28.2.2 第2课时方向角、坡度与解直角三角形（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

第2课时 方向角、 A 知识分点练 夯基础 知识点1方向角问题 1.如图，海中有一小岛A,在B处测得小岛A在北 偏东30°方向上，渔船从B处出发由西向东航行 l0 n mile到达C处，在C处测得小岛A恰好在正 北方向上，此时渔船与小岛A的距离为( ) A.103 3 n mile B203 n mile 3 C.20 n mile D.103 n mile 北 60 309 1459 C B 第1题图 第2题图 2.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方 向，距离灯塔C60 n mile的小岛A出发，沿正 南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南 偏东45°方向上的B处，这时轮船与小岛A的 距离是 ( A.30√3 n mile B.60 n mile C.120 n mile D.(30+30√3)n mile 3.(2022·安徽)如图，为了测量河对岸A,B两点 间的距离，某数学兴趣小组在河岸南侧选定观 测点C,测得点A,B均在点C的北偏东37°方 向上，沿正东方向行走90m至观测点D,测得 点A在点D的正北方向，点B在点D的北偏 西53°方向上.求A,B两点间的距离.（参考数 据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75) 东 379 58一本·初中数学9年级下册RJ版 坡度与解直角三角形 知识点2坡度、坡角问题 4.如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC= √3m,水平距离BC=1m,则斜坡AB的坡度 为 () A√3 B D.60 5 C.30° B 第4题图 第5题图 5.(教材P78习题T5变式)如图，在坡度为1：2的斜 坡上有两棵树AC,BD,已知两树间的坡面距 离AB=2√5m,那么两树间的水平距离为 m. 6.一座人行天桥的示意图如图所示，已知天桥的 高度CD=6m,坡面BC的倾斜角∠CBD= 45°，距点B8m处有一建筑物MN,为了方便 行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面 BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新 坡面AC的倾斜角∠CAD=30°.如果新坡面底 端A处与建筑物MN之间需要留出至少3m 宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请 说明理由.（结果精确到0.1m,参考数据：√2≈ 1.41w3≈1.73) M B能力综合练 练思维 7如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测 量一座与地面垂直的古塔AB的高度.他从古 塔AB的底部点B处前行30m到达斜坡CE 的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达 最佳观测点D处，从点D处测得塔顶点A处 的仰角为30°.已知斜坡CE的坡度i=1:√3， 且点A,B,C,D,E在同一平面内，则小明同学测 得古塔AB的高度是 m. E D30 B 8【新情境·地方特色】周末爬大蜀山，是合肥市 民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一.如图， 某个周末小张同学从点B处沿坡角为37°的山 坡爬了280m,到达点E处，紧接着沿坡角为 45°的山坡又爬了160m,到达山顶A处.请你 计算大蜀山的高度.（结果精确到1m,参考数 据：√2≈1.414，√5≈1.732，sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) A E45° 3 C拓展探究练 提素养 9.【新情境·现代科技】(2025·重庆)为加强森林 防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种 方式监测森林情况.如图，A,B,C,D在同一平 面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机 位于A的正东方向10km的B处，乙无人机 位于A的南偏西30°方向20km的D处.两无 人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方 向，B位于C的北偏西30°方向. (1)求BD的长度. (2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿 BC,DC往C处进行巡视，乙无人机的速度为 甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20km 时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人 机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相 互接收到信号？ (结果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41， √/3≈1.73，√/5≈2.24，W7≈2.65) R 北 A 304 东 309 C 第二十八章锐角三角函数59在Rt△AOD中，∠OAD=41.3°， cos41.3°=A0,即A0 AD 3 c0s41.3≈0.75=4（米）， tan41.3° AD,即0D=AD·tan41.3°≈3×0.88= O 2.64(米)， .CD=CO+OD=AO+OD≈4+2.64=6.64（米）. 答：点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. 4.A5.50√3 6.解：如图，过点A作AE⊥CD,垂足为E. 36.9° 423.809E ”地面 由题意，得四边形ABCE为矩形， ∴.CE=AB=13.20m. 在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE AE CE 13.2013.20 六AE=tan∠CAE-tan23.8≈0.44 =30.0(m). 在Rt△ADE中，oS∠DAE=AE AD' AE 30.030.0 ..AD= cos/DAEcos 36.90.80-37.5(m). 答：AD的长约为37.5m. 7.22.78.11648π 9.解：(1)如图，将测角仪放在点D处，CD为测角仪 的高度，用皮尺测量出点D到AB的距离为m,用测 角仪测出点A的仰角为α，测出，点B的俯角为B.(设 计方案不唯一，合理即可) (2)如图，过，点C作CE⊥AB于点E, 则四边形CDBE是矩形，∠ACE=a,∠BCE=B, ..CE=BD=m,BE=CD, .在Rt△BCE中，BE=CE·tan∠BCE=mtan B, 在Rt△ACE中，AE=CE·tan∠ACE=mtan a, .'.AB=AE+BE=m(tan a+tan B). 答：教学楼AB的高度为m(tana十tanB). 第2课时方向角、坡度与解直角三角形 1.D2.D 3.A,B两点间的距离约为96m 4.A5.4 6.解：该建筑物不需要拆除，理由如下： ,∠CBD=45°，∠CDB=90°，CD=6m, ·答 ∠BCD=∠CBD=45°，∴.CD=BD=6m. :∠CAD=30°，∠CDA=90°， CD =6=63(m), ∴AD=an∠CAD 3 ∴.AN=BD+BN-AD=6+8-6√3≈3.6(m). 3.6>3,.该建筑物不需要拆除. 7.(10√5+20) 8.大蜀山的高度约为281m 9.(1)BD的长度约为26.5km (2)甲无人机飞离B处约3.8km时，两无人机可以 开始相互接收到信号 方法归纳专题7利用三角函数解决实际 问题的常用方法 1.解：如图，过点E作EH⊥AD于点H. B法线 C -水面 E 壁 D97 池底 由题意可知，∠CEB=a=36.9°，∠CBE=3,EH= 1.20 m,DH=CE. BC1.20 在Rt△BCE中，CE= an36.g≈0.75-1.60(m), ∴.AH=AD-DH=AD-CE≈2.50-1.60=0.90(m), .AE=√/AH+EH≈√0.902+1.202=1.50(m), AH0.90 .'sin y= AE≈1.50 =0.60. CE :sinP=sin∠CBE-BE=cos∠CEB=cosa≈0.80， .".sinB0.80 siny0.60≈13. 2.解：如图，过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥ AB于点F,则四边形DEBF为矩形. A D ■ B E ∠C=45°，∠DEC=90°，.∠CDE=45°. ∠ADC=153°，∴.∠ADF=153°-45°-90°=18°. ,CD=2√2cm,∠C=45°， .∴.DE=CE=2cm. .'BC=5 cm, .'BE=BC-CE=5-2=3(cm), ∴.DF=BE=3cm, ∴.在Rt△ADF中，AF=DF·tan∠ADF≈3X 0.32=0.96(cm). 因此S矩形DEBr=BE·DE=3X2=6(cm2), Sawm=7AF·DF≈号×096X3=1.4(em, 8·