不等式的性质、一元二次不等式 课件-2026届高三数学一轮复习

第3节　不等式的性质、一元二次不等式 课前回顾 1.充分、必要条件的判定: 2.全称量词命题与存在量词命题 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 定义法、集合法 改写量词 否定结论 考情探究 命题规律与备考策略 本节内容在高考题中多作为载体考查其他知识，例如，结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用等.考题以低档题为主，主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分.复习时需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握. 1.掌握不等式的性质. 2.了解函数的零点与方程根的关系. 3.会解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系. 学习目标 1.两个实数大小比较的基本事实 a-b>0⇔a b(a,b∈R), a-b=0⇔a b(a,b∈R), a-b<0⇔a b(a,b∈R). 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 性质1(对称性) a>b⇔ . ⇔ 性质2(传递性) a>b,b>c⇒a>c ⇒ 性质3(可加性) a>b⇔a+c>b+c ⇔ > = < b<a ac>bc ac<bc a+c>b+d ac>bd>0 an>bn 拓展 Δ=b²-4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 (1) （<0) （<0)； (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分 (不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，再用上述方法求解． 分式不等式的解法 1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　 　) A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3} C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6} A D ABC 4.已知-1<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是　　 　　,3x+4y的取值范围是 　　　　.  (-7,0) (5,24) 不等式的性质及应用 D 典例分析 性质或特殊值法 D 作差法 性质 4.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-2y的取值范围是　　　　.  [2,8] 待定系数法（整体代换） 一元二次不等式的解法及应用 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. D BCD [例2] 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. 一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式在R上的恒成立问题 D 一元二次不等式在R上的恒成立问题 ①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立： ②一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立： ③一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立： ④一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立： [变式训练] 1.已知不等式x2+ax+4≥0的解集为R,则a的取值范围是(　　) A.[-4,4] B.(-4,4) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) A [例4] 若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-3] B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,1] 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 A 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 (1)最值转化法 若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0. 若f(x)<0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最大值小于0. (2)分离参数法 a≥f(x)恒成立⇒a≥f(x)max a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min 存在性（有解）问题 a≥f(x)有解⇒a≥f(x)min a≤f(x)有解⇒a≤f(x)max [变式训练] 2.若对任意的t∈[1,2],函数f(x)=t2x2-(t+1)x+a总有零点,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题 [例5] 若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立, 则x的取值范围是(　　) A.[-1,3] B.(-∞,-1] C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 变换主元法,即求谁的范围,谁就是参数 D 3.已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为(　　) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) [变式训练] C 课堂小结 1.不等式的基本性质 2.一元二次不等式的解集 3.一元二次不等式恒成立问题 大于取两边，小于取中间 在R上恒成立 在给定区间上恒成立 在给定参数范围上恒成立 性质4(可乘性) ⇒ 注意c 的符号 ⇒ 性质5 (同向可加性) ⇒ ⇒ 性质6 (同向同正可乘性) ⇒ ⇒ 性质7 (可乘方性) a>b>0⇒ (n∈N,n≥2) a,b同 为正数 性质8 (可开方性) a>b>0⇒ (n∈N,n≥2) a,b同 为正数 1.倒数性质 ①若ab>0,且a>b⇔< ②若a<0<b< 2.分数性质 若a>b>0,m>0，则 真分数性质：;（b-m>0） 假分数性质：;（b-m>0） 2.已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是(　 　) A.ln a<ln b B.> C.a2<b2 D.a3<b3 3.(多选题)设b>a>0,c∈R,则下列不等式正确的是(　 　) A.< B.> C.> D.ac3<bc3 1.(2022·江西上饶联考)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　 　) A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,则< C.若a>b>c>0,则< D.若a>b>c>0,则> (-2,- ) 2.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4,且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(　 　) A.y>x≥z B.z≥x>y C.y>z≥x D.z≥y>x 3.已知a∈(-3,-2),b∈(2,4),则的取值范围是　　　　.  [例1] 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-},求不等式ax2-bx+c>0的解集. [变式训练] 1.不等式-3<4x-4x2≤0的解集为(　　) A.{x|-<x<} B.{x|-<x≤0或1≤x≤} C.{x|1≤x<} D.{x|-<x≤0或1≤x<} 2.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.bx-c>0的解集是{x|x>} C.cx2+ax-b>0的解集是{x|x<-或x>1} D.a+b<c [例3] 若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(　　) A.(-3,0) B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0] (-∞,] $