28.2.2 实际问题中的三角函数 分类练习 2024-2025学年人教版九年级下册

实际问题中的三角函数 类型一：坡度问题 1．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由改为，已知原传送带长为4米． （1）求新传送带的长度；（结果保留根号） （2）如果需要在货物着地点的左侧留出2米的通道，试判断距离点5米的货物是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据：，， 2．如图，某校教学楼后方有一斜坡，已知斜坡的长为20米，坡角为， （1）求斜坡的水平长度是多少？ （2）根据有关部门的规定，时才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡进行改造，在保持坡脚不动的情况下，学校至少要把坡顶向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（参考数据：，，，，，，结果取整数． 3．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？ （可能用到的参考数值：，， 4．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼高，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，在楼底端点测得的仰角为，，在顶端点测得的仰角为， （1）求两楼之间的距离； （2）求发射塔的高度． 类型二：仰角和俯角问题 5．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的处与处之间悬挂了一幅宣传条幅，在乙楼顶部点测得条幅顶端点的仰角为，测得条幅底端点的俯角为，若甲、乙两楼之间的水平距离为12米． （1）甲楼比乙楼高多少米？ （2）求条幅的长度．（结果保留根号） 6．某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处测得树顶端的仰角为，已知点的高度为2米，台阶的坡度，且，，三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号） 7．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中为下水管道口直径，为可绕转轴自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径，为检修时阀门开启的位置，且． （1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中的取值范围； （2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达位置时，在点处测得俯角，若此时点恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位） ，，，，，， 类型三：方位角问题 8．如图，南海某海域有两艘外国渔船、在小岛的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船沿北偏东的方向航行至小岛的正东方向20海里处． （1）求渔船航行的距离； （2）此时，在处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中渔船在点的南偏西方向，渔船在点的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注结果保留根号） 9．如图，某海监船以60海里时的速度从处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在的西北方向的处，海监船航行1.5小时到达处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在的北偏西方向的处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里时的速度追击，在处海监船追到可疑船只，在的北偏西方向．（以下结果保留根号） （1）求，两处之间的距离； （2）求海监船追到可疑船只所用的时间． 10．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸处测得对岸处一棵柳树位于北偏东方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达处，此时测得柳树位于北偏东方向，试计算此段河面的宽度． 11．如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在处测得北偏东方向距离为40海里的处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东方向前往监视巡查，经过一段时间在处成功拦截可疑船只． （1）求的度数； （2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即长）？（结果精确到0.1海里，，， 【巩固练习】 1．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度、如图，测得，斜坡的长为6米，坡度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，点到旗杆底部的距离为4米． （1）求斜坡的坡角的度数； （2）求旗杆顶端离地面的高度的长． （参考数据：，，，结果精确到0.1米） 2．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为、、、在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． （1）求点到直线的距离（结果保留根号）； （2）若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，． 3．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处，测得顶端的仰角为（如图②所示），求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米） （参考数据：，，，， 4．如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树和教学楼的高，先在处用高1.5米的测角仪测得古树顶端的仰角为，此时教学楼顶端恰好在视线上，再向前走10米到达处，又测得教学楼顶端的仰角为，点、、三点在同一水平线上． （1）求古树的高； （2）求教学楼的高．（参考数据：， 5．如图，在大楼正前方有一斜坡，坡角，楼高米，在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡上的处测得楼顶的仰角为，其中点，，在同一直线上． （1）求坡底点到大楼距离的值； （2）求斜坡的长度． 6．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面处竖直放置标杆，并在地面上水平放置一个平面镜，使得，，在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的处通过平面镜恰好观测到旗杆顶（此时，在处测得旗杆顶的仰角为，平面镜的俯角为，米，问旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：， 7．如图，为了测量建筑物的高度，在处树立标杆，标杆的高是，在上选取观测点、，从测得标杆和建筑物的顶部、的仰角分别为、．从测得、的仰角分别为、．求建筑物的高度（精确到．（参考数据：，，． 8．如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上，求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：， 9．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过、两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量，位于的北偏东的方向上，位于的北偏东的方向上，且． （1）求景点与的距离； （2）为了方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点向公路修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号） 10．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点，现测得一辆小型车在监测点的南偏西方向的处，7秒后，测得其在监测点的南偏东方向的处，已知米，在的北偏东方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据：， 11．今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时，发现在的北偏东方向，相距150海里处的点有一可疑船只正沿方向行驶，点在港口的北偏东方向上，海监船向港口发出指令，执法船立即从港口沿方向驶出，在处成功拦截可疑船只，此时点与点的距离为海里． （1）求点到直线的距离； （2）执法船从到航行了多少海里？（结果保留根号） 12．一艘渔船位于港口的北偏东方向，距离港口20海里处，它沿北偏西方向航行至处突然出现故障，在处等待救援，，之间的距离为10海里，救援船从港口出发20分钟到达处，求救援的艇的航行速度．，，，结果取整数） 13．如图所示，城市在城市正东方向，现计划在、两城市间修建一条高速公路（即线段，经测量，森林保护区的中心在城市的北偏东方向上，在线段上距城市的处测得在北偏东方向上，已知森林保护区是以点为圆心，为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： 14．如图，海中有一小岛，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 15．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、．已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向． （1）求的面积； （2）景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道．试求、间的距离．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，，． 16．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 17．如图，地在地的北偏东方向上，地在地的北偏西方向上，原来从地到地的路线为，现在沿地北偏东方向新修了一条直达地的分路，路程比原来少了20千米．求从地直达地的路程（结果保留整数．参考数据：， 18．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块，可分别沿等长的立柱，上下移动，． （1）若移动滑块使，求的度数和棚宽的长． （2）当由变为时，问棚宽是增加还是减少？增加或减少了多少？ （结果精确到，参考数据：，，， 19．如图， 一座钢结构桥梁的框架是，水平横梁长 18 米， 中柱高 6 米， 其中是的中点， 且． （1） 求的值； （2） 现需要加装支架、，其中点在上，，且，垂足为点，求支架的长 ． 20．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管与支架所在直线相交于点，且，支架与水平线垂直，，，． （1）求支架的长； （2）求真空热水管的长．（结果保留根号） 学科网（北京）股份有限公司 $$