1.4 线段的垂直平分线 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 4 线段的垂直平分线（第2课时） 一、学习任务分析 本节课是北师大版初中数学八年级（下册）第一章“三角形的证明及其应用”的第4节第2课时。本节课作为上一节课的延伸，实质上是一节应用课，旨在通过应用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决相关问题。主要任务包括：已知底边及底边上的高用尺规作等腰三角形；探索用尺规过一点作已知直线的垂线的方法；证明“三角形三条边的垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等”。本节课不仅进一步发展学生的推理能力，也对学生的几何直观提出了更高要求，在问题解决的过程中，还需要借助分类、转化、类比等数学思想方法。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在七年级下册已经学习了“图形的轴对称”，并在前一课时严谨地证明和掌握了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能应用其进行简单的计算与证明。同时，学生通过回顾用尺规作线段垂直平分线的具体步骤，能基本熟练完成作图，并能说明其依据。 学生活动经验基础：在尺规作图方面，学生积累了较丰富的活动经验。从“作一个角等于已知角”“作线段的垂直平分线”“作角平分线”到“作符合条件的三角形”，学生已具备将符号语言转化为图形语言的能力，并积累了提炼作图步骤、说明作图依据的相关活动经验，这为本节课突破难点奠定了重要的基础。此外，在以往的数学学习中，学生已多次参与合作学习，具备了一定的合作学习经验与合作交流能力。 三、教学目标 1.经历思考和尝试作图的过程，已知底边及底边上的高，能用尺规作等腰三角形；通过经历学习和探索过直线外一点作已知直线垂线的过程，感悟分类、转化、类比等数学思想，进一步发展推理能力与几何直观。 2.通过解决三角形中的证明与角度计算等问题，能综合应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，提炼相关结论，进一步发展应用意识和有条理地表达的能力。 3.通过运用思维导图进行反思梳理，在交流收获的过程中，准确提炼所学的基础知识与基本技能，完善结构化认知，积累几何学习的相关活动经验。 四、教学过程设计 【第一环节】情境引入，提出问题 1.活动内容 （1）说一说线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 （2）如何用尺规作线段的垂直平分线？依据是什么？ （3）关于线段的垂直平分线，你还记得哪些应用或结论？ 2.活动目的 以问题为导向，带领学生回顾线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，用尺规作线段垂直平分线的作法及依据，为本课的学习做好铺垫，激发学生持续探究的积极性与主动性。 3.注意事项 在回顾线段垂直平分线的性质定理及其逆定理时，应给予学生充分的表达空间，引导其用文字语言、图形语言及符号语言多角度描述定理，以促进其对定理的全方位的理解。在回顾尺规作线段的垂直平分线时，重点让学生动手操作，教师巡视并给予个性化指导，确保学生能掌握基本作法，为本节课的深入探究储备基础技能。对于问题（3）“你还记得哪些应用或结论”，目标不在于穷尽所有答案，而是基于不同学生的认知层次，起到抛砖引玉的作用，让学生感受到知识应用的魅力，从而激发学生持续探究的积极性与主动性。 【第二环节（一）】活动探究，形成结论 探究1 已知三角形的一边及这条边上的高，作三角形。 1.活动内容 尝试·交流 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？图1 已知：如图1，线段a，h。 求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h。 结论：因高的位置不确定，可画无数个。 （2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能画出满足条件的等腰三角形吗？能画几个？ 已知：如图1，线段a，h。 求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h。 结论：因高的位置确定，可画两个，且全等。 （等腰三角形底边上的高必在其底边的垂直平分线上） （3）对于（2），你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？ 已知：如图1，线段a，h。 用尺规求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h。 梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。 作法 图形 1.作线段BC，使BC＝a。 2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D。 3.在l上截取DA＝h。 4.连接AB，AC。 △ABC就是所要作的等腰三角形。 2.活动目的 本环节以问题串的形式引导学生逐步思考、作图尝试，最终掌握用尺规作“已知底边和底边上的高的等腰三角形”的技能。问题（1）揭示：对于一般三角形，已知一条边及这条边上的高并不能唯一确定三角形，因为高的位置具有不确定性；问题（2）将条件特殊化为等腰三角形，此时作出的三角形是确定的，原因在于等腰三角形底边上的高的位置确定（位于底边的垂直平分线上），这亦和本节课主题形成关联；问题（3）则进一步引导学生动手尝试，运用尺规完成问题（2）中的作图任务。三个问题对应三个操作步骤，层层递进，作图方法在操作过程中自然生成。 3.注意事项 本环节表面上包含3个问题，实则是3次逐步深入的作图与思考活动。在教学处理上可以采用两种不同的方案：方案一，3个问题按顺序依次给出，待学生解决前一个问题后再呈现下一个问题。该方式有助于明确每个问题的指向，并在解决前一个问题时获得后续问题解决的关键性思考。方案二，将3个问题同时给出，让学生在自主思考和小组交流中厘清问题间的不同点及关联点，自主探索解决问题的方法。前者属于搭梯式引导，适合多数学生。后者是直接整体呈现问题的形式，更具开放性、挑战性，适合思维较为活跃的学生群体。但无论选择哪种方案，教师都应给予学生较充足的思考与操作时间；在必要的时候，可引导学生通过同伴交流、小组研讨的方式突破难点。教师不能过早干涉，而应充分相信学生有解决该问题的能力，并为学生提供充分展示和表达的机会。 【第二环节（二）】活动探究，形成结论 探究2 作垂线。 1.活动内容 思考·交流 还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点P在直线l外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。 梳理上述作图过程，请你总结出“过直线外一点，用尺规作已知直线的垂线”的方法和步骤。 活动主题：用尺规过一点P作已知直线l的垂线m。 ①如图2，点P在直线l上（已知） ②如图3，点P在直线l外（未知） 图3 图2 作法 图形 1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁。 2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B。 3.作线段AB的垂直平分线m。 直线m就是所要作的直线。 2.活动目的 本环节旨在学习用尺规过一点作已知直线的垂线。学生此前已掌握“用尺规过直线上一点作已知直线的垂线”的技能。此处的回顾设计在于唤醒并深化学生对“转化”思想的理解，即将作垂线问题转化为作线段垂直平分线问题，同时也为后续新问题（过直线外一点如何作已知直线的垂线）的解决提供思路和启发。分类、转化、类比三大数学思想方法，正是串联旧知识、破解新问题的核心钥匙。这一过程中，既要鼓励学生自主思考，又需要通过小组的合作研讨来促进深度学习。 3.注意事项 本环节分为两个阶段进行突破：其一为学习阶段，渗透于回顾“用尺规过直线上一点作已知直线的垂线”的过程中。在这个阶段，教师应通过追问“为什么这样做？依据是什么？”引导学生体会转化思想，理解“可借助作线段的垂直平分线来实现作直线的垂线”这一重要策略。其二为类比迁移阶段，落脚于挑战“用尺规过直线外一点作已知直线的垂线”的实践任务上。在这个阶段，教师应鼓励小组合作研讨，找准转化的核心要点，并提炼规范的作图步骤。在这一学习过程中，教师应允许学生进行多样化的尝试，表达差异化的思路，直至学生达到“想得通、说得清、作得好”的掌握水平。 【第三环节】策略迁移，解决问题图4 1.活动内容 随堂练习 尺规作图：如图4，已知△ABC，作BC边上的高AD。 图5 例2 已知：如图5，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E。 求证：边AC的垂直平分线经过点P。 证明：如图6，连接PA，PB，PC。 ∵点P在边AB的垂直平分线上，图6 ∴PA＝PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）。 同理，PB＝PC。 ∴PA＝PB＝PC。 ∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）， 即边AC的垂直平分线经过点P。图7 练习 如图7，O是线段AB的垂直平分线OD与线段AC的垂直平分线OE的交点，连接OC。 （1）若∠A＝60°，则∠OCB的度数为 ； （2）请直接写出∠A与∠OCB的数量关系。 2.活动目的 对本节知识进行巩固练习。其中随堂练习侧重于运用尺规作三角形的高线（即过直线外一点作已知直线的垂线），例2则聚焦于线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的综合应用。 3.注意事项 随堂练习要求学生独立完成作图，教师应及时查看和评价，收集并分析全班作图中出现的共性问题，进行针对性讲解，确保学生真正掌握作图技能。对于例2，先让学生自主思考并尝试书写解答过程，再对照教材规范解答进行反思，总结亮点或不足。最后，教师引导学生对例2所研究的问题进行文字语言的提炼，即“三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等”。