28.2.2 第2课时方向角、坡度与解直角三角形（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

第2课时 方向角、 A 知识分点练 夯基础 知识点1方向角问题 1.如图，海中有一小岛A,在B处测得小岛A在北 偏东30°方向上，渔船从B处出发由西向东航行 l0 n mile到达C处，在C处测得小岛A恰好在正 北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ) A.103 20√3 3 n mile B.3n mile C.20 n mile D.10√3 n mile 北 160° 东 309 459 第1题图 第2题图 2.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方 向，距离灯塔C60 n mile的小岛A出发，沿正 南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南 偏东45°方向上的B处，这时轮船与小岛A的 距离是 ( A.30√3 n mile B.60 n mile C.120 n mile D.(30+30√3)n mile 3.如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离，某 数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得 点A,B均在点C的北偏东37°方向上，沿正东 方向行走90m至观测点D,测得点A在点D 的正北方向，点B在点D的北偏西53°方向上 求A,B两点间的距离.（参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 北 →东 379 46一本·初中数学9年级下册RJ版 坡度与解直角三角形 知识点2坡度、坡角问题 4.如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC= √3m,水平距离BC=1m,则斜坡AB的坡度 为 () A√3 B D.60 5 C.30° B 第4题图 第5题图 5.(教材P78习题T5变式)如图，在坡度为1：2的斜 坡上有两棵树AC,BD,已知两树间的坡面距 离AB=2√5m,那么两树间的水平距离为 m. 6.一座人行天桥的示意图如图所示，已知天桥的 高度CD=6m,坡面BC的倾斜角∠CBD= 45°，距点B8m处有一建筑物MN,为了方便 行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面 BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新 坡面AC的倾斜角∠CAD=30°.如果新坡面底 端A处与建筑物MN之间需要留出至少3m 宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请 说明理由.（结果精确到0.1m,参考数据：√2≈ 1.41w3≈1.73) M B能力综合练 练思维 7如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测 量一座与地面垂直的古塔AB的高度.他从古 塔AB的底部点B处前行30m到达斜坡CE 的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达 最佳观测点D处，从点D处测得塔顶点A处 的仰角为30°.已知斜坡CE的坡度i=1:√3， 且点A,B,C,D,E在同一平面内，则小明同学测 得古塔AB的高度是 m. E D30 B 8【新情境·地方特色】周末爬大蜀山，是合肥市 民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一.如图， 某个周末小张同学从点B处沿坡角为37°的山 坡爬了280m,到达点E处，紧接着沿坡角为 45°的山坡又爬了160m,到达山顶A处.请你 计算大蜀山的高度.（结果精确到1m,参考数 据：√2≈1.414，√5≈1.732，sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) A E45° 3 C拓展探究练 提素养 9.【新情境·现代科技】(2025·重庆)为加强森林 防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种 方式监测森林情况.如图，A,B,C,D在同一平 面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机 位于A的正东方向10km的B处，乙无人机 位于A的南偏西30°方向20km的D处.两无 人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方 向，B位于C的北偏西30°方向. (1)求BD的长度. (2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿 BC,DC往C处进行巡视，乙无人机的速度为 甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20km 时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人 机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相 互接收到信号？ (结果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41， √/3≈1.73，√/5≈2.24，W7≈2.65) R 北 A 304 东 309 C 第二十八章锐角三角函数47 数学活动一 测宽 (2025·广东)[阅读材料]如图1，在锐角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则有 sinA一sin Bsin C这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题. b [问题提出]万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地，其局部平面示意图如图2所示.某综合 与实践小组想要知道湖中A,B两岛间的实际距离，由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小 组对这一问题进行了探究： 6 B 图1 图2 [方案设计]工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度），如图3所示 测角仪 测距仪 无人机 图3 图4 测量过程： 步骤1：如图4，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得BC≈341m,AC≈388.5m. [问题解决](1)请你利用[阅读材料]中的结论计算A,B两岛间的距离.（参考数据：sin43°≈0.682， sin51°≈0.777，sin86°≈0.998) [评价反思](2)设计其他方案计算A,B两岛间的距离.要求：选用[方案设计]中的工具，写出你的方 案和计算过程. 48一本·初中数学9年级下册RJ版在R△ADE中，cOS∠DAE=AE AD' AE 30.030.0 .'.AD= cos∠DAE≈cos36.9°≈0.80 =37.5(m). 答：AD的长约为37.5m. 7.22.78.11648π 9.解：(1)如图，将测角仪放在点D处，CD为测角仪 的高度，用皮尺测量出点D到AB的距离为，用测 角仪测出点A的仰角为a,测出点B的俯角为B.(设 计方案不唯一，合理即可) (2)如图，过点C作CE⊥AB于，点E, 则四边形CDBE是矩形，∠ACE=a,∠BCE=B, .'.CE=BD=m,BE=CD, ∴.在Rt△BCE中，BE=CE·tan∠BCE=mtan B, 在Rt△ACE中，AE=CE·tan∠ACE=mtan a, .'.AB=AE+BE=m (tan a+tan B). 答：教学楼AB的高度为m(tana十tanB). 第2课时方向角、坡度与解直角三角形 1.D2.D 3.A,B两点间的距离约为96m 4.A5.4 6.解：该建筑物不需要拆除.理由如下： :∠CBD=45°，∠CDB=90°，CD=6m, ∴∠BCD=∠CBD=45°，∴.CD=BD=6m. :∠CAD=30°，∠CDA=90°， cD=6=63(m), ∴AD=an∠CAD 3 ∴.AN=BD+BN-AD=6+8-6W3≈3.6(m). :3.6>3,该建筑物不需要拆除。 7.(10√3+20) 8.大蜀山的高度约为281m 9.(1)BD的长度约为26.5km (2)甲无人机飞离B处约3.8km时，两无人机可以 开始相互接收到信号 数学活动—测宽 解：(1)∠A≈43°，∠B≈51°， .∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86°. BC AB 由题意，得 sin A sin C" .BC≈341m, :AB=BC:sinC≈BC·sin86°≈341×0.998 sin A sin43° 0.682 ·答多 499(m). 答：A,B两岛间的距离约为499m. (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平 面高度) 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C,使得△ABC是锐 角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得∠C 的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得BC= a m,AC=b m. D 计算过程： 如图，过点A作AD⊥BC于，点D,则∠ADC= ∠ADB=90°. :在Rt△ACD中，sinC=AD,c AC,cos C=CD AC, .'AD=bsin C m,CD=bcos C m, .'BD=BC-CD=(a-bcos C)m. 在Rt△ABD中，AD2十BD2=AB, ∴.AB=√(bsin C)2+(a-bcos C)'m. 答：A,B两岛间的距离为√bsin C)+(a一bcos C)7m. 章末复习 1 c 3 ①2 ⑧ ⑨1 2 ①2 ②√3 1.c2.D3.c4.) 6.c 7.(1)2 (2)48.C9.B10.B11.8 12 13.17 14.(1)岛A与港口B之间的距离约为4km (2)tanC≈2 8 15.(1)45°(2)(27+9W3)m 第二十九章投影与视图 29.1投影 1.B2.A3.东4.图25.A6.D 7解：如图所示，点O即为点光源，线段AB即为旗杆 的影长. 6.