2.4 第1课时 利用二次函数解决面积及抛物线型问题（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数的应用，核心知识点为利用二次函数解决面积及抛物线型问题。课堂通过矩形铁丝围框、桥拱截面等实际情境导入，衔接二次函数性质，搭建从实际问题抽象函数模型的学习支架。 其特色在于以分层练习（知识分点练、能力综合练、拓展探究练）为框架，通过篱笆围花圃求最大面积、隧道截面判断汽车安全通过等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界（抽象能力、几何直观），用数学思维分析问题（推理能力、运算能力），用数学语言表达关系（模型意识）。学生能提升应用能力，教师可借助分层设计高效教学。

初中数学 九年级下册·（BS版） 第二章　二次函数 4　二次函数的应用　 第1课时　利用二次函数解决面积及抛物线型问题 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 C 拓展探究练 知识点1　面积问题 1. 用一段20 m长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边 长为x m，面积为y m2，则y与x之间的函数关系式为（　B　） A. y＝x2－10x B. y＝－x2＋10x C. y＝x2－20x D. y＝－x2＋20x B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 2. （教材P47习题T1变式）如图，用总长度为12 m的不锈钢材 料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横挡和竖挡分别 与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为 ⁠. 4 m2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 3. （2024·铁岭西丰期末）如图，有长为24 m的篱笆，一面利 用墙（墙的长度为9 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. 设花圃的AB边为x m，面积为y m2. （1）y与x之间的函数关系式为 ，x的取值 范围是 ⁠； y＝－3x2＋24x　 5≤x＜8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 （2）如果要围成面积为36 m2的花圃，求此时AB的长； 解：（2）由题意，得－3x2＋24x＝36，即x2－8x＋12＝0， 解得x1＝6，x2＝2（舍去）， ∴此时AB的长为6 m. 3. （2024·铁岭西丰期末）如图，有长为24 m的篱笆，一面利 用墙（墙的长度为9 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. 设花圃的AB边为x m，面积为y m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 （3）求所围成的花圃的最大面积是多少平方米. 解：（3）∵y＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋ 48，且－3＜0，5≤x＜8，∴当x＞4时，y随x 的增大而减小， ∴当x＝5时有最大值，最大值为45， ∴所围成的花圃的最大面积是45 m2. 3. （2024·铁岭西丰期末）如图，有长为24 m的篱笆，一面利 用墙（墙的长度为9 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. 设花圃的AB边为x m，面积为y m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 知识点2　抛物线型问题 4. 如图，某桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数表达 式为y＝－ x2.当水面宽度AB为20 m时，水面到桥拱顶的高 度DO为　（　B　） A. 2 m B. 4 m C. 10 m D. 16 m B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 5. 一座抛物线型拱桥如图所示，当拱顶离水面2 m 时，水面宽 度为4 m.若水面上升1.5 m，则水面宽度为 m. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 6. （教材P48习题T3变式）如图，一条隧道的截面由一段抛物 线和一个矩形组成，矩形的较长边AB为20 m，较短边AE为2m，抛物线的最高点C到地面EF的距离为6 m，隧道内的路面为双向行车道（正中间是一条宽为2 m的隔离带）. （1）连接AB，若以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立平面直角坐标系，试求出抛物线的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 解：（1）如图，以点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.根据题意，得A（－10，0），B（10， 0），C（0，4）. 设抛物线的表达式为y＝ax2＋4.将点A （－10，0）的坐标代入，得100a＋4＝0，解得a＝－0.04， ∴抛物线的表达式为y＝－0.04x2＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 6. （教材P48习题T3变式）如图，一条隧道的截面由一段抛物 线和一个矩形组成，矩形的较长边AB为20 m，较短边AE为2m，抛物线的最高点C到地面EF的距离为6 m，隧道内的路面为双向行车道（正中间是一条宽为2 m的隔离带）. （2）现有一辆满载货物的汽车，已知汽车高为5 m，宽为2m，它能安全通过该隧道吗？请说明理由. 解：（2）能.理由如下： 当x＝3时，y＝－0.04×32＋4＝3.64， 3.64＋2＝5.64＞5，∴能安全通过该隧道. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 7. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过 s时，四边形APQC的面积最小. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 8. 一座拱桥如图1所示，以左侧桥墩与水面接触点为原点建立 平面直角坐标系，其抛物线型桥拱的示意图如图2所示，经测 量得水面宽度OB＝20 m，拱顶A到水面的距离为5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 （1）求这条抛物线的表达式. 解：（1）根据题意，得顶点A的坐标为（10，5）. 设抛物线的表达式为y＝a（x－10）2＋5. 把点（0，0）代入，得0＝100a＋5，解得a＝－ ， ∴这条抛物线的表达式为y＝－ （x－10）2＋5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 （2）为迎接节日，管理部门在桥下以相邻两盏灯笼悬挂点的 水平距离间隔1.6 m的方式对称地悬挂了11个长为40 cm的灯 笼，中间的灯笼正好悬挂在A处，为了安全，要求灯笼的最低 处到水面的距离不得小于1 m.根据气象局预报，节日期间将会 有一定量的降雨，桥下水面会上升30 cm，请通过计算说明， 现在的悬挂方式是否安全. 8. 一座拱桥如图1所示，以左侧桥墩与水面接触点为原点建立 平面直角坐标系，其抛物线型桥拱的示意图如图2所示，经测 量得水面宽度OB＝20 m，拱顶A到水面的距离为5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 解：（2）由题意，得最左侧灯笼悬挂点到点A的水平距离为 1.6×5＝8（m）， ∴它的横坐标为10－8＝2. 当x＝2时，y＝－ ×（2－10）2＋5＝1.8. ∵1.8－0.4－0.3＝1.1＞1， ∴现在的悬挂方式是安全的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， AC＝5 cm，BC＝ cm，点E从点A出发，以2 cm/s的速度沿 AD→DC向终点C运动，过点E作EF∥AC与边BC相交于点F （点F不与点C重合），与CD相交于点G. 设点E的运动时间 为t（单位：s），△CGF的面积为S（单位：cm2）. （1）求AD，CD的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm， BC＝ cm，∴AB＝ ＝ （cm）. ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∵S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，∴CD＝3 cm. 在Rt△ACD中，AC＝5 cm， CD＝3 cm，∴AD＝4 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 （2）求S关于t的函数表达式，并直接写出自变量t的取值范 围. 解：（2）由（1），得BD＝ AB－AD＝ cm. ①当0＜t≤2时， 依题意，得AE＝2t cm，DE＝ （4－2t）cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 ∵EF∥CA，∴ ＝ ，∴CF＝ t cm. ∵tan∠GCF＝ ＝ ，∴GF＝ t cm， ∴S＝ CF·FG＝ × t× t＝ t2. ②如图，当2＜t≤ 时，由（1），得CG＝（7－2t）cm. ∵ sin ∠GCF＝ ＝ ＝ ， cos ∠GCF＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 ∴GF＝ cm，CF＝ cm， ∴S＝ CF·FG＝ （7－2t）2. 综上所述，S关于t的函数表达式为 S＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 上一页 下一页 谢谢观看 $