第20章 勾股定理 专题 利用勾股定理解决最短路径问题 专项训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

专题 利用勾股定理解决最短路径问题 详解详析 1.A 【解析】将圆柱体侧面沿A点所在直线展开如答案图，点A，B的最短距离为线段AB的长，由题意可得  ，BC＝12，∴AB的长为  ，则蚂蚁爬的最短路线长为13． 答案图 2.D 【解析】如答案图，沿AB剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为AC+A'C，由题意知AC＝A'C，AB＝8dm，BC＝8dm，∠B＝90°，由勾股定理，得AC （dm），∴A'C （dm），∴这只蚂蚁爬行的最小长度为 dm． 答案图 3.A 【解析】如答案图，底面圆周长为4πcm，底面半圆弧长为2πcm≈6cm，展开得BC＝6cm，AC＝6cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB 6 （cm）． 答案图 4.B 【解析】如答案图所示，因为油罐的半径是2 m，所以油罐的地面周长为4  =12m，又因为AB＝5 m，即展开图中BC=5m，所以AB2=AC2+BC2=122+52=132，所以AB=13m，所以梯子最短需要13米． 答案图 5.C 【解析】如答案图，作点 关于右侧管口的对称点 ，连接 ，由题意得 4cm， 13cm， 3cm，∴ cm，∵钢管横截面的周长为10cm，∴ 5cm，在 中，由勾股定理得MN12 2，∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是13cm． 答案图 6.15 【解析】如答案图，作出点A关于CD的对称点A′，∵圆柱盒高为8cm，点A距离下底面3cm，∴AC＝5cm，∴A′C＝5cm．∵点B是对侧中点，∴BD＝CF＝4cm，∴A′F＝A′C+CF＝5+4＝9（cm）．∵底面圆的周长为24cm，∴BF 24＝12cm，∴BA'  15（cm）． 答案图 7.13 【解析】如答案图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，由题意得A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12(cm)，所以A′B  13(cm). 答案图 8.20 【解析】根据题意，得把圆柱体的侧面展开后是长方形，如答案图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在华表柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，∵底面周长约为  米，柱身高约  米，  米，  (米)，  (米)，故雕刻在华表柱上的巨龙至少为  (米)， 答案图 9.10 10.A 【解析】如答案图①，∵AB＝9，BC＝6，BF＝5，点N为FG的中点，∴BM＝9－3＝6，BN＝5+3＝8，∴ ；如答案图②，∵AB＝9，BC＝GF＝6，BF＝5，∴PM＝9－3+3＝9，NP＝5，∴ ，∵ ，∴它需要爬行的最短路程为10． 11.C 【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图①，∵长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD=CD+BC=15+5=20cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB 10 cm；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图②，在Rt△ABE中，根据勾股定理得AB 15 cm；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图③，在Rt△ABC中，根据勾股定理得∴AB 5  cm；∵15 10 5  ，∴蚂蚁爬行的最短距离是15 cm． 12.A 【解析】根据图上数据，展开图如解图所示，根据勾股定理可得AB2＝602＋(60＋20)2＝10000，所以AB＝100(cm)． 　 解图 13.D 【解析】如答案图①，把上面展开到左侧面上，连接  ，  ；如答案图②，把上面展开到正面上，连接  ，  ；如答案图③，把侧面展开到正面上，连接  ，  ；∵  ，∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为  ． 答案图 14.25 【解析】如答案图①AB  25；如答案图②AB  5  ；如答案图③，AB  5  ，所以需要爬行的最短距离是25.            答案图①                答案图②      答案图③ 15.5 【解析】由题意知盒子底面对角长的平方为62+82=100，盒子的对角线长的平方为100+152=325＜252，故细木棒露在盒外面的最短长度的平方为202﹣325＝75(cm2). 16. 【解析】设定字母如答案图①所示：①如答案图②，展开正面和右面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ABM中，由勾股定理得，AB  (cm)；②如答案图③，展开正面和上面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ADB中，由勾股定理得，AB  3  (cm)；③如答案图④，展开底面和右面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ANB中，由勾股定理得，AB  (cm)．∵  ，∴蚂蚁爬行的最短路程是  cm． 答案图 17.10 【解析】将长方体展开，如答案图，连接AB′，∵AA′＝1+3+1+3＝8cm，A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，AB′2 100，∴AB′=10cm. 