，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近0时，趋近于1；当趋近时，趋近于；作出函数的图象，如图所示： 由图象可得：，所以的取值范围为. 9. （26浙江金丽衢一模）已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【详解】由，求导可得：， 由，得或，由，得， 所以单调递增，在单调递减， 所以当时，极大值为4，即当时，， 又当时，极小值为0，当时，， 且函数在单调递减，在单调递增， 即当时，，当时，，综上可知不等式的解集为，故选：D 10.（26湖南长沙模拟-多选） 已知函数的定义域为，且．当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 当时， D. 为的极值点 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，则，解得， 令，则，可得为奇函数，故B错误； 当时，令，则，所以， 故有，结合，则，可得， 而是奇函数，则时，，故C正确； 将两边同时乘以，得到， 可设，则，当时，，则， 当时，，当时，， 可得在上单调递增，在上单调递减，此时，不为的极值点，故D错误.选AC 11. （26湖南长沙模拟）已知函数若是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】由函数若是上的单调递增函数， 得，解得，所以实数的取值范围是.故选：B 12. （26湖南常德一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意可知整理得， 又因为，所以要想最大，则有，并且，即，所以， 设函数，令，解得或（舍去）. 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为.故选：B 13. （26湖南邵阳一模）设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【详解】由，得，设的图象与的图象的交点为， 由，得，设的图象与的图象的交点为， 而的图象与的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称， 因此点与点关于直线对称，则， 而当时，；当时，，函数在上单调递减， 所以. 故选：C 14. （26湖南邵阳一模）已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【详解】设，，所以为奇函数. ，因为，所以，所以在上单调递增. 由，所以， 所以； 由，所以， 即，因为为奇函数， 所以，所以， 所以，又在上单调递增， 所以，即.故选：B 15. （26湖南湘潭一模-多选）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ） A. B. C. D. 【详解】A选项，由得，由得， 又在，上单调递增，故A正确；B选项，，得， 取，则，满足，但，不满足的条件，故B错误； C选项，得，得， 因为在上单调递增，且，所以在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； D选项，得；得， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 故在上单调递增，故D正确.故选：ACD 16. （26湖南湘潭一模）已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【详解】因为，且，所以函数定义域为． 设，，则是直线的斜率．点是半圆上的动点．如图， 设点，则．设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为，则．故选：A. 17. （26湖南岳阳一模）已知函数，则（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，且曲线的对称中心为，则有极值 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若且，直线是曲线在对称中心处的切线，定点满足，则过点与曲线相切的直线有三条 【详解】，二阶导数，对称中心横坐标，对称中心为； 一阶导数，判别式，时函数有两个极值点，时函数在上单调.选项A：由，对称中心为，得，解得； 对称中心在函数图像上，故，即，得. 因此，选项A正确； 选项B：由，对称中心为，得，得， ，即，解得，则，； 导数为，判别式： 导数有两个不同实根，存在极值，选项B正确； 选项C:由，且，得， 导数判别式，故恒正或恒负，在上单调， 单调函数不存在使得，选项C错误.选项D略，选项D正确.故选：ABD. 18. （26湖南岳阳一模）已知函数的定义域为.若的图象关于点中心对称，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 关于直线对称 C. D. 【详解】因为的图象关于点中心对称，所以的图象关于原点对称， 则函数为奇函数，因为函数的定义域为,所以， 又，则， 所以，则， 所以,故,所以是的一个周期， 对于A，不妨令，满足定义域为的奇函数，周期为， 但，所以A错误； 对于B，不妨令，其定义域为， ， 则函数为奇函数， ，所以是的一个周期， 所以直线不是的对称轴，故B错误； 对于C,因为函数为周期为的奇函数，则， , 因为不一定为,所以C错误；对于D，因为函数为周期为的奇函数， 则， 所以，故D正确，选：D 19. （26湖南长沙一模）已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 详解】由，令，在同一坐标系中作出其图象，如图所示： 由上图可知，选项ABC都成立，D不成立.故选：D 20. （26湖南株洲一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（    ） A. 0 B. 2 C. D. 1 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即.