结合学情，教师可以适当拓展“外心”的相关知识。练习题是对该结论的应用与再探究，从第（1）题到第（2）题，体现了从特殊到一般的数学思想方法。第（2）题对学生有一定的挑战性，可作为课堂分层教学的设计内容。教师在此问题中可对部分学生采用延迟评价，给予他们更充分的思考与探索空间。 【第四环节】课堂小结 1.活动内容 在本节课的学习中，你收获了什么？还想到了什么？ 2.活动目的 鼓励学生结合本节课的学习，畅谈自己的收获。围绕线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用，重点交流“用尺规能作什么？”“怎么做？”“为什么？”等内容，以此巩固作图技能及相关结论，并深入感悟分类、转化、类比等数学思想方法。 3.注意事项 鼓励学生畅谈自己的切身感受与实际收获，在倾听学生分享时，注意关注学生语言表达的准确性和规范性，适时给予学法建议或个性化指导。同时，可通过适当的追问，引导学生系统回顾整堂课学习的脉络，建立整体性、结构化的认知。课后，可进一步指导学生完善本章结构框架，梳理所学知识、方法及相关活动经验，为后续的学习做好铺垫。 【第五环节】布置作业 1.活动内容 <必做题——基础夯实> （1）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 （2）如图8，点D是AC边的垂直平分线与BC边的交点，作DE⊥AB于点E，若 ∠BAC＝68°，∠C＝36°，则∠ADE的度数为（ ） A.56° B.58° C.60° D.62° 图8 图9 （3）在以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们顶角顶点位置的共同特征是 。 （4）如图9，已知O为△ABC三条边垂直平分线的交点，且∠A＝52°，则∠BOC的度数为__________。 图10 （5）如图10，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，完成下列尺规作图： ①作AC边上的高BD； ②作△ACE，使△ACE≌△ABD，且点E在AB边上。 （6）如图11，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F。图11 ①若BC＝2，求△AEF的周长； ②若∠BAC＝α，则∠EAF＝ 。（用含α的代数式表示） <选做题——综合提升> 图12 （7）如图12，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F。点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点。若BC＝4，△ABC的面积为15，则 MC＋MD的最小值为_________。 （8）如图13，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇中心A为出发点设计了三种连接方案： ①AB＋BC； ②AD＋BC（D为BC的中点）； ③OA＋OB＋OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）。 要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ （1） （2） （3） 图13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 4 线段的垂直平分线（第1课时） 一、学习任务分析 本节课是北师大版初中数学八年级（下册）第一章“三角形的证明及其应用”的第1节第1课时。这一内容属于“图形与几何”领域，是继“平行线的证明”之后再次聚焦三角形相关证明的学习。教材首先引导学生回顾七年级探索线段垂直平分线性质定理的过程，进而对这一定理进行严格的证明。接着，通过对性质定理的逆向思考与追问，进一步探索并证明线段垂直平分线性质定理的逆定理。最后，通过例题中的计算和证明，帮助学生巩固对线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解与应用。这一教学过程实现了从合情推理向演绎推理的过渡，对学生的几何直观与逻辑推理能力提出了更高的要求。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在七年级下册已经学习过“图形的轴对称”，初步认识了线段的垂直平分线，了解其定义与基本性质，并能进行简单的计算与证明。此后，通过对平行线证明的学习，学生基本掌握了演绎推理的方法与综合法证明的格式，具备了进行命题证明所需的基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索—发现—猜想—证明”的过程，认识到合情推理与演绎推理在获得结论过程中的不同作用，积累了必要的数学活动经验。同时，在以前的数学学习中学生经历了多次合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验与合作交流的能力。 三、教学目标 1.经历线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的探索与证明过程，准确理解定理的条件和结论，能用文字、图形和符号语言准确表达定理，进一步发展推理能力，感悟分类、类比的思想方法。 2.通过角度计算与几何证明等问题的解决，能综合应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决问题，进一步发展应用意识，培养有条理的表达能力。 3.借助思维导图等工具进行反思梳理，在交流收获的过程中，准确提炼所学的基础知识与基本技能，完善结构化认知，体会几何学习的路径和方法。 教学重点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明过程与灵活应用。 教学难点：根据命题的条件与结论，规范完成画图、写已知和求证，并进行严格证明。 四、教学过程设计 【第一环节】情境引入，提出问题 1.活动内容 活动：折纸。 准备：如图1，一张三角形纸片ABC。 操作：如图2，折叠纸片，使点A与点B重合，折痕l与线段AC，AB分别交于点D，E。 发现：折痕l与线段AB有怎样的位置关系？折痕l上任意一点P到A，B两点间的距离有什么特征？图1 图2 结论：折痕l垂直平分线段AB。折痕l上任意一点P到A，B两点间的距离相等。 2.活动目的 通过折纸活动，自然地引出线段的垂直平分线，进而唤起学生对线段垂直平分线性质定理的联想。这种活动方式能够生动地激活学生已有的知识记忆，激发学生持续探究的积极性和主动性。 3.注意事项 在折纸活动中，教师应做好两方面引导。第一，鼓励每位学生动手操作、亲身体验，并尝试描述折痕l与线段AB之间的垂直平分关系，认识到l是线段AB的垂直平分线。在这个过程中，教师应注意判断学生的折纸方法是否合理、语言描述是否准确。第二，通过有效追问，促进学生的深度思考与多样性思考。例如，学生容易直观地得到PA＝PB，教师可追问：“如何证明这一结论？”学生可能通过取点、折叠重合等方式进行说明，也可能借助全等三角形知识进行严谨的推理。无论哪种表达，教师均应给予肯定，保护并鼓励学生持续思考的积极性。 【第二环节】活动探究，形成结论 1.活动内容 （1）证明线段垂直平分线的性质定理 已知：如图3，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点。 求证：PA＝PB。 证明：①如图3（1），当点P在线段AB上时，点P与点C重合，那么结论显然成立。 ②如图3（2），当点P在线段AB外时， ∵MN⊥AB，（2） （1） 图3 ∴∠PCA＝∠PCB＝90°。 ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS)。 ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)。 （2）理解线段垂直平分线的性质定理图4 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：如图4，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，且点P是直线MN上的任意一点(已知)，∴PA＝PB。 （3）证明线段垂直平分线性质定理的逆定理 尝试·思考 ①你能写出上面这个定理的逆命题吗？ ②它是真命题吗？请证明自己的结论。 ③与同伴交流结论及证明方法（画出图形，严谨推理）。 已知：点P是平面上任意一点，且PA＝PB。 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：图5 ①当点P在线段AB上时，如图5， ∵ PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上。图6 ②当点P为线段AB外一点时，如图6， 取线段AB的中点Q，连接PQ。 ∵点Q为线段AB的中点， ∴AQ＝BQ。 ∵PA＝PB，PQ＝PQ， ∴△PQA≌△PQB(SSS)。 ∴∠PQA＝∠PQB(全等三角形的对应角相等)。 ∵∠PQA＋∠PQB＝180°， ∴∠PQA＝∠PQB＝90°。 ∴PQ⊥AB。 因此，点P在线段AB的垂直平分线上。 （4）理解线段垂直平分线性质定理的逆定理 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：如图7，∵PA＝PB(已知)，图7 ∴点P在线段AB的垂直平分线上。 （5）到线段AB两个端点距离相等的点有多少个？这些点一定都在线段AB的垂直平分线上吗？ （6）根据上述定理，如何确定AB的垂直平分线？请尝试用尺规作图说明。 （1） （2） 图8 分析：我们用尺规作线段的垂直平分线时，采用的是图①这种方式，其中PA＝PB＝ QA＝QB。事实上，我们也可以采用图②这种方式，其中PA＝PB，QA＝QB。理由如下：若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上；若QA＝QB，则点Q在线段AB的垂直平分线上。连接PQ，则PQ是线段AB的垂直平分线。 2.活动目的 引导学生运用综合法对线段垂直平分线的性质定理进行证明。在学习定理的过程中，强调文字语言、符号语言及图形语言的表达，强化对定理条件与结论的辨析理解，为后续的应用做好铺垫。 3.注意事项 在证明线段垂直平分线的性质定理时，学生往往只考虑点P在线段AB外的情形，而忽略点P在线段AB上的特殊情况。因此，在教学性质定理时，教师应做好示范与引导，力求文字语言、符号语言及图形语言表达准确，同时指导学生做好笔记，为后续学习性质定理的逆定理提供清晰的思维模板。图9 【第三环节】策略迁移，解决问题 1.活动内容 （1）已知：如图9，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点。 求证：∠ECF＝∠EDF。图10 （2）如图10，折叠三角形纸片ABC，使点A与点B重合，折痕l与AC，AB分别交于点D，E。若AB＝AC，∠A＝α，则∠CBD＝ 。（用含α的代数式表示） 例1 已知：如图11，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC。图11 求证：直线AO垂直平分线段BC。 2.活动目的 对本节知识进行巩固练习。问题（1）与例1分别选自教材习题和例题，侧重线段垂直平分线性质定理及其逆定理的基础应用；问题（2）是对折纸活动的延续和追问，形成从操作感知到理性推证的完整闭环，旨在培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力。 3.注意事项 在实际授课中，建议在探究并证明性质定理后，直接进入问题（1）和问题（2）的应用环节。通过“证明—理解—应用”的连贯过程，增强学生的应用意识。这三道题目难度适中，教师应给予学生充足的思考和解答时间，并对解题的规范性提出明确要求。同时，可适时追问“还有其他证明方法吗？”，引导学生综合运用已学知识创造性地解决问题。例如，在问题（1）中，学生应用线段垂直平分线的性质定理得到EC＝ED，FC＝FD后，既可以通过全等三角形完成证明，又可以利用“等边对等角”突破难点。在例1中，既可以运用线段垂直平分线性质定理的逆定理直接证明，又可以通过全等三角形回归垂直平分线的定义进行证明。在鼓励一题多解的同时，还应引导学生主动比较不同解法的特点，反思方法的简洁性与适用性，逐步形成优选解法的意识。 【第四环节】课堂小结 1.活动内容 在本节课的学习中，你收获了什么？还想到了什么？ 2.活动目的 鼓励学生结合本节课的学习，畅谈自己的收获。围绕线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，重点交流“是什么”“怎么证”“如何用”等内容，掌握定理的文字语言、图形语言和符号语言三种表达形式，并体会其中蕴含的分类、类比等数学思想方法。 3.注意事项 鼓励学生畅谈自己的切身感受与实际收获，在倾听学生分享时，注意关注学生语言表达的准确性与规范性，适时给予学法建议或个性化指导。同时，可通过适当的追问，引导学生回顾整堂课的学习过程，建立对所学知识系统、立体的认知。课后，可进一步指导学生完善本章结构图，梳理所学知识、方法及相关活动经验，为后续的学习做好铺垫。 【第五环节】布置作业 1.活动内容 <必做题——基础夯实> （1）如图12，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝6，EC＝3，则BC的长是（ ）。 A. 9 B. 6 C. 4.5 D. 3 图12 图13 （2）如图13，已知△ABC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）。 A． B． C． D． （3）如图14，在△ABC中，已知AB＝27，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。 图14 图15 （4）如图15，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则 ∠EFC＝ 。 （5）如图16，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°。 ①用尺规作线段AB的垂直平分线，分别交AB和BC于点E，F； ②在上述图中连接AF，求∠AFC的度数。 图16 <选做题——综合提升> （6） 已知，如图17，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，△ABD是等边三角形，连接CD，交AB于点O，则CD的长度为_____________。 图17 图18 （7）如图18，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E。 ①求证：AE＝2CE； ②连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由。 <实践题——操作与探究> （8）如图19，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？ 图19 2.活动目的 学习线段垂直平分线的性质定理后，应及时让学生应用定理解决问题，以此深化对定理的理解。为满足个性化学习需求，课后作业设计为三个层次的任务，由学生根据自身情况自主选择。每位学生至少需完成其中的一档，也可以多选完成。 3.注意事项 课后作业应结合学生的课堂表现与实际学情进行针对性设计。 学科网（北京）股份有限公司 $