7.5 正态分布题型训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.5 正态分布 题型一 正态密度函数 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 2．18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 【答案】AC 【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D. 【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确； 对于B, 当时，，故B错误； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：AC 3．已知随机变量，其密度函数为，则 . 【答案】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 4．根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 题型二 概率分布曲线的认识 5．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 6．已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正态分布定义和对称性质即可求解判断. 【详解】因为随机变量，， 所以，故A错误，BC正确； 因为，所以，故D错误. 故选：BC 7．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】连续型随机变量服从正态分布，其正态曲线关于直线对称， 则有， 所以. 故答案为：1 8．如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差. 【答案】，均值为20，方差为； 【分析】由正态曲线得到正态曲线关直线对称，最大值为，由此求出，，从而求出概率密度函数的解析式，即可得到均值和方差． 【详解】解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关直线对称，最大值为， 所以， 由，解得， 所以概率密度函数的解析式为， 则总体随机变量的均值为20，方差为． 题型三 正态曲线的性质 9．已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【分析】应用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，，，已知， 所以，因为， 且，所以，又因为， 所以，代入， 可得，故，所以. 故选：C. 10．已知随机变量，则（    ） A． B．越大，随机变量的方差越大 C．随机变量的分布越集中，的值越小 D．的取值在内是小概率事件 【答案】ACD 【分析】应用正态分布性质及对称性判断各个选项即可． 【详解】对于A，因为随机变量，所以， 所以，故A正确； 对于B，，而非方差，故B错误； 对于C，随机变量的分布越集中，说明数据的波动越小，方差越小， 而，则的值越小，故C正确； 对于D，根据原则，故D正确． 故选：ACD． 11．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的准点率服从正态分布且，则 ． 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】服从正态分布，且， ． 故答案为：. 12．潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 【答案】(1) (2)159 (3) 【分析】（1）根据正态分布原则求解； （2）由正态分布的对称性求得，进而估计成绩超过90分的学生人数； （3）设前分位数为，由结合正态分布表求得，进而求得，根据条件概率公式求得，得解. 【详解】（1）设学生数学竞赛成绩为，则，则，， . （2）因为， 所以估计成绩超过90分的学生人数为人. （3）设前分位数为，则，所以， 由正态分布表得，解得， 又， ， 所以选中的2人成绩都超过95分的概率为. 题型四 标准正态分布的应用 13．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【答案】A 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A 14．设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D. 【详解】随机变量，则A正确； ，则B错误； 随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确； 正态分布的曲线关于对称，，则D正确， 故选：ACD． 15．随机变量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 16．高尔顿板是一种用于演示随机现象的装置，如图所示．小球从顶部下落，每次碰到钉子时等可能地向左或向右滚下，最终落入底部的槽中．设高尔顿板有n层钉子，则底部有个槽，从左到右编号为． (1)设小球落入槽k的概率为，求的表达式，并计算期望和方差． (2)当时，利用中心极限定理，近似计算小球落入槽到之间的概率（已知标准正态分布）． (3)若将个小球依次放入高尔顿板，求落入槽附近（到之间）的小球数量在到之间的概率的近似值． (4)证明：当时，高尔顿板的分布趋近于正态分布． 【答案】(1)，其中，，； (2)； (3)； (4)证明见解析. 【分析】（1）由小球向左或向右的概率均为，且相互独立，所以落入槽k的概率服从二项分布，进而可得概率及期望，方差； （2）由小球落入槽k的概率服从二项分布，近似服从正态分布，用正态分布的概率公式计算可得； （3）由Y为个小球中落入槽附近（到之间）的数量服从，近似服从正态分布，再根据正态分布的概率公式可得； （4）由棣莫弗—拉普拉斯定理可知，当时，二项分布的标准化形式的分布趋近于标准正态分布，进而可证高尔顿板的分布趋近于正态分布. 【详解】（1）小球从顶部下落到槽k，需要在n次选择中恰好k次向右（或次向左）． 每次选择向左或向右的概率均为，且相互独立． 因此，落入槽k的概率服从二项分布． ，其中． 期望：，方差：， （2）当时，，近似服从正态分布，标准化：， ， ， （3）当时，， 设Y为个小球中落入槽附近（到之间）的数量． 首先计算落入槽到之间的概率：， 用正态近似：， ， ， 因此，，近似服从正态分布． 标准化：， ， ， （4）由棣莫弗—拉普拉斯定理，当时，二项分布的标准化形式的分布趋近于标准正态分布． 在高尔顿板中，，所以的分布趋近于标准正态分布． 因此，当时，高尔顿板的分布趋近于正态分布． 题型五 特殊区间的概率 17．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由，得 . 故选：D 18．已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于A，作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，选项A正确； 对于B，，选项B错误； 对于C，，选项C错误； 对于D，对于正态分布，给定是一个只与有关的定值， 则，选项D正确． 故选：AD 19．对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．（若，则） 【答案】32 【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可. 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量32次. 故答案为：32 20．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解； （2）由，利用正态分布的对称性，求得的值，进而估计出成绩在内的学生的人数. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. （2）解：由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 题型六 指定区间的概率 21．新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质，求得的值，再由样本容量求得频数，即可得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（辆）. 故选：D. 22．下列说法正确的是（    ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数是1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 C．若随机变量，，则 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为9 【答案】AB 【分析】求出分位数判断A；利用古典概率公式求出概率判断B；利用正态分布对称性求出概率判断C；利用平均数、方差的性质计算判断D. 【详解】对于A，由，得给定数据组的分位数是23，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，随机变量，由，得 ，C错误； 对于D，数据的平均数为2，方差为3，则数据 的平均数为，方差为，D错误. 故选：AB 23．某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有 人. 【答案】160 【分析】根据正态曲线的对称性求出，再乘以1000可得结果. 【详解】∵考试的成绩服从正态分布， ∴考试的成绩X关于对称， ∵， ∴， ∴该年级数学成绩在120分以上的人数为． 故答案为：160. 24．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【答案】(1) (2)可靠性为,变差了 【分析】（1）首先根据优品的范围，再结合正态分布的数据，以及参考公式，分别求解改造前后的优品率，即可求解； （2）根据二项分布概率公式，分别求增加元件前后系统正常工作的概率，再比较. 【详解】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. 题型七 正态分布的实际应用 25．假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（   ） A．76 B．88 C．94 D．103 【答案】C 【分析】结合正态分布的对称性，依据已知概率区间确定A等级对应的分位数，计算得分数线. 【详解】已知成绩服从正态分布，则均值，标准差. A等级为成绩由高到低的前， 由，得. 计算，即A等级的分数线约为94. 故选：C 26．我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（    ） A． B．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C．混动类部件优质品率高于其不合格品率 D．纯电类部件优质品率高于其不合格品率 【答案】BC 【分析】由正态分布的性质可判断各选项. 【详解】根据正态分布的性质可知，，，所以，故A错误； 因为，所以X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高”，故B正确； 因为Y对应的正态曲线的对称轴方程为，所以， 又，所以，即混动类部件优质品率高于其不合格品率，故C正确； 因为X对应的正态曲线的对称轴方程为，所以，则纯电类部件优质品率等于其不合格品率，故D错误. 故选：BC. 27．百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为 人． 【答案】72 【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以600即可求解. 【详解】由于数学成绩近似服从正态分布，且， 所以， 所以， 则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为人. 故答案为：72. 28．某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于80分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)2.3% (2)32740． 【分析】（1）利用正态分布的对称性求指定区间的概率可得； （2）由正态分布的对称性求指定区间的概率可得. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量X，则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为2.3%． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为32740． 题型八 根据正态曲线的对称性求参数 29．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性，分析求解，即可得答案. 【详解】因为服从正态分布，所以对称轴， 因为，所以， 由对称性得， 所以. 故选：D 30．为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态分布的性质，结合题给条件逐一判断选项求解. 【详解】根据正态分布的对称性，若，则. 由于，表明分布中心向右偏移，因此，故A正确； 方差影响分布的宽度，但已知条件无法直接推导出方差的大小， 当且时，满足，但， 因此不一定大于4，故B错误； 正态分布中，，由于，正态分布的均值大于0， 故，故C错误； 同理，，故D正确. 故选：AD. 31．设随机变量，且，则 ． 【答案】3 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可求解. 【详解】由题意可得随机变量服从正态分布， 若，则，解得. 故答案为：3 32．设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正态分布的对称性，可得解； （2）根据正态分布对称性，可得，可得解 【详解】（1）由题意，随机变量，且 由正态分布的对称性可知， 故c的值为2. （2）由于，因此，， 故 题型九 3δ原则 33．设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】根据正态分布的原则结合条件即可求解. 【详解】因为，所以标准差，期望， 根据正态分布的原则，， 要使，则需满足： ，化简可得：， 解得：，即，得出. 故选：C. 34．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（    ）（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件有，，再由正态分布的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】依题意知，， 对于A，因为， 则，所以A错误， 对于B，因为，所以B对， 对于C，因为，则，所以C对， 对于D，因为，所以D错． 故选：BC. 35．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为 .（参考数据：若，则） 【答案】1 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题意可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故至多为1． 故答案为：1． 36．已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 【答案】(1)， (2)0.9545 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本平均数及方差的方法，求出样本均值和方差即可； （2）根据正态分布的性质，由方差和均值，判断结果即可. 【详解】（1）． ． （2）由题意知，样本方差，故， 所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布． ， 所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5 正态分布 题型一 正态密度函数 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 2．18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 3．已知随机变量，其密度函数为，则 . 4．根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 题型二 概率分布曲线的认识 5．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则 ． 8．如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差. 题型三 正态曲线的性质 9．已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 10．已知随机变量，则（    ） A． B．越大，随机变量的方差越大 C．随机变量的分布越集中，的值越小 D．的取值在内是小概率事件 11．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的准点率服从正态分布且，则 ． 12．潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 题型四 标准正态分布的应用 13．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 14．设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 15．随机变量，，若，则 . 16．高尔顿板是一种用于演示随机现象的装置，如图所示．小球从顶部下落，每次碰到钉子时等可能地向左或向右滚下，最终落入底部的槽中．设高尔顿板有n层钉子，则底部有个槽，从左到右编号为． (1)设小球落入槽k的概率为，求的表达式，并计算期望和方差． (2)当时，利用中心极限定理，近似计算小球落入槽到之间的概率（已知标准正态分布）． (3)若将个小球依次放入高尔顿板，求落入槽附近（到之间）的小球数量在到之间的概率的近似值． (4)证明：当时，高尔顿板的分布趋近于正态分布． 题型五 特殊区间的概率 17．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 18．已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（   ） A． B． C． D． 19．对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．（若，则） 20．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 题型六 指定区间的概率 21．新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 22．下列说法正确的是（    ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数是1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 C．若随机变量，，则 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为9 23．某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有 人. 24．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 题型七 正态分布的实际应用 25．假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（   ） A．76 B．88 C．94 D．103 26．我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（    ） A． B．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C．混动类部件优质品率高于其不合格品率 D．纯电类部件优质品率高于其不合格品率 27．百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为 人． 28．某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于80分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 题型八 根据正态曲线的对称性求参数 29．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 30．为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（    ） A． B． C． D． 31．设随机变量，且，则 ． 32．设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 题型九 3δ原则 33．设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 34．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（    ）（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C． D． 35．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为 .（参考数据：若，则） 36．已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $