27.3 第1课时弧长与扇形面积（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

27.3 圆中 第1课时孤 A知识分点练 夯基础 知识点1弧长的计算 1.(2024·安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB= 120°，则AB的长为 ) A.2π B.3元 C.4π D.6π [变式1](2025·绥化)在⊙O中，如果75°的 圆心角所对的弧长是2.5πcm,那么⊙O的 半径是 () A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm [变式2]已知一个扇形的半径为6cm,弧长 为πcm,则扇形的圆心角的度数为 2.如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且 ∠ABD=30°.若BO=4,则AD的长为() A.3 C.2π D.3 第2题图 变式题图 [变式](2025·连云港)如图，△ABC是⊙O的 内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2， 则BC的长为 3【新情境·跨学科】《墨经》是我国古 籍中最早讨论滑轮力学的著作，书 中记载的一个滑轮机械如图所示， 称为“绳制”.若图中的定滑轮半径 甲 为6cm,滑轮旋转了150°，则重物 “甲”上升了 cm.(绳索粗细不计，且与 滑轮之间无滑动) 知识点2扇形面积的计算 4.已知一个扇形的圆心角的度数为150°，半径是 6,则这个扇形的面积是 () A.15π B.10π C.5π D.2.5π [变式1]已知一个扇形的面积是13πcm2,半 径是6cm,则此扇形的圆心角的度数 是 64一本·初中数学九年级下册HDSD版 的计算问题 长与扇形面积 [变式2]已知一个扇形的弧长为6π，半径为 3,则这个扇形的面积为 5.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ABC=40°，连结 OA,OC.若⊙O的半径为3，则扇形AOC(阴影部 分)的面积为 () A.3 B.元 4 C. D.2π 第5题图 第7题图 6.(教材P63习题T4变式)如果两个扇形的圆心角相 等，大扇形的面积是小扇形的9倍，那么大扇形 的半径是小扇形的 倍 7.【新情境·传统文化】(2024·自贡)龚扇是自贡 “小三绝”之一为弘扬民族传统文化，某校手工 兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接 当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外 侧两竹条AB,AC的夹角为120°，AB长为 30cm,扇面的BD边的长为18cm,则扇面的 面积为 cm2.(结果保留π) 8.如图，某家具厂利用一块圆形材料加工成一种 扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC= 90°，⊙O的直径为1m,则扇形家具部件的面 积为 m2. 第8题图 第9题图 B能力综合练 练思维 9.(2025·山西)如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC,分别以点B,C为圆心、BC的长为 半径画弧，与BA,CA的延长线分别交于点D, E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为() A.2π-4B.4π-4C.8π-8D.4π-8 10.(2024·广安月考改编)如图，正方形ABCD的边 长为2，以BC的长为直径的半圆与对角线AC 相交于点E,则图中阴影部分的面积为() 5.1 31 A.2+4π B24π C.g-2w 51 D.2-4 M D M C M 第10题图 第11题图 11.【新考法·新定义】如图，正方形ABCD的边 长为2，曲线BM1M2M3M4…叫做“正方形 ABCD的渐开线”，其中曲线BM1,M1M2, M2M3,M3M4,…的圆心依次按A,D,C,B 循环，长度分别标记为11,12，l3,l4,….当弧线 的长度标记为l2o24时，l2o24的值为 12.(2024·乐山)如图，⊙O是△ABC的外接圆， AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA 的延长线于点D,E为CB上一点，且AC=CE. (1)求证：DC∥AE; (2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分 的面积. C拓展探究练 提素养 13.如图，已知⊙O的直径AB=12,AC是⊙O的 弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于 点P,连结BC (1)求证：∠PCA=∠B; (2)已知∠P=40°，点Q在ABC上，从点A开 始逆时针运动到点C停止（不与点C重合）， 当△ABQ的面积与△ABC的面积相等时，求 动点Q所经过的弧长， 0 第27章圆65.OC⊥CD 又，OC是⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线，即CD与⊙O相切， 4.解：(1)证明：如图，连结OC AC=CD,∴AC=CD, .OC⊥AD. BC∥AD,∴.OC⊥BC. OC是⊙O的半径， ∴.BC是⊙O的切线 (2)如图，连结AO,设OC与AD交于点E. AB⊥BC,BC∥AD, .∠AEC=∠BCE=∠B=90°， 四边形ABCE是矩形， ∴.AE=BC,CE=AB=2 在Rt△OAE中，AO2=OE2+AE, 即52=(5-2)2+AE2,解得AE=4(负值舍去)， ∴.BC=AE=4, AB 1 :tan∠ACB=BC=2· 5.证明：如图，连结OA,作OF AC于点F. ,△ABC为等腰三角形，O是底边 D BC的中点， .AO⊥BC,AO平分∠BAC. OD⊥AB,.OF=OD,即OF是 ⊙O的半径， .AC是⊙O的切线. 6.证明：如图，过点O作OE⊥AB 于点E. :AD⊥BO于点D, .∠D=90°， .∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD +∠OAD=90°. :∠AOD=∠BAD, .'.∠ABD=∠OAD 又BC为⊙O的切线，.AC⊥BC, ∴.∠BCO=∠D=90°. ,∠BOC=∠AOD, ∴.∠OBC=∠OAD=∠ABD, .OE=OC,∴.OE是⊙O的半径， .AB为⊙O的切线. 7.解：(1)证明：如图，过，点O 作OF⊥AB,垂足为F. AD⊥BO,∠C=90°， ∠AOD=∠BOC, ∴.∠DAO=∠CBO. ,∠CBO=∠CAB,∴.∠DAO=∠BAO, .OD=OF,即OF为⊙O的半径， .AB是⊙O的切线. (2AB-2 第2课时切线长定理和三角形的内切圆 1.D2.70°3.44 4.PO=2√3，PA=3,AB=3,OC= 3 ·答穿 百B6A【室式1c7号 8.AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cm 9.C10.D11.B 12.1号cem(2)40cm 变式微专题2三角形的内心及内切圆的半径 112.gl32 方法归纳专题7圆中常见辅助线的作法 1.A2.55°3.18°4.D5.B6.27.278.B 9.B10.√211.D12.B13.3 14.解：(1)证明：如图，连结AD. ,AB为⊙O的直径， ∠ADB=90,.AD⊥BC. 又，AB=AC, .BD=DC,∠BAD=∠CAD, ∴.BD=DE,BD=DE, .BD=DE=DC. (2)如图，连结BE. ,AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°. ,DE=√5，AB=5,∴.DC=BD=√5，AC=5. 设AE=x,则CE=5-x. 在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2-AE2=BC2 -CE2, .25-x2=(25)2-(5-x)2, 解得x=3,即AE的长为3. 15.C16.B17.B18.4519.100 27.3圆中的计算问题 第1课时弧长与扇形面积 1.C【变式1】A【变式2】30° 2.B【变式】π3.5π4.A【变式1】130 【变式2】9π 1 5.D6.37.252x8.gx9.D10.D11.2024x 12.解：(1)证明：如图，连结OC. ,CD为⊙O的切线， .∠OCD=90°， D ∴.∠DCA+∠OCA=90. ,AB为直径， .∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠OAC=90. .OC=OA,∴.∠OAC=∠OCA, ∴∠ABC=∠DCA. ,AC=CE,.∠ABC=∠CAE, ∴.∠CAE=∠DCA,∴.CD∥AE. (2)如图，连结OE,BE. ,EF垂直平分OB,.OE=BE. OE=OB,∴.△OEB为等边三角形， ∴.∠BOE=60°， .∠AOE=180°-60°=120°. ,OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=30°. :DC∥AE,∴∠D=∠OAE=30°. ∠OCD=90°，.OD=2OC=OA+AD. .OA=OC,..OC=AD=3,..AO=OE=OC=3, 8· ..EF=3 1 9√5 A0·FE= 4· 120π×32 ,S%形OAE三 360 =3π， 9√3 S阴影=S#彩OAE一S△0AE=3元- 4 13.解：（1)证明：如图，连 结OC. ,PC是⊙O的切线， ∴.∠PC0=90°， ∴.∠ACO+∠PCA=90°. ,AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，∴.∠CAO+∠B=90°. ,OC=OA,.∠ACO=∠CAO,.∠PCA=∠B. 第2课时圆锥的侧面展开图 1.A【变式】4√22.C3.B4.B【变式】160 5.90 6.需要50πm2的铁皮 7.(1)圆锥的侧面积为3πcm2 (2)扇形的半径为6cm 8.c9.B10.16x 9 11.解：(1)证明：，∠AOB=∠COD, 即∠DOE+∠DOB=∠DOE+ ∠COA,∴.∠DOB=∠COA. .OA=OB,OC=OD, ∴.△AOC≌△BOD(S.A.S.). (2)如图，以点O为圆心、OD的长为 半径作孤，交OB于点F. :△AOC2△BOD,∴.S阴影=S角彩OAB一SA形OEF =5aaw-54am=7×3xX5-号X1.8xX8 1 =7.5π-2.7π=4.8π(cm2). (3)V⑨7 2 cm 12.(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由略 、(2)沸纸围成的圆锥的体积为'25，cm 方法归纳专题8求圆中 阴影部分面积的四种方法 1.A2.6r3.A4-5.B6.+37.45 32 8.129号10.4-41n2g12 ,【变式】A 13.2π-414.6π-16 27.4正多边形和圆 1.D2.C3.C4.C5.c6.A7.18°8.10 9.a-/iR.-R.5-355R ·答 10.解：(1)(2)(3)(4)如图所示 (1) (2) (3) 11.B12.B13.√614.2 15.解：(1)W2:1 (2)是. 连接OA,OB,OE(图略). 在正方形ABCD中，∠AOB=90°， 在正六边形AEFCGH中，∠AOE=60°， .∠BOE=90°-60°=30°. 360° 30°=12， ∴n=12,即BE是⊙O的内接正十二边形的一边. 16.(1)∠MON=120°(2)90°72° (3)∠M0N=360 方法归纳专题9巧用隐圆解题 1.C2.4√2-43.B4.√2+1 5.解：(1)画草图如图所示. D (2)35 6.证明：，BD,CE分别是边AC与AB上的高， .∠BEC=∠BDC=90°， ∴B,C,D,E四，点共圆，∴∠BDE=∠BCE ∠A=60°，.∠ABD=∠ACE=30°， ∴.∠AED=30°+∠BDE,∠ACB=30°+∠BCE, .∠AED=∠ACB, :△AEDD△ACB,BC=AB .DE AD :BD⊥AC,∠ABD=30°， 1 AD-2AB,BC-2DE. 【跟踪训练】 1.B2.A3.10 重点题型专题10圆中常见的最值问题 1.911202.83.2√7-24.5√3 5.解：(1)①22°⊙A如图1所示. 9·