27.2.3 第2课时切线长定理和三角形的内切圆（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

.OC⊥CD 又，OC是⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线，即CD与⊙O相切， 4.解：(1)证明：如图，连结OC AC=CD,∴AC=CD, .OC⊥AD. BC∥AD,∴.OC⊥BC. OC是⊙O的半径， ∴.BC是⊙O的切线 (2)如图，连结AO,设OC与AD交于点E. AB⊥BC,BC∥AD, .∠AEC=∠BCE=∠B=90°， 四边形ABCE是矩形， ∴.AE=BC,CE=AB=2 在Rt△OAE中，AO2=OE2+AE, 即52=(5-2)2+AE2,解得AE=4(负值舍去)， ∴.BC=AE=4, AB 1 :tan∠ACB=BC=2· 5.证明：如图，连结OA,作OF AC于点F. ,△ABC为等腰三角形，O是底边 D BC的中点， .AO⊥BC,AO平分∠BAC. OD⊥AB,.OF=OD,即OF是 ⊙O的半径， .AC是⊙O的切线. 6.证明：如图，过点O作OE⊥AB 于点E. :AD⊥BO于点D, .∠D=90°， .∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD +∠OAD=90°. :∠AOD=∠BAD, .'.∠ABD=∠OAD 又BC为⊙O的切线，.AC⊥BC, ∴.∠BCO=∠D=90°. ,∠BOC=∠AOD, ∴.∠OBC=∠OAD=∠ABD, .OE=OC,∴.OE是⊙O的半径， .AB为⊙O的切线. 7.解：(1)证明：如图，过，点O 作OF⊥AB,垂足为F. AD⊥BO,∠C=90°， ∠AOD=∠BOC, ∴.∠DAO=∠CBO. ,∠CBO=∠CAB,∴.∠DAO=∠BAO, .OD=OF,即OF为⊙O的半径， .AB是⊙O的切线. (2AB-2 第2课时切线长定理和三角形的内切圆 1.D2.70°3.44 4.PO=2√3，PA=3,AB=3,OC= 3 ·答穿 百B6A【室式1c7号 8.AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cm 9.C10.D11.B 12.1号cem(2)40cm 变式微专题2三角形的内心及内切圆的半径 112.gl32 方法归纳专题7圆中常见辅助线的作法 1.A2.55°3.18°4.D5.B6.27.278.B 9.B10.√211.D12.B13.3 14.解：(1)证明：如图，连结AD. ,AB为⊙O的直径， ∠ADB=90,.AD⊥BC. 又，AB=AC, .BD=DC,∠BAD=∠CAD, ∴.BD=DE,BD=DE, .BD=DE=DC. (2)如图，连结BE. ,AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°. ,DE=√5，AB=5,∴.DC=BD=√5，AC=5. 设AE=x,则CE=5-x. 在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2-AE2=BC2 -CE2, .25-x2=(25)2-(5-x)2, 解得x=3,即AE的长为3. 15.C16.B17.B18.4519.100 27.3圆中的计算问题 第1课时弧长与扇形面积 1.C【变式1】A【变式2】30° 2.B【变式】π3.5π4.A【变式1】130 【变式2】9π 1 5.D6.37.252x8.gx9.D10.D11.2024x 12.解：(1)证明：如图，连结OC. ,CD为⊙O的切线， .∠OCD=90°， D ∴.∠DCA+∠OCA=90. ,AB为直径， .∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠OAC=90. .OC=OA,∴.∠OAC=∠OCA, ∴∠ABC=∠DCA. ,AC=CE,.∠ABC=∠CAE, ∴.∠CAE=∠DCA,∴.CD∥AE. (2)如图，连结OE,BE. ,EF垂直平分OB,.OE=BE. OE=OB,∴.△OEB为等边三角形， ∴.∠BOE=60°， .∠AOE=180°-60°=120°. ,OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=30°. :DC∥AE,∴∠D=∠OAE=30°. ∠OCD=90°，.OD=2OC=OA+AD. .OA=OC,..OC=AD=3,..AO=OE=OC=3, 8·第2课时切线长定 A知识分点练 夯基础、 知识点1切线长定理 1.如图，P为⊙O外一点，PA,PB分别切⊙O于 A,B两点.若PA=5,则PB= ( A.2 B.3 C.4 D.5 第1题图 第2题图 2.(教材P56习题T9变式)(2025·佳木斯)如图，PA, PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是直径， ∠BAC=35°，则∠P= 3.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且 AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 4.如图，PA,PB分别切⊙O于点A,B,⊙O的 半径为√3，∠APB=60°，连结AB交OP于点 C,求PO,PA,AB,OC的长. 知识点2三角形的内切圆 5.三角形的内心是三角形 A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 60一本·初中数学九年级下册HDSD版 理和三角形的内切圆 6.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心.若 ∠BAC=80°，则∠BOC的度数为 () A.130° B.100° C.50° D.65 第6题图 变式题图 [变式]如图，在△ABC中，∠BIC=125°，I 是内心，O是外心，则∠BOC的度数为() A.130° B.135° C.140° D.145° 7.如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的 内切圆，则⊙O的半径为 8.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分 别相切于点D,E,F,且AB=18cm,BC= 28cm,CA=26cm,求AF,BD,CE的长. B能力综合练 练思维、 9.(2024·泸州)如图，EA,ED是⊙O的切线，切点 分别为A,D,点B,C在⊙O上.若∠BAE+ ∠BCD=236°，则∠E的度数为 () A.56° B.60° C.68° D.70° 10.将一把直尺、含60°角的直角三角尺和光盘按 (2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最 如图所示的方式进行摆放，A为直角三角尺 小半径是多少？ 的60°角与直尺的交点，且AB=3,则光盘的 直径是 ( A.3 B.3√3 C.6 D.63 60入 A B 第10题图 第11题图 11.(教材P56习题T6变式)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，点O是内心.若CO=2,△ABC 的周长为16，则△ABC的面积为 () A.16√2B.8√2 C.16 D.32 12.如图，一块等腰三角形钢板ABC的底边长为 80cm,腰长为50cm. (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径； 变式微专题2三角形的内心及内切圆的半径 方法指导如图，在△ABC中，AB,BC,CA的长分别为c,a,b,△ABC的内切圆⊙O的半径为r,△ABC的面 积为S. r=a+b-c 2S 2 a+b+c 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 B B 第1题图 第3题图 2.已知△ABC的周长为1，其内切圆的面积为πr2,则△ABC的面积为 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点I是△ABC的内心，AC=8,BC=6,则AI= 第27章圆61