6.1 课时2 计数原理的综合应用 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1课时2 计数原理的综合应用 【基础巩固】 1．已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为（ ） A．18 B．17 C．16 D．10 2．为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为（ ） A． B． C． D． 3．若一个四位数的各位数字之和为，则这样的四位数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）以下结论正确的是（ ） A．个班分别从个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 B．从本不同书中选出本送给名同学，每人一本，有种不同的送法 C．有个不同的正因数 D．从这四个数中任取两个数相减，可以得到个不相等的差 6．抛掷一枚质地均匀的骰子次，则次中最大点数为的情况有__________种． 7．有红、黄、蓝三色旗各三面，每次可升旗一面、两面或三面，在旗杆上纵向排列，不同的颜色和旗帜数均代表不同的信号，共可组成不同的信号______种. 8．口袋中装有个白球和个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出个球 (1)正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ (2)至少有一个白球的取法有多少种？ (3)两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 【能力拓展】 9．已知，则的不同正因数个数为（ ） A． B． C． D． 10．一对非负整数组成的有序数对，如果在做与的加法时不用进位，则称为“中国梦数对”，称为“中国梦数对”的和，则和为的“中国梦数对”的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．用这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数. (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数. (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. (4)可以组成多少个数字不重复的小于的自然数. (5)可以组成多少个大于，小于的数字不重复的四位数. 【素养提升】 12．某比赛考场的规格为每场名考生，分为行列，如下图依照蛇形方式进行座位号编排.为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加比赛，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有______种. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1课时2 计数原理的综合应用 【基础巩固】 1．已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为（ ） A．18 B．17 C．16 D．10 【答案】B 【解析】因在第一，二象限内的点的横坐标可正可负，而纵坐标为正，这样的点分为两类情况：①点的横坐标取自集合，纵坐标取自集合时，不同的点有个； ②点的横坐标取自集合，纵坐标取自集合时，不同的点有个. 由分类加法计数原理，第一，二象限不同点的个数为个. 故选：B. 2．为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，每门选修课程被安排到高一到高二两学年都有种安排方法， 共有种安排方法，其中五门选修课程安排到同一学年的情况有种， 则每位同学不同的选修方式为种． 故选：A． 3．若一个四位数的各位数字之和为，则这样的四位数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】当这个四位数由构成时，共有种情况， 当这个四位数由构成时，千位有种情况，将另一个非零的数字填到百位、十位或个位上，有种情况，其余位置只能填，共有种情况， 当这个四位数由构成时，将填到百位、十位或个位上，其余位置只能填，共有种情况，综上所述，共有种情况. 故选：B. 4．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先涂，有种选择，接下来涂，有种选择，再涂,有种选择， ① 当颜色相同时涂色方法数是：， ② 当颜色不相同时涂色方法数是：， 满足题意的涂色方法总数是：． 故选：A． 5．（多选）以下结论正确的是（ ） A．个班分别从个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 B．从本不同书中选出本送给名同学，每人一本，有种不同的送法 C．有个不同的正因数 D．从这四个数中任取两个数相减，可以得到个不相等的差 【答案】AC 【解析】A选项，个班分别从个景点中选择一处游览，根据分步乘法计数原理， 不同选法的种数是，A选项正确. B选项，从本不同书中选出本送给名同学，每人一本， 根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是，B选项错误. C选项，，所以正因数有个，C选项正确. D选项，从这四个数中任取两个数相减， 得到的差有，共个不相等的差，D选项错误. 故选：AC. 6．抛掷一枚质地均匀的骰子次，则次中最大点数为的情况有__________种． 【答案】 【解析】次中没有出现，，点的情况有种， 没有出现，，，点的情况有种， 所以次中最大点数为的情况有种． 故答案为：. 7．有红、黄、蓝三色旗各三面，每次可升旗一面、两面或三面，在旗杆上纵向排列，不同的颜色和旗帜数均代表不同的信号，共可组成不同的信号______种. 【答案】39 【解析】根据所升旗的数量进行分类： ①升1面旗，有三种颜色可供选择，故可组成3种不同信号； ②升2面旗，则升第一面旗时，有三种颜色可供选择，升第二面旗时，同样有三种颜色可供选择，故可组成种不同信号； ③升3面旗，则升每面旗时，均有三种颜色可供选择，故可组成的不同信号有种. 综上所述，可组成的不同信号共有（种）． 故答案为：39. 8．口袋中装有个白球和个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出个球 (1)正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ (2)至少有一个白球的取法有多少种？ (3)两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 【答案】见解析 【解析】(1)取出个白球，有种取法；取出个红球，有种取法， 所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种． (2)至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球， 取出的两个球全是白球的取法有种， 所以至少有一个白球共有种取法． (3)两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球， 取出的两个球全是红球的取法有种， 所以两球的颜色相同的取法有种． 【能力拓展】 9．已知，则的不同正因数个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，那么的正因数一定可以写成的形式，其中为非负整数.对于（的指数）：由于的指数在的分解式中最高次是，且为非负整数， 所以的取值可以是，共种情况 . 对于（的指数）：因为的指数在的分解式中最高次是，且为非负整数， 所以的取值可以是，共种情况 . 根据分步乘法计数原理，的正因数个数为. 故选：C. 10．一对非负整数组成的有序数对，如果在做与的加法时不用进位，则称为“中国梦数对”，称为“中国梦数对”的和，则和为的“中国梦数对”的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】设，， 则， 根据题意得其中均为自然数， 满足条件的自然数对，有，，，共对； 满足条件的自然数对只有； 满足条件的自然数对有，，共对； 满足条件的自然数对有，，，，，，，，，共对． 由分步乘法计数原理可知，和为的“中国梦数对”的个数为． 故选：C. 11．用这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数. (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数. (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. (4)可以组成多少个数字不重复的小于的自然数. (5)可以组成多少个大于，小于的数字不重复的四位数. 【答案】见解析 【解析】(1)若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字不重复的三位数个数为. (2)若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字允许重复的三位数的个数为个. (3)分步：先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有种选法； 再选百位数字有种选法；十位数字也有种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个 (4)若组成的数字为数字不重复的小于的自然数，分以下三种讨论： ①数字为个位数，共个； ②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个； 数字为三位数，共有个. 综上所述，数字不重复的小于的自然数个数为个. (5)分类： 千位数字为或时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个； 千位数字为，百位数字为之一时，共有个； 千位数字为，百位数字是，十位数字为之一时，共有个； ④也满足条件； 故所求四位数共有个. 【素养提升】 12．某比赛考场的规格为每场名考生，分为行列，如下图依照蛇形方式进行座位号编排.为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加比赛，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有______种. 【答案】 【解析】由题意，由于甲、乙、丙不同行不同列且奇偶一致，故分类讨论， ①当甲、乙、丙为奇数时，不妨从甲开始继续分类 1）当甲选择奇数排时，有种选择，由于甲、乙不同行不同列且奇偶一致， 故乙有种选择， 故丙有种选择，共种； 2）当甲选择偶数排时，有种选择，由于甲、乙不同行不同列且奇偶一致， 故乙需要分类讨论， 当乙选择偶数排时，有种选择，丙有种选择， 当乙选择奇数排时， 有种选择，丙有种选择，共种； ②当甲、乙、丙为偶数时，不妨从甲开始继续分类， 1）当甲选择奇数排时，有种选择，由于甲、乙不同行不同列且奇偶一致， 故乙需要分类讨论， 当乙选择偶数排时，有种选择，丙有种选择， 当乙选择奇数排时， 有种选择，丙有种选择，共种； 2）当甲选择偶数排时，有种选择，由于甲、乙不同行不同列且奇偶一致， 故乙需要分类讨论， 当乙选择偶数排时，有种选择，丙有种选择， 当乙选择奇数排时， 有种选择，丙有种选择，共种； 综上，共种． 故答案为：. 第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $