第2章 二次函数章末复习&中考新趋势（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第2课时利用二次函数解决销售利润问题 1.B2.A 3.(1)y=-x十140(40≤x≤80) (2)当护眼灯的销售单价定为80元时，商店每月出售这种 护眼灯所获的利润最大，最大月销售利润为2400元 4.B 5.(1)y=-10x+280(8≤≤x≤12) (2)w与x之间的函数关系式为w=-10(x-17)2+1210 (8≤x≤12)，当x的值为12时，日销售利润最大，最大利 润为960元 6.(1)每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽的进价为 30元 (2)y关于x的函数表达式为y=一2x2十280x一8000 (50≤x≤65)，最大利润为1750元 1 7.(1)y=-2t+40(20<1≤40) (2)第14天的日销售利润最大，最大日销售利润为578元 5二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 1.A【变式】(-5,0)，(3,0)2.D3.9 4.x,=-1,x,=3【变式】直线x=一4 7 5.(1)x1=-1,x2=3(2)x1=-2,x2=4 (3)x1=x2=1(4)无实数根 6.解：(1)证明：令y=0,得x2-mx十m-2=0, ∴.△=(-m)2-4(m-2)=(m-2)2十4. ,(m-2)2≥0， .(m一2)2十4>0，.无论m为何值，方程总有两个不相等 的实数根， .无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)m1=3,m2=-1 7.C8.D【变式】k≤2且k≠19.D10.D11.B 12.(1)x1=-3,x2=-1(2)-3<x<-0.5(3)2 13.解：(1)函数图象如图所示. VA -1--1 4-3-2-01234 -1 -2 -- 3 4 (2)-1<x<0或x>1(3)①33②2 ③0<n<1 第2课时利用二次函数的图象求一元 二次方程的近似根 1.-0.010.026.186.196.18<x<6.19 答 2.D3.C4.4<x2<5 6 5.y=x y=x2-3 6.解：(1)二次函数y=x2一2x的大致图象如图所示. =x2-4x+5 (2)x1=-0.4,x2=2.4. (3)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2一4x十5的 大致图象如图所示。 观察图象可知，抛物线y=x2一4x十5与x轴没有交点， 一元二次方程x2十5=4x无实数根. 章末复习 【高频考点精练】 1.(1)向上(2)x=1(3)0-4(4)4或-2 (5)(0,-3)两(-1,0)，(3,0)x<-1或x>3 (6)y3>y1=y2(或y1=y2<y3) (7)y=(x十1)2-3（或y=x2+2x-2) 2.A3.D4.D 5.(1)y=x2-4x+1(2)y=x2-2x+4(3)y=x2-5.x+6 6.c 7.x1=一1，x2=4【解析】解法1（利用二次函数图象的对 称性)： 3 :抛物线y=ax2-3ax十4的对称轴为直线x=2,与x 轴的其中一个交点的坐标为（一1,0）， ,利用对称性可得，抛物线与工轴的另一个交，点的坐标为 (4,0), ∴.方程ax2一3ax十4=0的根为x1=一1，xg=4. 解法2（利用根与系数的关系）： 由题意知，a≠0，方程ax2一3ax十4=0的一个根为x1= -1, .设另一根为x2, 则x1十x2=一 一30=3， a x2=4, .方程ax2一3ax十4=0的根为x1=一1，x2=4. 解法3（求参解方程）： 将x=-1代入方程ax2-3a.x十4=0， 得a十3a十4=0，解得a=-1. 解方程-x2十3x十4=0，得x1=一1，x2=4. 8.(1)A款“哪吒”纪念品每个的进价为40元，B款“哪吒” 纪念品每个的进价为20元 案6· (2)至少需要购进B款“哪吒”纪念品200个 (3)W关于a的函数表达式为W=-5(a-70)2+4500 (60≤a≤100)，W的最大值为4500 1 9.a)y=-i6x2+4(2)12m 10.(1)该二次函数的表达式为y=x2-2x一3，该函数图象的 对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一4) 9 (2)(1,-2)(3)m=4 (④)四边形ABFC面积的最大值为行，此时点F的坐标为 (受》 (5)存在. 点Q的坐标为(3，一4)或(5一1，√5) 【易错易混专练】 1.B2.2【变式】士23.B【变式1】C【变式2】1或5 4.y=-(x-2)2-2(或y=-x2+4x-6)【变式】A 5.