故选：A. 21. （26江苏南通一模-多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【详解】设，则， 当时，指数函数单调递增，因为，所以， 即；当时，指数函数单调递减，因为，所以， 即；故选：BD. 22. （26江苏南通一模）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误.故选：D. 23. （26江苏南通一模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【详解】对于A：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，A错误； 对于B：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，B错误；对于C：令，则定义域为， 因为 ，即所以是奇函数，C正确； 对于D：令，则定义域为， 因为，所以不是奇函数，D错误；故选：C. 24. （26江苏徐州一模）已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. 【详解】为奇函数，定义域需关于原点对称，，即， 的解集关于原点对称，即，为奇函数， ， ，则，解得， ，定义域， 当时，，则，当时，，则， 又在和单调递增， 在和单调递减，在和单调递减，即，即， 或或 解得或或，故不等式的解集为． 25. （26江西九江一模）已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 【详解】将整理为，构造函数（），.，令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，由，可知，令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以.由题意可得，所以，当且仅当时，不等式成立. 此时，，所以.故选：D 26. （26江西九江一模）已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为任意，都有，即，所以， 所以，即是以为周期的周期函数，因为 所以，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误.故选：B 27. （26江西萍乡一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且对任意，有：， 所以，即，解得：， 代入不等式：.化简可得，即，即， 解得：.所以不等式的解集为.故选：D 28. （26江西上饶一模）已知函数，则（ ） A. 在点（2，a-4）处的切线方程为 B. 若有两个极值点，则 C. 当时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 【详解】选项A，， 在点（2，a-4）处的切线方程为， 即切线方程为，选项A正确．选项B，， 有两个极值点，有两个不同的根，，，选项B正确．选项C，当时，由前面分析知存在两个极值点， 是有两个不同的根，，，一正一负，且正根大于，不妨设，则的解为或， 的解为，当时单调递增， 当时单调递减，当时单调递增， ，， ，， 当时，有三个零点，选项C错误．选项D，直线与相交， 则，解得考虑二次部分，， ，，，设，， 不是的根，所以该方程有3个根，选项D正确．故选：ABD. 29. （26江西上饶一模）已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立 D. 若实数满足，则 【详解】，对于A选项，对任意的， ， 所以函数是定义域为的偶函数，，故A正确； 对于B选项，， 故函数为奇函数，故B正确；对于C选项，对于函数， 令，解得；，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故C错误； 对于D选项，由函数是定义域为的偶函数同时函数的单调递增区间为，单调递减区间为 所以可得，即，故D正确．故选：C． 30. （26江西上饶一模）已知，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【详解】，由得， 则 所以故选：A． 31. （26江西上饶一模）已知函数，则（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 【详解】因为，令，解得， 所以．故选：C. 32. （26广东湛江一模-多选）已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【详解】为奇函数，为偶函数，，， 令，则，解得，是偶函数，，选项A正确； ，且，，故的周期， ，但的值不确定，故选项B不一定正确； 是偶函数，，，即， 为奇函数，故，故选项C正确； 令，则， ，为奇函数，满足题设条件； ，，故D不一定正确；故选：AC． 33. （26广东湛江一模）已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【详解】原不等式等价于． 若，则曲线必然有一部分位于直线的上方， 与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除）． 所以上述不等式等价于， 设函数，直线．经过分析可知，单调递增且上凸，直线l经过点，要想恒成立， 需满足在函数上方或在上且与相切于此点， 可得，由此即可得， 显然等号成立时，在上，即直线l与相切于点， 又的斜率为，，故， 解得，此时，所以的最大值为.故选：D． 34. （26广东茂名一模）已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 【详解】易知，因此1是函数的一个零点， 当时，令，可得； 令， 显然此时； 所以函数关于对称，若要函数有3个零点， 则须满足方程有两个实数根，即函数与有两个交点，且两交点关于对称，又，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时，的最小值为. 35. （26山东济南一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【详解】任意的，都有，则有在上恒成立， 令，函数定义域为，，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使，令，，令，解得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为.故选：C 36. （26山东济南一模）已知函数的图象上存在不同的两点关于轴对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】设函数图象上关于轴对称的两点分别为， 因为这两点都在函数的图象上，所以有， 两式相减得：， 整理并化简得：，即， 因为，所以，即，令，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以，所以， 故选：D 37. （26山东枣庄一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 【详解】根据题意知，，所以可知为奇函数， 而单调递增，单调递减，即单调递增，所以单调递增， 而恒成立，则即恒成立， 所以可得恒成立，当，恒成立，所以符合条件； 当，恒成立，则需要且， 化简可得，综上所述.故答案为： 38. （26山东枣庄一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【详解】因为，即，设消除的污染物大约需要， 由题意可得，即，取对数可得， 两式相比可得，则， 所以要消除的污染物大约需要.故选：C. 39. （26山东威海一模）已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【详解】由可知函数的一条对称轴为直线， 由，可知函数一个对称中心为，故函数的一个周期为. 对于，取，可得，解得， 又由，取，可得，故C正确. 由函数的周期性和对称性，可得，根据题设条件无法推得其它三个选项的正误.故选：C. 40. （26山东潍坊一模）下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【详解】对A：，值域不，故A错误； 对B：令，则， ，故是偶函数，且的值域为，故B正确； 对C：不是偶函数，故C错误；对D：，值域不为，故D错误.故选：B. 41. （26山东泰安一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（ ） A. B. C. D. 【详解】设方程的四个实根，，，， 可得方程，即或，如图， 所以， 因为，，，成等差数列，所以，即， 可得，即.故选：A 42. （26山东泰安一模）函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 43. （26皖南八校）设函数，其中，若对任意恒成立，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【详解】令， 因为的零点为，，， 可知的零点为，，，的零点为，，， 又因为，则， 若，即，则， 可知的零点与的零点相同，则， 解得，.故选：B. 44. （26皖南八校）已知函数，下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【详解】因为，故的定义域为. 选项A：， ， ，所以不是偶函数，故A错误；选项B：，， ，所以不是偶函数，故B错误； 选项C：， ， ，所以为偶函数，故C正确； 选项D：， ， ，所以不是偶函数，故D错误.故选：C. 45. （26安徽滁州一模）已知函数，的零点分别是，则满足（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意可知，分别是，和的函数图象的交点的横坐标， 而和互为反函数，所以其函数图象关于对称， 因为和垂直，所以两个交点也关于对称， 联立、，得，故.故选：D 46. （26安徽淮北一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于直线对称 C. 3是的一个周期 D. 【详解】因为为偶函数，所以， 则，两边求导得，则， 由为偶函数，得，则， 由，， 得，则， 所以，则的周期为12， 由，令，得，即， 由，令，得， 由，令，得，即， 则， 所以，故D正确； 对于ABC，设，则， 而，则， 所以函数和均为偶函数，满足题意， 而，则的图象不关于直线对称，故A错误， 而，则的图象不关于直线对称，故B错误， 而的最小正周期为，故C错误.故选：D 47. （26安徽淮北一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【详解】，，排除选项BD， ，， 设，， 当时，即，，则在范围内是单调递增函数； 当时，即，，则在范围内是单调递减函数； 当时，，，在范围内是单调递增函数； 当时，在范围内是单调递增函数，， ，，使得， 当时，，，则在是单调递减函数； 当时，，，则在是单调递增函数；则选项A符合 48. （26安徽淮南一模）已知，若函数的图象存在对称中心，则__________． 【详解】由题可知，， 令，解得或，由题可知，，所以定义域为或， 因为函数的图象存在对称中心，所以对称中心横坐标为区间中点， 因为，即， 所以函数图象的对称中心为，则， ， ， 因为， 所以，因为， 所以对于定义域内任意都成立，所以，即， 49. （26安徽淮南一模）对于一个声强为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）．设声强为时的声强级为，声强为时的声强级为，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000 【详解】由题意可知，即，∴， ∴.故选：C. 50. （26安徽黄山一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【详解】由函数是上的奇函数，且， 在上单调递减， 可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减， 函数的图像如图所示，结合图像可得，不等式的解集为.故选：A. 51. （26安徽马鞍山一模）已知函数，且，则的值为__________. 详解】函数，当时，， 当时，，由，得，则，解得， 所以.故答案为： 52.（26安徽合肥一模） 已知函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值.故选：C 53. （26湖北孝感一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 【详解】根据题意可知，则可得，令，即，解之可得或， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增；所以可知，，所以.答案为： 54. （26湖北孝感一模-多选）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在函数，使得恒成立 B. 存在函数，使得恒成立 C. 存在函数，使得恒成立 D. 存在函数，使得恒成立 【详解】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为，因, 故为偶函数，为奇函数， 而为奇函数，为偶函数，故AD错误， 令，可得， ，故BC正确.故选：BC 55. （26湖北荆州一模-多选）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 【详解】当时，； 当时，，则； 当时，，则； 当或时，，作出函数的图象如下： 由图可知，函数的值域为，故A错误；函数在上单调递减，故B正确； 由于函数与有5个交点，则方程有5个不同的解，故C正确； 对于D，令，因为方程有10个不同的解， 所以方程有两个不相等的实数根，设，显然， 则这两个根分别在、内，有，解得，故D正确.故选：BCD 56. （26湖北荆州一模）已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】因为函数为偶函数，则不等式即为， 又因为函数在上是增函数，且，， 则，整理可得，解得或， 所以满足的x的取值范围是.故选：B. 57. （25湖北武汉二调-多选）已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增， 令，求导可得在上恒成立， 则在上单调递增，所以， 易知，使得，则，即， 当时，，则函数上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 所以，由，则， 当，即时，，故A错误，B可能正确； 当，即时，令，求导可得， 则函数在上单调递减. 由，,则存在，使得， 所以当时，此时符号不定，故CD可能正确.故选：BCD. 58. （25湖北武汉二调） 函数满足：，若，，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【详解】由题意可得：，用代替可得：， 两式相加得：.所以，所以函数是以6为周期的周期函数.所以.又，所以. 所以.所以.故选：D 59．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以故答案为： 60．（2025·安徽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，A，B均错误. ，C正确，D错误.故选：C 61．（2025·安徽·一模）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【详解】由题得， 所以，设等比数列的公比为，所以，则.故选：B 62．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【详解】因为与在上均为减函数，且当时，，所以，故的值域为. 63．（2025·安徽·一模）若函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵，∴， ∵且，∴，则，∵，∴，解得， 当时，，，不合题意，∴的取值范围是.选B. 64．（25安徽合肥一模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故，当时，，故， 当时，，故故排除D项； 当时，，故故排除B项，故选：A. 65．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】函数定义域为R，且， 故函数为偶函数，又在上，即在上单调递增， 因为，且， 所以，即.故选：D 66．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题得，所以即，所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故，所以 ，即函数是周期为6的函数，所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即， 所以， 所以， 所以，故D正确.故选：ACD 67．（2025·安徽·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．与的奇偶性相同 B．曲线关于直线对称 C．的最小正周期是最小正周期的2倍 D．在上单调递减 【详解】因为，，所以与均为偶函数，A正确. 因为，所以曲线关于直线对称，B正确. 因为，所以的最小正周期为， 又，所以的最小正周期不是，C错误 由，得， 所以在上单调递增，则在上单调递减，D正确.故选： 68．（2025·安徽黄山·一模）已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为是关于的方程的两个不等的实根， 所以，解得，且，由，， 所以，函数的图象关于点对称，则，且， 又对任意的，都有成立，所以在上单调递增，则该函数在上也为增函数，从而可知，函数在R上为增函数，由，可得， 解得，又，.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由函数的对称性得到，并结合函数单调性求解. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $