28.1 第2课时余弦和正切（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

,AB是⊙O的直径，∠ADB=90°， .∠DBF+∠BFD=90. ,BC是⊙O的切线，∴.∠ABC=90°， .∠BAC+∠C=90°. BD=DE,∠BAC=∠DBF, .∠C=∠BFC,BC=BF. (2)由(1)，知∠ABC=90°. AB是⊙O的直径，∴.∠AEB=90° :BD=DE,∠BAC=∠EAF, AB BC 6 △BACD△EAF,AEEF=2=3. 设AE=x,则AB=3x. EF=2,BF=BC=6, .BE=BF+EF=8. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2=AE2十BE .(3x)2=x2十82，解得x=2√2或x=-2√2（不符 题意，舍去)， .AB=3x=3X2√2=6√2， AB ·00的半径为2=32. 13.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=∠C=90°， .∠BAE+∠BEA=90°. EF⊥AE,∴∠AEF=90°， ∴∠BEA+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF,△ABE∽△ECF. (2)证明：由(1)，知△ABE∽△ECF, 提器 ,四边形ABCD是正方形，BC=AB=4. E是BC的中点，.BE=EC=2, 小台忌解得C=1 在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE=2√5， 在Rt△ECF中，EF=√EC2+CF=√5， ..AE_EF5 ∴ABBE2· 又∠AEF=∠B=90°， .△AEF∽△ABE. (3)①证明：，EF⊥AE,CG⊥AC, .∠AEF=∠ACG=90°. :∠AOE=∠GOC,∴∠EAC=∠FGC. 又四边形ABCD是正方形， ∴∠ACE=∠ACF=45°，∴.∠GCF=45°， ∴.∠ACE=∠GCF,∴.△AEC∽△GFC. @3 14.B15.36 16.解：(1)△OB'C'如图所示. (2)B'(-6,2),C'(-4,-2). (3)M'(-2x,-2y). 本章易错易混专练 1B203号 4.(-3,-2)或(3,2) 5.6<AP<86号或 5 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时正弦 1.B2.D3.D4.30 10 5.(1)13(2)3/3 13 6c【瘦1072 8.C9.A10.5 1152号 12.解：(1)B(2)0<sadA<2 (3)如图，过，点C作CH⊥AB,垂足为H. 在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A=a,sina= 令CH=3k,则AC=5k, ∴.AH=√(5k)2-(3k)严=4k, ..BH=AB-AH=AC-AH=k, .BC=√(3k)2+k=√I0k, ∴.sada= BC=ok=√而 AC 5k 5 第2课时余弦和正切 1号 (2 3 2.63.A4.B5.18 6.AC-9,tan B 3 7.B 8.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB= √AC2+BC=√62+4=213， “siA=BC=4 13,cos A=AC 6 _2√13 AB2√W13 AB2√/13 3√13 13,tan A= BC42 AC631 10.B11号 13.1 答案6· 1黑0号号1吕是1 规律：对于任意锐角a,有sin2a十cos2a=1. 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. "'sina=a, ,cosx名，C2=a2十b· sin'a+cos'aabc c2 规律：对于任意锐角a,有tana=s加a cos a 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. a sina c a tan a-b'cos a bb,..tan a= cos a 第3课时特殊角的锐角三角函数值 1B2A3盟 4.23-25.15-1(2 4 3 6.C7.D8.c9.6010.30 01.B12.B13.302714.B15.A16.号 17.-418w619.-号 20.B 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 1.B 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5,c=52, .sin A=4=5v c5√22 ∴.∠A=45°，.∠B=90°-∠A=90°-45°=45°， ∴∠B=∠A,.b=a=5. 3.B4.B5.4 6.解：(1)∠A=90°-∠B=90°-60°=30°. G1anB-AC,AC=BC·iamB=4ham60°=4B :cos B-ABAB-Bc4 cos B cos 605=8. (2)∠A=90°-∠B=90°-55°=35°. ':tan B= BC=AC 4 tan B tan55≈2.8 心sin B-AGAB54C-4 sin B sin55o≈49. 7.4√5+3或4√5-38.D9.B10.A n556 12.[探究]SAABC= 2bcsin a [应用]SDABCD= 2absina 方法归纳专题6求锐角三角函数值 常用的四种方法 1.B2.号 酒 4.A5.A 6.解：(1)证明：AE是∠BAC的平分线，∠C=90°， EF⊥AF,∴.CE=EF. CE=FE, 在R△ACE和R△AFE中，AE=AE, ,∴.Rt△ACE≌Rt△AFE(HL). (2)由(1)，知△ACE≌△AFE, ∴.AC=AF. F是AB的一个三等分，点(AF>BF), BF=AF=号AB, 设BF=m,则AC=AF=2m,AB=3m, ∴.BC=√AB2-AC=√9m2-4m=5m. 解法1：∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B, EF BF △EFB∽△ACB,AC-BC 由(1)，知CE=EF, ∴.tan∠CAE= CE_EF_BF_m5 ACAC BC 5m5 AC_-2m=25 解法2：在R△ABC中，anB=BC5m 在Rt△EFB中，EF=BF·tanB= 25m 5 CE=EF=2/5m 51 2√5m CE 5 在Rt△ACE中，tan∠CAE= √5 AC 2m 8 9.D10.D 4 11. 12.4 28.2.2应用举例 第1课时 与视角有关的解直角三角形 1.B2.A 3.解：如图，连接CO并延长，与AB交于点D, ..CO=AO. 水面 D 由题意，得CD⊥AB,.AD=BD= 2AB=3米， 答案7·第2课时 A 知识分点练 夯基础、 知识点1余弦 1.(教材P65练习T1变式)如图，在Rt△ABC中， ∠B=90. (1)若AB=6,BC=8,则∠C的余弦值 为 (2)若AB=2,AC=3,则∠C的余弦值 为 B 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10, cosA=5,则BC= 知识点2正切 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4,BC=3, 那么∠A的正切值为 () A号 c 0 4 4.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为 1的正方形网格中，点A,B,C均在格点（网格 线的交点)上，则tanC的值是 A.2 B C.1 D 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9,tanB=2, 则AC= 48一本·初中数学9年级下册RJ版 余弦和正切 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15, cosA=亏，求AC的长和tanB的值. 知识点3锐角三角函数 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B, ∠C所对的边分别为a,b,c,则 () 6 B A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.6=ctan B 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=4,求sinA,cosA,tanA的值. ?易错点忽略分类讨论而出错 9.在Rt△ABC中，AC=8,BC=6,则cosA的值 是 B能力综合练 练思维 10.【一题多解】(2025·中科大附中期未)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,AC= 3,AB=5,则cos∠ACD的值为 () 3 3 A.5 C. 4 03 11.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰 好落在边AB的中点C'处.若AB=4,BC=8, 则tan∠BFC'的值为 D' D 12.如图，在由边长均为1的小正方形构成的网格 中，半径为1的⊙O的圆心在格点上，则 ∠BED的正切值为 13.如图，在△ABC中，AB=4√2，BC=5,AC= 7,求∠A的正切值. C拓展探究练 提素养 14.【新考法·过程性学习】根据图中提供的数据 回答下列问题： 13 12 图1 图2 (1)在图1中，sinA= Cos A= sinA+cos2A= 在图2中，sinA1= cos A= sin2A1+cos2A1= 通过以上两个特殊的例子，你发现了什么规 律？用一个一般的式子把你发现的规律表示 出来，并加以证明. sin A (2)在图1中，tanA= cos A ;在图2中，tanA1= sin A cos A 通过以上两个特殊的例子，你发现了什么规 律？用一个一般的式子把你发现的规律表示 出来，并加以证明. 第二十八章锐角三角函数49