-1或8 【变式】1或-号 6.y1<y2<y37.①③④ 中考新趋势 1.100 (2)20m/s(3)小明的说法不正确.理由略 2.解：(1)③ (2),一次函数y=kx十b(≠0)是“不动点函数”， .代入点(m,m),得m=mk十b, 整理，得(1一k)m=b. 当1一k≠0，即k≠1且k≠0时，b为任意实数； 当1一k=0,即k=1时，b=0. (3)由抛物线y=x2一2bx十c=(x-b)2十c-b2,得 顶点坐标为(b,c一b2). ,抛物线y=x2一2bx十c的顶点为该函数图象上的一个 不动点，∴.b=c一b2. (4)由题意，得y=(x-6)(12-x)=-x2十18x-72. 令x=-x2十18x-72,整理，得x2-17x十72=0， 解得x1=8,x?=9, 该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为在这 段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售 单价相等. 第三章圆 1圆 1.D 2.0A,OB.OC AC.AB.BC AC AB,BC BCA 3.C4.B【变式】D5.806.上<6>6 7.B【变式1】2.5【变式2】2 8.(1)r=4(2)3<r<4 9.C10.5.5cm或2.5cm11.3<r<512.a=b=c ·答 13.证明：如图，取BC的中点O,连 接OE,OD. ,BD,CE是△ABC的两条高， 1 OE-OB-OC-2 BC 0D=0B=0C=2BC, ..OB=OC=OD=OE, .B,C,D,E四点在以点O为圆心、OB的长为半径的 圆上. 14.54 15.(1)⊙M的半径为5，圆心M的坐标为(4,3) (2)点C在⊙M上.理由略 2圆的对称性 1.C2.2x3.B4.55°【变式1】D【变式2】55 【变式3】40°【变式4】35 5.①②③④ 6.AD=CE.理由略 7.证明：'AC=BC,∠AOC=∠BOC, ∴∠AOE=∠BOE. OA,OB是⊙O的半径，∴.OA=OB. OA=OB, 在△AOE和△BOE中，3∠AOE=∠BOE, OE-OE, ∴.△AOE≌△BOE(SAS),∴.AE=BE 8.B9.①②③④10.90°3√2 11.证明：如图，连接AG. 在□ABCD中，，AD∥BC, ∠GAF=∠AGB,∠B=∠EAF. 在⊙A中，AB=AG, ∴.∠AGB=∠B, ·∠EAF=∠GAF,:.EF=FG. 12.证明：如图，连接OC,OD :AB是⊙O的直径，M,N分别是 AO,BO的中点，∴.OM=ON .'CM⊥AB,DN⊥AB, .∴.∠OMC=∠OND=90. (OM=ON, 在Rt△OMC和Rt△OND中， OC=OD, ∴.Rt△OMC≌Rt△OND(HL), ∠COM=∠DON,∴.AC=BD. 13.2 *3垂径定理 1.C2.A3.B4.3≤OM≤55.B6.1207.5 8.8或2【变式】7或179.D10.B11.A12.B 37章末 4←高频考 考点1二次函数的图象、性质及平移 1.【一题多问】已知二次函数的表达式为y=x2 2x一3，请解答下列问题： (1)二次函数的图象开口 (2)二次函数图象的对称轴为直线 (3)该二次函数在0≤x≤3的取值范围内，最 大值为 ,最小值为 (4)若点(m,5)在该二次函数的图象上，则m 的值为 (5)该二次函数的图象与y轴的交点坐标为 ,与x轴有 个交点，交点坐标为 ,不等式x2一2x一3>0的解集 为 (6)若点A(3,y1),B(-1,y2),C(-2,y3)在 该二次函数的图象上，则y1,y2,y3的大小关系 是 (7)该二次函数的图象先向左平移2个单位长 度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表 达式为 2.二次函数y=ax2十bx十c的图象如图所示，则 反比例函数y=a%与一次函数y=一ax十2a 在同一平面直角坐标系内的图象大致是( 复习 ▣ 点精练，> ▣数 错题本 3.(2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2-2ax十a一3(a≠0)的图象与x轴有 两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧， 则下列关于该函数的结论正确的是() A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于一3 D.当x=2时，y<0 4.(2025·泸州)已知抛物线y=ax2十bx十c的对 称轴为直线x=1,与y轴的交点位于x轴下 方，且当x=一1时，y>0,下列结论正确的 是 ( ) A.2a=b B.b2-4ac<0 C.a-2b+4c<0 D.8a+c>0 考点2确定二次函数的表达式 5.已知二次函数y=x2十bx十c. (1)若二次函数过点(0,1)，(2，一3)，则二次函 数的表达式为 (2)若二次函数的顶点坐标为(1,3)，则二次函 数的表达式为 (3)若二次函数过点(2,0)，(3,0)，则二次函数 的表达式为 考点3二次函数与一元二次方程的关系 6.将二次函数y=2x2十4x一1的图象向上平移， 得到的函数图象与x轴只有一个公共点，则平 移的距离为 () A.1个单位长度 B.2个单位长度 C.3个单位长度 D.4个单位长度 7.【一题多解】已知抛物线y=ax2一3ax十4与x 轴交于两点，其中一点的坐标为（一1,0），则方 程ax2-3ax十4=0的根为 第二章二次函数41 考点4二次函数的实际应用 8.(2025·内江)某商家推出A,B两款“哪吒”纪念 品.已知购进A款200个、B款300个，需花费 14000元；购进A款100个、B款200个，需花 费8000元. (1)A,B两款“哪吒”纪念品每个的进价分别为 多少元？ (2)如果该商家计划用不超过12000元的资金 购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至 少需要购进B款“哪吒”纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款“哪吒”纪 念品售价60元时，可售出200个，售价每增加 1元，销售量将减少5个.设每个A款“哪吒”纪 念品售价a(60≤a≤100)元，该商家销售A款 “哪吒”纪念品的利润为W元，求W关于a的 函数表达式，并求出W的最大值. 42一本·初中数学9年级下册BS版 9.(2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意 图如图所示，顶部L1、左门洞L2、右门洞L3均 呈抛物线型，水平横梁AC=16m,L1的最高点 B到AC的距离BO=4m,L2,L3关于BO所 在直线对称.MN,MP,NQ为框架，点M,N 在L1上，点P,Q分别在L2,L3上，MN∥AC, MP⊥AC,NQ⊥AC.以点O为原点，以AC所 在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平 面直角坐标系 (1)求抛物线L1的函数表达式； (2)已知抛物线L,的函数表达式为y=一3( 16 4),NQ=2m,求MN的长。 考点5二次函数的综合应用 10【一题多问】如图，二次函数y=x2十bx十c的图象与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点 C(0,一3)，顶点为M. [基础设问](1)求该二次函数的表达式，并写出该函数图象的对称轴和顶点坐标 [能力设问](2)若E是对称轴上的一动点，当△EAC的周长最小时，求点E的坐标. (3)将直线BC向下平移m个单位长度，平移后的直线与抛物线有且仅有一个公共点，求m的值. (4)在第四象限的抛物线上有一点F,求四边形ABFC的面积的最大值及此时点F的坐标 [拓展设问](5)连接AC,若P为直线BC下方抛物线上一动点，过点P作AC的平行线L,交线段 BC于点N.在直线l上是否存在点Q,使得以A,C,N,Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由. y 第二章二次函数43 4易错易 ?易错点1忽略二次项系数的限制条件 1.若函数y=(m十2)xm-2十2x一3的图象是抛 物线，则m的值为 A.-2 B.2 C.4 D.±2 2.已知二次函数y=mx2十x+m(m一2)的图象 经过原点，则m的值为 [变式]若二次函数y=ax2+bx十a2-2(a, b为常数)的图象如图所示，则a的值为 ?易错点2对二次函数图象的变换规律理解不透 3.有一种变换是将抛物线向右平移2个单位长度 或向上平移1个单位长度，我们把这种变换称 为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简 单变换后得到的一条抛物线的表达式为y x2+1,则原抛物线的表达式不可能的是() A.y=x2-1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17 [变式1]若抛物线y=x2一2x+3不动，将 平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移 1个单位长度，再沿铅直方向向上平移3个单位 长度，则原抛物线的表达式应变为 () A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2+5 C.y=x2-1 D.y=x2+4 44一本·初中数学9年级下册BS版 混专练· [变式2]将抛物线y=(x+3)2先向下平移 4个单位长度，再向右平移 个单位长 度后，得到的新抛物线经过原点 4.(2024·宿迁沭阳月考)将抛物线C1:y=x2 2x十3向右平移1个单位长度，得到抛物线 C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛 物线C3的表达式为 [变式]将抛物线y=一x2一2x十3先沿 x轴对折，再向右平移1个单位长度，得到的新 抛物线必定经过 () A.(-1,-3) B.(1,3) C.(2,-0.5) D.(-2,0.5) 9易错点3函数图象与坐标轴交点问题，因考 虑不全漏解而致错 5.若函数y=(m+1)x2一3x+2的图象与x轴 只有一个交点，则m的值为 [变式]已知函数y=m.x2+3m.x+m-1的 图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值 为 9易错点4对二次函数的图象与性质无数形结 合意识，理解不透 6.在平面直角坐标系xOy中，已知点(n一2，y1), (n-1,y2),(n十1，y3)在抛物线y=ax2 2ax-2(a<0)上.若0<n<1,则y1,y2,y3的 大小关系为 .(用“<”连接) 7.(2025·德阳改编)已知抛物线y=ax2十bx十c (a,b,c是常数，a>0)过点(1,0)，(m,0),且 2<m<3,该抛物线与直线y=kx十c(k,c是 常数，k≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点 (点A在点B左侧).有下列说法：①bc<0; ②3a十b>0;③若点A'是点A关于直线x= a的对称点，则3<AA'<4:①当，=4时， 不等式ax2十(b一k)x<0的解集为0<x<4.其 中正确的是 .(填序号) 中考新 1.【新情境·跨学科】(2024·河南)从地面竖直向 上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式 h=一5t2十vot,其中t(s)是物体运动的时间， vo(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时， 科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射 小球. (1)小球被发射后 s时离地面的高度 最大.（用含v的式子表示） (2)若小球离地面的最大高度为20m,求小球 被发射时的速度 (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高 度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两 次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m,请判 断他的说法是否正确，并说明理由 2.【新考法·新定义】(2025·江西)[问题背景]对于 一个函数，如果存在自变量x。=m时，其对应 的函数值y。=m,那么我们称该函数为“不动 点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不 动点.例如，在函数y=x2中，当x=1时，y=1, 则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点(1,1) 为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小 组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了 相关探究. [探究1] (1)对一次函数y=kx十b(k≠0)进行探究后， 得出下列结论： 趋势 ①y=x十2是“不动点函数”，且只有一个不动 点；②y=一3x十2是“不动点函数”，且不动点 是（号，0）：③y=x是“不动点函数”，且有无数 个不动点 以上结论中，你认为正确的是 (填序号). (2)若一次函数y=kx十b(k≠0)是“不动点函 数”，请直接写出k,b应满足的条件. [探究2] (3)对二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)进行探 究后，该小组设计了下面的问题，请你解答.若 抛物线y=x2一2bx十c的顶点为该函数图象 上的一个不动点，求b,c满足的关系式 [探究3] (4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间 内，若以每件x元出售，可卖出(12一x)件，获 得利润y元.请写出y关于x的函数表达式，判 断该函数是不是“不动点函数”若该函数是“不 动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动 点表达的实际意义. 第二章二次函数45