答案图 18.解：如答案图把书架侧面展开， 连接A，B，则爬行最短距离为AB的长， 由图形可知：OA＝30+10＝40（cm）， OB＝40﹣10＝30（cm）， 在Rt△AOB中，AB2=402+302=502， 所以AB=50cm， 所以它爬行的最短距离为50cm． 答案图 19.解：如答案图，将长方体的侧面展开在同一平面内， ∵PA＝2×(8＋4)＝24(cm)，QA＝10 cm，∠A＝90°， ∴PQ＝ ＝26(cm)， ∵26÷1.5≈17.3，17.3＜20， ∴20s内蚂蚁能爬到Q点． 答案图 20.B 21.C 【解析】如答案图，它运动的最短路程AB  (cm). 答案图 22.C 【解析】如答案图，将正方体按如图方式展开，则最短路程为AB的长，由勾股定理，AB  ． 答案图 23.B 【解析】将为高为5m，坡面长为13m的楼梯，由勾股定理得楼梯的水平宽度的平方为132-52=122，所以水平宽度为12m，因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，所以地毯的长度至少是12+5＝17（m）． 24.D 【解析】将三棱柱沿AA′展开，其展开图如答案图，则根据勾股定理AA′2=92+122=152，所以AA′=15（cm）． 答案图 25.C 【解析】将其按如答案图侧面展开，作点C关于AB的对称点F，连接DF，因为中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，所以BC=πR=2.5π≈7.5m，AB=CD=20m，所以CF=15m，在Rt△CDF中，DF2=CF2+CD2=152+202=252，所以DF为25m，故他滑行的最短距离约为25m． 答案图 26. 【解析】∵正方体棱长为10，B是侧面正方形的对角线交点，如答案图，过点B作BC⊥AD于点C，∴点B到所在侧面相邻棱的距离  ，将包含A，B两点的两个相邻表面展开为平面长方形，∴  ，  ，在  中，根据勾股定理，得  ，根据“两点之间，线段最短”可知，从点A爬到点B的最短路径是  ． 答案图 27.5 【解析】如答案图①所示，将正方体正面和右面展开，连接AM，由题意可得，DM=CD＋CM=4，根据两点之间线段最短，在Rt△ADM中，  ；如答案图②所示，将正方体正面和上面展开，连接AM，由题意可得，AC=3＋3=6(cm)，根据两点之间线段最短，在Rt△ACM中，  ；∵5＜  ，∴一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为5． 答案图①                                         答案图② 28.13 【解析】如答案图，由题意可知，将木块展开，相当于是AB+1个等边三角形的边长，所以长为11+1＝12（m），宽为5cm，根据勾股定理得AC2=52+122=132，所以最短路径为13cm． 答案图 29.13 【解析】如答案图，将台阶展开，∵AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，∴在RT△ACB中，AB2＝AC2+BC2＝169，∴AB＝13(cm)，所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 30.解：（1）如答案图①，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段  就是蜘蛛走的最短路线， 由题意可得在  中，  ，  ，  ， ∴  ， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． 答案图① （2）设昆虫甲从顶点  沿棱  向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径  爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如答案图②，在  中， ∵长方体的棱长  ，  ， ∴  ，  ，  ，  ， ∴  ， 解得  ， 答：昆虫乙至少需要  s才能捕捉到昆虫甲． 答案图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 利用勾股定理解决最短路径问题 1、 解题核心思想 无论什么题型，思路只有三步： 1.化曲为直/化折为直：将立体图形的表面展开成平面。 2.连线：在展开图中，用直线连接起点和终点（即最短路径）。 3.计算：构造直角三角形，利用勾股定理求出这条直线的长度。 2、 题型分类解析 1.圆柱题型 展开→矩形 📌 特点：路径沿侧面，从底部到顶部（或绕圈）。 🔍 常见模型：蚂蚁爬行、竖着绕一圈、绕n圈到达顶端。 ⚙️ 解法关键： 展开成长方形：长 = 底面周长 C，宽 = 高 h。 绕 n 圈 → 长 = n·C，高不变。 最短距离 = 2.长方体题型 长宽高 a,b,c 需比较 📌 特点：长、宽、高互不相等，表面路径多样。 ⚠️ 难点：展开方式不同 → 路径长度不同 → 必须比较三种情况。 🧩 顶点到最远顶点 (表面): ① 前面+上面： ② 前面+右面： ③ 左面+上面： 取最小值！（不能只算一种，必须逐一比较） 口诀：两边之和与一边，平方相加再开方，三种情况比大小。 3.正方体题型 棱长 a 📌 特点：所有棱长相等 (a)。 🔁 经典问题：顶点到相对顶点沿表面最短路径。 ⚙️ 展开两个相邻面 最短距离 = = = ·a 注意：经过两个面，不同展开方式结果相同。 4.其他题型 台阶 · 将军饮马 · 缠绕 台阶问题：展开为一个大长方形，对角线即最短。 将军饮马+勾股：对称变换后利用勾股求距离。 立体缠绕：圆柱上绕线 → 展开为平行四边形或矩形，用勾股算斜长。 台阶：总水平宽 L，总垂直高 H → 最短 将军饮马：作对称点，连线后勾股。 三、学习建议 · 核心六步 1.动手画展开图（最重要） 不要凭空想象，特别是长方体。一定要在旁边草稿纸上画出展开后的平面图。 标清楚：起点在哪里，终点在哪里，展开后起点和终点的坐标（即相对于长方形顶点的位置）。 2. 分清“表面路径”和“空间直线” 题目问的是沿着表面爬行，绝对不能直接走内部的“体对角线”（除非题目说可以穿洞）。一定要走面，所以必须展开。 3. 在长方体问题上建立“比较”意识 看到长宽高不同的长方体，脑子里要立刻反应过来：有三种可能。 计算的时候仔细一点，别把长宽高带错了。 4. 圆柱问题注意“圈数” 如果题目说“绕圆柱 n 圈到达顶部”，这意味着展开图不是一个长方形的高 ℎ h，而是把高分成 n 份，或者把底面周长乘以 n。 理解：绕 n 圈，相当于在展开图上，横向走了 n 个周长，纵向走了 ℎ h。 5. 归纳错题 如果你经常在某种题型上出错（比如总是只算一种情况的长方体），把那种题的解题步骤背下来：先画图，再列式，再比较。 6. 逆向思维训练 有时候题目会给最短路径的长度，反求棱长或高。这时候可以设未知数，利用勾股定理列方程。 1.如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（          ） A．13 B. C．15 D．10 1.A 【解析】将圆柱体侧面沿A点所在直线展开如答案图，点A，B的最短距离为线段AB的长，由题意可得  ，BC＝12，∴AB的长为  ，则蚂蚁爬的最短路线长为13． 答案图 2.如图，圆柱底面的周长为16dm，圆柱高为8dm，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（      ） A．20dm B．10 dm C．24dm D．16 dm 2.D 【解析】如答案图，沿AB剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为AC+A'C，由题意知AC＝A'C，AB＝8dm，BC＝8dm，∠B＝90°，由勾股定理，得AC （dm），∴A'C （dm），∴这只蚂蚁爬行的最小长度为 dm． 答案图 3.如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（      ） A．6 cm B．6 cm C．2 cm D．10cm 3.A 【解析】如答案图，底面圆周长为4πcm，底面半圆弧长为2πcm≈6cm，展开得BC＝6cm，AC＝6cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB 6 （cm）． 答案图 4.如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，要从A点环绕油罐建梯子，正好到达A的正上方的B点，则梯子最短需要（  取3）（          ） A.12 m B.13 m C.17 m D.20 m 4.B 【解析】如答案图所示，因为油罐的半径是2 m，所以油罐的地面周长为4  =12m，又因为AB＝5 m，即展开图中BC=5m，所以AB2=AC2+BC2=122+52=132，所以AB=13m，所以梯子最短需要13米． 答案图 5.如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口4cm的点 处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口3cm的点 处觅食，已知钢管横截面的周长为10cm，长为13cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是 （      ） A． B． C． D． 5.C 【解析】如答案图，作点 关于右侧管口的对称点 ，连接 ，由题意得 4cm， 13cm， 3cm，∴ cm，∵钢管横截面的周长为10cm，∴ 5cm，在 中，由勾股定理得MN12 2，∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是13cm． 答案图 6.如图，一个没有上盖的圆柱盒高为8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处吃东西．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长为______cm． 6.15 【解析】如答案图，作出点A关于CD的对称点A′，∵圆柱盒高为8cm，点A距离下底面3cm，∴AC＝5cm，∴A′C＝5cm．∵点B是对侧中点，∴BD＝CF＝4cm，∴A′F＝A′C+CF＝5+4＝9（cm）．∵底面圆的周长为24cm，∴BF 24＝12cm，∴BA'  15（cm）． 答案图 7.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是             cm. 7.13 【解析】如答案图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，由题意得A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12(cm)，所以A′B  13(cm). 答案图 8.如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为            米． 8.20 【解析】根据题意，得把圆柱体的侧面展开后是长方形，如答案图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在华表柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，∵底面周长约为  米，柱身高约  米，  米，  (米)，  (米)，故雕刻在华表柱上的巨龙至少为  (米)， 答案图 9.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为            cm.(杯壁厚度不计) 9.10 10.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（      ） A．10 B． C. D．9 10.A 【解析】如答案图①，∵AB＝9，BC＝6，BF＝5，点N为FG的中点，∴BM＝9－3＝6，BN＝5+3＝8，∴ ；如答案图②，∵AB＝9，BC＝GF＝6，BF＝5，∴PM＝9－3+3＝9，NP＝5，∴ ，∵ ，∴它需要爬行的最短路程为10． 11.如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（      ） A． B．20 C． D． 11.C 【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图①，∵长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD=CD+BC=15+5=20cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB 10 cm；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图②，在Rt△ABE中，根据勾股定理得AB 15 cm；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图③，在Rt△ABC中，根据勾股定理得∴AB 5  cm；∵15 10 5  ，∴蚂蚁爬行的最短距离是15 cm． 12.如图是两个靠在一起的长方体，若一只蚂蚁从顶点A处沿表面爬到顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为(　　) A.100cm  B.120cm  C.140cm  D.160cm 12.A 【解析】根据图上数据，展开图如解图所示，根据勾股定理可得AB2＝602＋(60＋20)2＝10000，所以AB＝100(cm)． 　 解图 13.如图，长方体的长为  ，宽为  ，高为  ，点  离点  为  ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点  去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（      ） A. B. C. D. 13.D 【解析】如答案图①，把上面展开到左侧面上，连接  ，  ；如答案图②，把上面展开到正面上，连接  ，  ；如答案图③，把侧面展开到正面上，连接  ，  ；∵  ，∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为  ． 答案图 14.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是             . 14.25 【解析】如答案图①AB  25；如答案图②AB  5  ；如答案图③，AB  5  ，所以需要爬行的最短距离是25.            答案图①                答案图②      答案图③ 15.如图，将一根20cm长的细木棒放入长，宽，高分别为8cm，6cm和15cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度的平方是            cm2. 15.5 【解析】由题意知盒子底面对角长的平方为62+82=100，盒子的对角线长的平方为100+152=325＜252，故细木棒露在盒外面的最短长度的平方为202﹣325＝75(cm2). 16.如图，一长方体盒子长，宽，高分别为3cm，2cm，4cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒子表面爬到盒顶的点B处，蚂蚁要爬的最短路程是            cm． 16. 【解析】设定字母如答案图①所示：①如答案图②，展开正面和右面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ABM中，由勾股定理得，AB  (cm)；②如答案图③，展开正面和上面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ADB中，由勾股定理得，AB  3  (cm)；③如答案图④，展开底面和右面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ANB中，由勾股定理得，AB  (cm)．∵  ，∴蚂蚁爬行的最短路程是  cm． 答案图 17.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm． 17.10 【解析】将长方体展开，如答案图，连接AB′，∵AA′＝1+3+1+3＝8cm，A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，AB′2 100，∴AB′=10cm. 答案图 18.如图，一只蚂蚁从棱长为3cm的正方体纸盒的顶点A处沿纸盒表面爬到点B处，已知BC＝1cm，则蚂蚁爬行的最短距离是(　　) A.2 cm B.5 cm C. cm D.7cm 18.B 19.包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图①，创意DIY小组的同学将一个10cm×30cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图②所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，求出它爬行的最短距离． 19.解：如答案图把书架侧面展开， 连接A，B，则爬行最短距离为AB的长， 由图形可知：OA＝30+10＝40（cm）， OB＝40﹣10＝30（cm）， 在Rt△AOB中，AB2=402+302=502， 所以AB=50cm， 所以它爬行的最短距离为50cm． 答案图 20.如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，若蚂蚁的爬行速度为1.5cm/s，20s内蚂蚁能否爬到Q点？ 20.解：如答案图，将长方体的侧面展开在同一平面内， ∵PA＝2×(8＋4)＝24(cm)，QA＝10 cm，∠A＝90°， ∴PQ＝ ＝26(cm)， ∵26÷1.5≈17.3，17.3＜20， ∴20s内蚂蚁能爬到Q点． 答案图 21.如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（         ） A. cm B.4cm C. cm D.5cm 21.C 【解析】如答案图，它运动的最短路程AB  (cm). 答案图 22.如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（         ） A．3 B. C. D．4 22.C 【解析】如答案图，将正方体按如图方式展开，则最短路程为AB的长，由勾股定理，AB  ． 答案图 23.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（           ） A．13m B．17m C．18m D．26m 23.B 【解析】将为高为5m，坡面长为13m的楼梯，由勾股定理得楼梯的水平宽度的平方为132-52=122，所以水平宽度为12m，因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，所以地毯的长度至少是12+5＝17（m）． 24.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（            ） A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm 24.D 【解析】将三棱柱沿AA′展开，其展开图如答案图，则根据勾股定理AA′2=92+122=152，所以AA′=15（cm）． 答案图 25.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB=CD=20m.小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（           ）（π取3）m． A．30 B．28 C．25 D．22 25.C 【解析】将其按如答案图侧面展开，作点C关于AB的对称点F，连接DF，因为中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，所以BC=πR=2.5π≈7.5m，AB=CD=20m，所以CF=15m，在Rt△CDF中，DF2=CF2+CD2=152+202=252，所以DF为25m，故他滑行的最短距离约为25m． 答案图 26.如图，正方体的棱长为10，点A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是______． 26. 【解析】∵正方体棱长为10，B是侧面正方形的对角线交点，如答案图，过点B作BC⊥AD于点C，∴点B到所在侧面相邻棱的距离  ，将包含A，B两点的两个相邻表面展开为平面长方形，∴  ，  ，在  中，根据勾股定理，得  ，根据“两点之间，线段最短”可知，从点A爬到点B的最短路径是  ． 答案图 27.正方体盒子的棱长为3，M是棱BC上一点，且CM＝1，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为             ． 27.5 【解析】如答案图①所示，将正方体正面和右面展开，连接AM，由题意可得，DM=CD＋CM=4，根据两点之间线段最短，在Rt△ADM中，  ；如答案图②所示，将正方体正面和上面展开，连接AM，由题意可得，AC=3＋3=6(cm)，根据两点之间线段最短，在Rt△ACM中，  ；∵5＜  ，∴一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为5． 答案图①                                         答案图② 28.在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是            cm．  28.13 【解析】如答案图，由题意可知，将木块展开，相当于是AB+1个等边三角形的边长，所以长为11+1＝12（m），宽为5cm，根据勾股定理得AC2=52+122=132，所以最短路径为13cm． 答案图 29.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短路线长度是______cm． 29.13 【解析】如答案图，将台阶展开，∵AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，∴在RT△ACB中，AB2＝AC2+BC2＝169，∴AB＝13(cm)，所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 答案图 30.【阅读材料】 如图①，有一个圆柱，它的高为  ，底面圆的周长为  ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图②，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段  的长． 【方法应用】 （1）如图③，圆柱形玻璃容器的高为  ，底面周长为  ，在外侧距下底  的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处  的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图④，长方体的棱长  ，  ，假设昆虫甲从盒内顶点  开始以  的速度在盒子的内部沿棱  向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 30.解：（1）如答案图①，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段  就是蜘蛛走的最短路线， 由题意可得在  中，  ，  ，  ， ∴  ， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． 答案图① （2）设昆虫甲从顶点  沿棱  向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径  爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如答案图②，在  中， ∵长方体的棱长  ，  ， ∴  ，  ，  ，  ， ∴  ， 解得  ， 答：昆虫乙至少需要  s才能捕捉到昆虫甲． 答案图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 利用勾股定理解决最短路径问题 1、 解题核心思想 无论什么题型，思路只有三步： 1.化曲为直/化折为直：将立体图形的表面展开成平面。 2.连线：在展开图中，用直线连接起点和终点（即最短路径）。 3.计算：构造直角三角形，利用勾股定理求出这条直线的长度。 2、 题型分类解析 1.圆柱题型 展开→矩形 📌 特点：路径沿侧面，从底部到顶部（或绕圈）。 🔍 常见模型：蚂蚁爬行、竖着绕一圈、绕n圈到达顶端。 ⚙️ 解法关键： 展开成长方形：长 = 底面周长 C，宽 = 高 h。 绕 n 圈 → 长 = n·C，高不变。 最短距离 = 2.长方体题型 长宽高 a,b,c 需比较 📌 特点：长、宽、高互不相等，表面路径多样。 ⚠️ 难点：展开方式不同 → 路径长度不同 → 必须比较三种情况。 🧩 顶点到最远顶点 (表面): ① 前面+上面： ② 前面+右面： ③ 左面+上面： 取最小值！（不能只算一种，必须逐一比较） 口诀：两边之和与一边，平方相加再开方，三种情况比大小。 3.正方体题型 棱长 a 📌 特点：所有棱长相等 (a)。 🔁 经典问题：顶点到相对顶点沿表面最短路径。 ⚙️ 展开两个相邻面 最短距离 = = = ·a 注意：经过两个面，不同展开方式结果相同。 4.其他题型 台阶 · 将军饮马 · 缠绕 台阶问题：展开为一个大长方形，对角线即最短。 将军饮马+勾股：对称变换后利用勾股求距离。 立体缠绕：圆柱上绕线 → 展开为平行四边形或矩形，用勾股算斜长。 台阶：总水平宽 L，总垂直高 H → 最短 将军饮马：作对称点，连线后勾股。 三、学习建议 · 核心六步 1.动手画展开图（最重要） 不要凭空想象，特别是长方体。一定要在旁边草稿纸上画出展开后的平面图。 标清楚：起点在哪里，终点在哪里，展开后起点和终点的坐标（即相对于长方形顶点的位置）。 2. 分清“表面路径”和“空间直线” 题目问的是沿着表面爬行，绝对不能直接走内部的“体对角线”（除非题目说可以穿洞）。一定要走面，所以必须展开。 3. 在长方体问题上建立“比较”意识 看到长宽高不同的长方体，脑子里要立刻反应过来：有三种可能。 计算的时候仔细一点，别把长宽高带错了。 4. 圆柱问题注意“圈数” 如果题目说“绕圆柱 n 圈到达顶部”，这意味着展开图不是一个长方形的高 ℎ h，而是把高分成 n 份，或者把底面周长乘以 n。 理解：绕 n 圈，相当于在展开图上，横向走了 n 个周长，纵向走了 ℎ h。 5. 归纳错题 如果你经常在某种题型上出错（比如总是只算一种情况的长方体），把那种题的解题步骤背下来：先画图，再列式，再比较。 6. 逆向思维训练 有时候题目会给最短路径的长度，反求棱长或高。这时候可以设未知数，利用勾股定理列方程。 题型一、圆柱体与勾股定理问题 1.如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（          ） A．13 B. C．15 D．10 2.如图，圆柱底面的周长为16dm，圆柱高为8dm，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（      ） A．20dm B．10 dm C．24dm D．16 dm 3.如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（      ） A．6 cm B．6 cm C．2 cm D．10cm 4.如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，要从A点环绕油罐建梯子，正好到达A的正上方的B点，则梯子最短需要（  取3）（          ） A.12 m B.13 m C.17 m D.20 m 5.如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口4cm的点 处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口3cm的点 处觅食，已知钢管横截面的周长为10cm，长为13cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是 （      ） A． B． C． D． 6.如图，一个没有上盖的圆柱盒高为8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处吃东西．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长为______cm． 7.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是             cm. 8.如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为            米． 9.