专题7 “共端点共线”的两条线段的数量关系&专题8 相似模型—母子型与母子Rt型（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

专题⑦ “共端点共线 【理论基础】当在已知条件或者要求的结论 中出现公共端点且这两条线段在同一条直线 上时，如图1，已知C为线段AB上的一点， 且AC=kBC(结论亦可)，可尝试作如下 处理： (1)把AC,BC或AB其中一条线段放在一 个三角形中，如图2，把BC放到△BCD中； (2)过第三个点(A)作已知三角形（△BCD) 两条边的平行线(BC除外) 这样我们会得到“A字型”相似模型（图3）， 或者“8字型”相似模型（图4） D 图1 ☒2 图3 图4 【例】（一题多解）如图，C,E分别是线段BD, AD上的点，且BC=DC,DE=2AE,BE与 AC交于点P,求的值（至少用两种方法 证明). 的两条线段的数量关系 1.(1)如图1，在△ABC中，BE是边AC上的 中线，店D在边BC上，肥-号，AD与 BE交于点P,则品的值为 (2)如图2，在△ABC中，点D在BC的延 长线上，BC BD 3 =2,点E在边AC上，且 距-延长BE交AD于点P,则S的 值为 (3)如图3，在△ABC中，点D在BC的延 长线上，肥2，点E在AC的延长线上， BD 3 AE 7 且CE 2延长BE,AD交于点P,则AP PD 的值为 图1 图2 图3 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边 BC上，且CD=2BD,连接AD,E是AD 上的一点，过点C作CE⊥AD于点E,且 F为BC的中点，连接BE,EF.求证： ∠BED=∠FED. 第二十七章相似9 专题8 相似模型一 ·模型展示 图形 母子型 母子Rt型 特征 ∠ABD=∠C ∠BAC=90°，AD⊥BC ①△ABC∽△DBAP ①△ABD∽△ACB; △DAC; 结论 ®AD=AB=DB AC BC ②AB2=BD·BC; ③AB2=AD·AC ③AC2=CD·BC; ④AD2=BD·CD 1.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠B= ∠ACD,则图中相似的三角形有( A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 C 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O 交AB于点D,连接CD.若∠BCD=∠A, BC=10,BD=6,则AC的长为() A.4 B.8 C.16 D. 3.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC= 1,以点B为圆心，BC的长为半径画弧与 AC交于点D,则AD的长为 ( 1 N.2 2 C.-1+6 2 D.-15 2 10 一本·初中数学9年级下册RJ版 母子型与母子Rt型 4.(2025·合肥五十中期中)如图，在正方形 ABCD中，CD=4,F为射线AB上的一个 动点，连接DF,过点A作AE⊥DF,垂足 为E,连接CE,CF. (1)DE·DF= CF (2)D示的最小值为 B F 第4题图 第5题图 5.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°， AC=7,BC=9,M是△ABC内部一点，连 接AM,BM,CM.若CM=3,则AM+ 专BM的最小值为 6.如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上， 连接DE并延长，交AB的延长线于点F, 连接AC交DE于点P,连接BP. (1)求证：PB2=PE·PF; (2)若AD=6,PB=2PE,求BF的长. D 7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边 AB上的一点，连接CD,过点B作BE⊥ CD于点E. (1)求证：△BDE∽△CBE; (2)如果AB=BC,连接AE并延长，交边 BC于点F,当F是BC的中点时，求证： BD2=AB·AD. D 8.如图，在△ABC中，D为边AB上的一点， 连接CD. (1)初步探究：如图1，若∠ACD=∠B,求 证：AC2=AD·AB; (2)尝试应用：如图2，在(1)的条件下，若D 为AB的中点，BC=2√2，求CD的长； (3)(一题多解)创新提升：如图3，E为CD 的中点，连接BE,若∠CDB=∠CBD= 30°，∠ACD=∠EBD,AC=2√2I,求BE 的长 图1 图2 图3 第二十七章相似11专题7“共端点共线”的两条 线段的数量关系 【例】略 h. ,(2)1(3)3 2.证明：如图，过点C作CM∥ BE交ED的延长线于点M,延 长EF交CM于点N,则 B △BDE△CDM,∠BED= ∠M,∠EBF=∠NCF, 0熙- :F为BC的中点，BF=CF 又，∠BFE=∠CFN, ∴.△BFE≌△CFN(ASA),∴.BE=CN, 8N为CM的中点 又，∠CEM=90°，.NE=NM,.∠M=∠FED, .∠BED=∠FED. 专题8相似模型一母子型与母子Rt型 102D3c4.16(e52552 6.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD=AD,∠DCP=∠BCP,AD∥ BC,CD∥AB,∴.∠CDP=∠F. (CD=CB 在△DCP和△BCP中，∠DCP=∠BCP, CP=CP, ∴.△DCP≌△BCP(SAS), ∴∠CDP=∠CBP,∴∠CBP=∠F. 又'∠BPE=∠FPB,∴△BPE∽△FPB, 器器PB=pEPm BE PE (2)由(I),得△BPE∽△FPB,心BF-PB :PB=2PE,距- BE PE1 AD∥BC,∴.△BEF△ADF, BE BF AD AF ÷Bs0名AP-2AD 又AB=AD=6,.AF=12, ∴.BF=AF-AB=6. 7.证明：(1)BE⊥CD,∴.∠CEB=∠BED=90°， .∠ECB+∠CBE=90. ∠ABC=90°， ∴.∠DBE+∠CBE=90°， ∴∠ECB=∠DBE,△BDE∽△CBE. ·答案 (2)如图所示. ,BE⊥CD,F是BC的中点， .CF=EF,∴∠ECF=∠CEF. 由(1)，知∠ECB=∠DBE. :∠CEF=∠AED, ∴∠AED=∠ABE. ∠EAD=∠BAE, AE ED AD △AED∽△ABE,AB-BE-AE1 由(1)，知△BDE∽△CBE, 器0船品 .AB=BC, AE=BD,即BD=AB·AD. 8.解：(1)证明：，'∠A=∠A,∠ACD=∠B, .△ACDp△ABC, 六AC-ABAC=AD·AB. AD AC (2)D为AB的中点，∴AD=BD. 设AD=BD=m,则AB=2m. 由(1)，得△ACD△ABC, CD AD AC 六BC-ACAB' .AC2=AD·AB=m·2m=2m2, ∴AC=√2m或AC=一√2m(不符合题意，舍去)， .CD_AC_m BC AB 2m 2 :BC=2√2， ∴cD-号c-号x22=2 2 (3)解法1：如图，过点B作BF⊥DC交DC的延长线 于点F,则∠F=90°，过点C作CH∥EB交AB的延 长线于点H,则△HDC∽△BDE. B 5H ,E为CD的中点，.CE=DE 设CE=DE=n. :∠CDB=∠CBD=30°， ∴.CB=CD=2n,∠BCF=∠CDB+∠CBD=60°， ∠FBC=90-∠BCF=30,CF-号BC=, ∴.EF=CE+CF=2n,BF=√CB2-CFz=√3n, ∴.BD=2BF=2√3n,BE=√EF2+BFz=√7n. :△HDCo△BDE,HC=HD-DC-2m=2, ·BE BD DE n ∠H=∠EBD, ∴.HC=2BE=2√7n,HD=2BD=4W3n. ,∠ACD=∠EBD,∴.∠ACD=∠H. 12· ∠A=∠A,.△ACD∽△AHC, 是器院，号 :AC=2√/2I, .AD-AC-2.AH-/TAC- .HD=AH-AD=12√3，即43n=12√3， 解得n=3,∴.BE=√7n=3√7】 解法2：如图，取BD的中点M,连接CM,EM. M ,E为CD的中点， .EM是△BCD的中位线，∴.EM∥CB. :∠CDB=∠CBD=30°， ∴.CD=CB,∠EMD=∠CBD=30°， .CM⊥BD,∠ADC=∠BME=180°-30°=150°. :∠ACD=∠EBD, AC CD △ACD∽△EBM,EB-BM ∠CMB=90°，∠CBM=30°， .'CD=CB=2CM. 设CM=x,则CD=CB=2x, ∴.BM=√CB2-CM=√3x, 品器后后 ·BEB AC=-3v7. 专题9相似模型 线三等角模型 1c2c3.040@059 6.解：(1)证明：AB=AC,∠B=∠C. :∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE, ∠ADE=∠B, ∴.∠BAD=∠CDE,∴.△ABDD△DCE (2)2或4 7.解：(1)△ABC是等边三角形，∴∠B=60°. DF⊥BC,∴.∠DFB=90°， ∴.∠ADF=∠B+∠DFB=150°. 由折叠的性质，得∠ADE=∠ADF=75S (2)△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C, AB=AC=BC=5. .BF CF=1:4,..BF=1,CF=4. 由折叠的性质，得∠DFE=∠A=∠B,AD=DF, AE=EF. I∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠BDF+∠B, ∴.∠EFC=∠BDF. ·答多 ,∠B=∠C,∴△BFD∽△CEF, 8E-E-80 设AE=EF=x,则CE=5-x, 写阳-即B0=4m克 4 .AB=AD+BD=DF+BD, 7 经检脸，2-子是原分或方程的解，AE- 7 8.解：(1)证明：：∠DPC=∠A=∠B=90°， ,∴.∠APD+∠BPC=90°，∠ADP+∠APD=90°， ∴.∠BPC=∠ADP. ∠A=∠B=90°，∴.△ADP∽△BPC, .AD AP 六BP=BCAD·BC=AP·BP. (2)5(3)10 专题10相似模型一手拉手旋转模型 1.B2.c3.C 4.解：(1)①1②40° (2):∠COD=∠AOB=90°， '.∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD, ∴.∠AOC=∠BOD. 又品 =3,∴.△AOC∽△BOD, 6 =3,∠CAO=∠DBO. ∠APM=∠BPO, .∠AMB=180°-∠CAO-∠APM=180°- ∠DBO-∠BPO=∠AOB=90° 5.解：如图，连接AC. D B E 四边形ABCD是矩形，∴∠B=90 设AE=a,则AF=√J3a! .∠AEF=90°，∴.EF=√AF2-AE2=√2a, 脂-得-2器提 .BC AB ∠B=∠AEF=90°，∴△ABC∽△AEF, ÷AeAS∠BAC-∠BA ÷记沿∠BAE-∠CM. .BE AB △ABEn△ACF,CF=AC 设AB=b,BC=√2b,则AC=√5b, .cF_5b=3. BE=b 13·