27.2.3 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“切线长定理及三角形的内切圆”，通过空竹、悠悠球旋转情境抽象图形，承接上节课“过圆上一点作切线”，提出“过圆外一点作切线”问题，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过推理验证和典例（如四边形切线长关系证明、列方程求线段长）发展数学思维，小结归纳辅助线方法提升数学语言表达。助力学生构建逻辑体系，教师可高效开展教学。

第二十七章 27.2.3 切线 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆 第二十七章 圆 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第二十七章 圆 情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 新知导入 第二十七章 圆 学习目标 1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. （难点） 学习目标 第二十七章 圆 切线长定理及应用 一 互动探究 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 知识探究 第二十七章 圆 P 1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 知识探究 第二十七章 圆 问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B． OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ O. P A B 知识探究 第二十七章 圆 B P O A 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 知识要点 知识探究 第二十七章 圆 O. P 已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 知识探究 第二十七章 圆 想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 知识探究 第二十七章 圆 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC. CA=CB O. P A B C 知识探究 第二十七章 圆 典例精析 例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC. · A B C D O 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H， E F G H ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. 知识探究 第二十七章 圆 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 知识探究 第二十七章 圆 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 知识探究 第二十七章 圆 1.PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. B P O A C E D 练一练 知识探究 第二十七章 圆 B P O A 2.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 知识探究 第二十七章 圆 3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑵ ∠DOE= . ⑴ △PDE的周长是 ； 14 O P A B C E D 70° 解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO= 90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°. 知识探究 第二十七章 圆 又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=CB. O P A B C E D ∵D，E是切线PA，PB上的点， ∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC. ∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠COB)=70°. ∴∠COE=∠BOE= ∠AOC. ∴S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14. 知识探究 第二十七章 圆 切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点. 方法归纳 知识探究 第二十七章 圆 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆及作法 二 互动探究 知识探究 第二十七章 圆 问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 知识探究 第二十七章 圆 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. 为什么呢？ 知识探究 第二十七章 圆 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 做一做 知识探究 第二十七章 圆 1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 知识要点 知识探究 第二十七章 圆 24 三角形的内心的性质 三 B A C I 问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？ 互动探究 线段OA，OB ,OC 分别是∠A，∠B，∠C的平分线. 知识探究 第二十七章 圆 B A C I 问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？ E F G IE=IF=IG 知识探究 第二十七章 圆 知识要点 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C I E F G IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG. 知识探究 第二十七章 圆 例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I ∵点I是△ABC的内心， ∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线， 在△IBC中， 知识探究 第二十七章 圆 例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径. 该木模可以抽象为几何如下几何图形. 知识探究 第二十七章 圆 C A B r O D 解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD. ∵圆O是△ABC的内切圆, ∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线 ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠OAB=∠OBA=30o ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD= AB=1.5(cm) ∴OD=AD· tan30o= (cm) 答:圆柱底面圆的半径为 cm. 知识探究 第二十七章 圆 例5 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 知识探究 第二十七章 圆 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 解得 x=4. A C E D F O 知识探究 第二十七章 圆 比一比 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 中垂线的交 点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内部． A B O A B C O 知识探究 第二十七章 圆 C A B O D 1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径. 解：如图，由题意可知BC=6cm, ∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC. ∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. 内切圆半径 外接圆半径 练一练 知识探究 第二十七章 圆 变式： 求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比. sin∠OBD = sin30°= C A B R r O D 知识探究 第二十七章 圆 A B C O D E F A B C D E F O 2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ 知识探究 第二十七章 圆 A B C O c D E r 3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为 ___________（以含a、b、c的代数式表示r）. 解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F. F 则AD=AC-DC=b-r, BF=BC-CE=a-r, 因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c, 所以a-r+b-r=c, 所以 知识探究 第二十七章 圆 A 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= . 1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . B P O A 第1题 B C O 第2题 20 ° 4 110 ° 课堂检测 第二十七章 圆 （3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度. （2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度. 130 20 3.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____. A B C I （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？ 120° 课堂检测 第二十七章 圆 4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 课堂检测 第二十七章 圆 40 方法一： 证明：连接OD， ∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°. 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC． 课堂检测 第二十七章 圆 41 方法二： 证明：连接BD， ∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB. ∴OC⊥BD. ∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD. ∴DE∥OC． 课堂检测 第二十七章 圆 5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID． 课堂检测 第二十七章 圆 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 有关概念 内心概念及性质 应用 课堂小结 第二十七章 圆 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十七章 圆 $