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为            cm.(杯壁厚度不计) 题型二、长方体与勾股定理问题 10.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（      ） A．10 B． C. D．9 11.如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（      ） A． B．20 C． D． 12.如图是两个靠在一起的长方体，若一只蚂蚁从顶点A处沿表面爬到顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为(　　) A.100cm  B.120cm  C.140cm  D.160cm 13.如图，长方体的长为  ，宽为  ，高为  ，点  离点  为  ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点  去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（      ） A. B. C. D. 14.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是             . 15.如图，将一根20cm长的细木棒放入长，宽，高分别为8cm，6cm和15cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度的平方是            cm2. 16.如图，一长方体盒子长，宽，高分别为3cm，2cm，4cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒子表面爬到盒顶的点B处，蚂蚁要爬的最短路程是            cm． 17.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm． 18.包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图①，创意DIY小组的同学将一个10cm×30cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图②所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，求出它爬行的最短距离． 19.如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，若蚂蚁的爬行速度为1.5cm/s，20s内蚂蚁能否爬到Q点？ 题型三、正方体与勾股定理问题 20.如图，一只蚂蚁从棱长为3cm的正方体纸盒的顶点A处沿纸盒表面爬到点B处，已知BC＝1cm，则蚂蚁爬行的最短距离是(　　) A.2 cm B.5 cm C. cm D.7cm 21.如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（         ） A. cm B.4cm C. cm D.5cm 22.如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（         ） A．3 B. C. D．4 23.如图，正方体的棱长为10，点A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是______． 24.正方体盒子的棱长为3，M是棱BC上一点，且CM＝1，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为             ． 题型四、其他类型与勾股定理问题 25.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（           ） A．13m B．17m C．18m D．26m 26.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（            ） A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm 27.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB=CD=20m.小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（           ）（π取3）m． A．30 B．28 C．25 D．22 28.在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是            cm．  29.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短路线长度是______cm． 题型五、综合拓展与勾股定理问题 30.【阅读材料】 如图①，有一个圆柱，它的高为  ，底面圆的周长为  ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图②，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段  的长． 【方法应用】 （1）如图③，圆柱形玻璃容器的高为  ，底面周长为  ，在外侧距下底  的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处  的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图④，长方体的棱长  ，  ，假设昆虫甲从盒内顶点  开始以  的速度在盒子的内部沿棱  向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $