专题01：有余数的除法（知识精讲+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年二年级下册数学人教版（新教材）

专题01：有余数的除法 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们，大家好！今天我们一起来学习二年级下册数学中一个非常有趣又实用的新内容——《有余数的除法》。你有没有遇到过这样的情况：有10颗糖果，要平均分给3个小朋友，每人分到3颗后，还剩下1颗？这“剩下的1颗”就是我们今天要认识的新朋友——“余数”。本讲义严格依据人教版教材编写，不超纲、不提前引入复杂概念，从分东西的实际操作出发，帮助大家理解“平均分后还有剩余”的现象，认识有余数的除法。我们将通过摆小棒、圈一圈、分一分等动手活动，发现“余数必须比除数小”这一重要规律。学习时请多动手操作，多观察生活中的例子，比如分水果、排队伍等。希望你们在轻松愉快的探索中，学会用数学算式表示“有剩余”的情况，成为会思考、会表达的数学小能手！ 知识精讲 1. 有余数的除法的意义 平均分后有剩余：在平均分一些物体时，有时不能正好分完，会剩下一些，剩下的这部分就是“余数”。例如：把7个苹果平均分给3个人，每人分2个，还剩1个。这个“1”就是余数。 余数的含义：余数是不够再分一份的数量。比如上面的例子中，剩下的1个苹果不够再给每人1个，所以不能再分了。 2. 有余数的除法的表示方法 算式写法：用除法算式表示时，写成“被除数 ÷ 除数 = 商 …… 余数”。例如：7 ÷ 3 = 2 …… 1，读作“7除以3等于2余1”。 竖式写法： 先写除号“厂”； 被除数写在里面，除数写在外面； 商写在被除数个位的上面； 商与除数的乘积写在被除数下面； 用被除数减去乘积，得到余数，写在横线下面。 注意：余数一定要比除数小，否则还能继续分。 3. 试商的方法 想乘法口诀：计算有余数的除法时，想“除数和几相乘最接近被除数且小于被除数”，商就是几。例如：计算13 ÷ 4，想4的乘法口诀：4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16（超过13了），所以商是3。 验证余数：算出商后，用“被除数 - 商×除数”得到余数，再检查余数是否比除数小。 4. 余数与除数的关系 核心规则：在有余数的除法中，余数必须比除数小。例如：13 ÷ 4 = 3 …… 1，余数1比除数4小。如果余数大于或等于除数，说明还能继续分，商就小了。 举例说明：如果算成13 ÷ 4 = 2 …… 5，余数5比除数4大，说明还能再分1份，商应该调大。 5. 解决简单的实际问题 “至少”问题（进一法）：例如：有23人去划船，每条船最多坐5人，至少需要几条船？23 ÷ 5 = 4 …… 3，4条船坐不满，剩下3人还需要1条船，所以至少需要4+1=5条船。 “最多”问题（去尾法）：例如：有32元钱，每本笔记本6元，最多能买几本？32 ÷ 6 = 5 …… 2，剩下的2元不够买1本，所以最多能买5本。 例题讲解 【典型例题1】 把13根小棒，每4根分一组，可以分几组？还剩几根？ 解析：用除法计算：13 ÷ 4。想4的乘法口诀：4×3=12，最接近13且小于13，所以商是3。余数是13-12=1。算式：13 ÷ 4 = 3（组） …… 1（根）。答：可以分3组，还剩1根。 【跟踪练习1】 把17个苹果，每5个放一盘，可以放几盘？还剩几个？ 【典型例题2】 用竖式计算：23 ÷ 5。 解析： 除数是5，想5的乘法口诀：5×4=20，最接近23且小于23，所以商是4； 4写在个位上面； 4×5=20，写在23下面； 23-20=3，写在横线下面，3就是余数； 检查：余数3比除数5小，正确。 答：23 ÷ 5 = 4 …… 3。 【跟踪练习2】 用竖式计算：32 ÷ 6。 【典型例题3】 有27个同学去划船，每条船最多坐6人，至少需要几条船？ 解析： 用除法计算：27 ÷ 6 = 4 …… 3； 4条船可以坐24人，还剩下3人； 剩下的3人还需要1条船； 所以至少需要4+1=5条船。 答：至少需要5条船。 【跟踪练习3】 有40块饼干，每盒装7块，最多能装满几盒？ 培优练习 一、选择题 1．把许多瓶矿泉水平均分给8个人，如果有剩余，不可能剩（    ）瓶。 A．8 B．6 C．5 D．3 2．刘老师将一些曲奇饼干平均分给8个小朋友或者9个小朋友，都能正好分完，这些曲奇饼干可能有（    ）块。 A．81 B．72 C．64 D．17 3．体育课上同学们站成一排后，按“1、2、3、4、1、2、3、4…”循环报数。冬冬排在最后一个，他报的数是“3”，这一排的人数可能是（    ）人。 A．33 B．34 C．35 D．36 4．观察下列图形的排列规律，第2025个图形是（    ）。 ●□☆●●□☆●●☐☆●●☐☆… A．● B．□ C．☆ D．无法确定 5．在准备年货时，湛湛妈妈买了几袋同一种糖果，付了50元，找回26元。她买的糖果不可能是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 6．4个小朋友分面包。下面算式中每个数分别表示什么意思？（填序号） ①每人分3个    ②还剩3个    ③平均分给4人 ④还剩3人    ⑤一共有15个面包    ⑥每人分4个 7．43÷6＝…… 想：43里面最多有（    ）个6，商（    ）。 8．（    ）里最大能填几？ ( )×4＜26          6×( )＜35 22＞( )×6          48＞( )×7 5×( )＜31          69＞( )×7 9．有53个桃子，每9个装一盘，能装( )盘，还剩( )个。 10．盒子里珠子的数量在40～50个之间，把这些珠子平均分成6堆，还剩1个；平均分成7堆，也还剩1个。盒子里有( )个珠子。 三、判断题 11．用小棒摆三角形，如果小棒有剩余，可能会剩3根。( ) 12．△○○△○○△○○……，第13个是○。( ) 13．在有余数的除法中，商是20，除数是4，余数最大时，这个数是80。( ) 14．一个除法算式的除数是151，余数最大是151。( ) 15．用47根彩带做玫瑰花，每3根做一朵，最多可以做16朵，还剩1根彩带。( ) 四、计算题 16． （个）……（个） （束）……（个） 17．列竖式计算。 57÷7＝    48÷6＝    29÷9＝    39÷5＝ 五、解答题 18．文具店做促销活动。准备把“5个本子、4支钢笔和1把尺子”装成一个礼盒进行销售。这些物品能包装成几个礼盒？ 文具店现有物品 本子 45个 钢笔 18支 尺子 7把 19．水果店运来55个哈密瓜。 (1)如果每筐最多装8个哈密瓜，那么至少需要多少个筐？ (2)每个哈密瓜7元，妈妈带60元，最多能买多少个哈密瓜？ 20．婷婷和妈妈一起去超市购物。 (1)购物卡里有50元，买了一块香皂后，剩下的钱能买几条毛巾？ (2)请你再提出一个用除法解决的数学问题并解答。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01：有余数的除法 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们，大家好！今天我们一起来学习二年级下册数学中一个非常有趣又实用的新内容——《有余数的除法》。你有没有遇到过这样的情况：有10颗糖果，要平均分给3个小朋友，每人分到3颗后，还剩下1颗？这“剩下的1颗”就是我们今天要认识的新朋友——“余数”。本讲义严格依据人教版教材编写，不超纲、不提前引入复杂概念，从分东西的实际操作出发，帮助大家理解“平均分后还有剩余”的现象，认识有余数的除法。我们将通过摆小棒、圈一圈、分一分等动手活动，发现“余数必须比除数小”这一重要规律。学习时请多动手操作，多观察生活中的例子，比如分水果、排队伍等。希望你们在轻松愉快的探索中，学会用数学算式表示“有剩余”的情况，成为会思考、会表达的数学小能手！ 知识精讲 1. 有余数的除法的意义 平均分后有剩余：在平均分一些物体时，有时不能正好分完，会剩下一些，剩下的这部分就是“余数”。例如：把7个苹果平均分给3个人，每人分2个，还剩1个。这个“1”就是余数。 余数的含义：余数是不够再分一份的数量。比如上面的例子中，剩下的1个苹果不够再给每人1个，所以不能再分了。 2. 有余数的除法的表示方法 算式写法：用除法算式表示时，写成“被除数 ÷ 除数 = 商 …… 余数”。例如：7 ÷ 3 = 2 …… 1，读作“7除以3等于2余1”。 竖式写法： 先写除号“厂”； 被除数写在里面，除数写在外面； 商写在被除数个位的上面； 商与除数的乘积写在被除数下面； 用被除数减去乘积，得到余数，写在横线下面。 注意：余数一定要比除数小，否则还能继续分。 3. 试商的方法 想乘法口诀：计算有余数的除法时，想“除数和几相乘最接近被除数且小于被除数”，商就是几。例如：计算13 ÷ 4，想4的乘法口诀：4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16（超过13了），所以商是3。 验证余数：算出商后，用“被除数 - 商×除数”得到余数，再检查余数是否比除数小。 4. 余数与除数的关系 核心规则：在有余数的除法中，余数必须比除数小。例如：13 ÷ 4 = 3 …… 1，余数1比除数4小。如果余数大于或等于除数，说明还能继续分，商就小了。 举例说明：如果算成13 ÷ 4 = 2 …… 5，余数5比除数4大，说明还能再分1份，商应该调大。 5. 解决简单的实际问题 “至少”问题（进一法）：例如：有23人去划船，每条船最多坐5人，至少需要几条船？23 ÷ 5 = 4 …… 3，4条船坐不满，剩下3人还需要1条船，所以至少需要4+1=5条船。 “最多”问题（去尾法）：例如：有32元钱，每本笔记本6元，最多能买几本？32 ÷ 6 = 5 …… 2，剩下的2元不够买1本，所以最多能买5本。 例题讲解 【典型例题1】 把13根小棒，每4根分一组，可以分几组？还剩几根？ 解析：用除法计算：13 ÷ 4。想4的乘法口诀：4×3=12，最接近13且小于13，所以商是3。余数是13-12=1。算式：13 ÷ 4 = 3（组） …… 1（根）。答：可以分3组，还剩1根。 【跟踪练习1】 把17个苹果，每5个放一盘，可以放几盘？还剩几个？ 答案及解析：17 ÷ 5 = 3（盘） …… 2（个）。想5的乘法口诀：5×3=15，最接近17且小于17，余数17-15=2。答：可以放3盘，还剩2个。 【典型例题2】 用竖式计算：23 ÷ 5。 解析： 除数是5，想5的乘法口诀：5×4=20，最接近23且小于23，所以商是4； 4写在个位上面； 4×5=20，写在23下面； 23-20=3，写在横线下面，3就是余数； 检查：余数3比除数5小，正确。 答：23 ÷ 5 = 4 …… 3。 【跟踪练习2】 用竖式计算：32 ÷ 6。 答案及解析： 除数是6，想6的乘法口诀：6×5=30，最接近32且小于32，商是5； 5×6=30，写在32下面； 32-30=2，余数是2； 检查：余数2比除数6小，正确。 答：32 ÷ 6 = 5 …… 2。 【典型例题3】 有27个同学去划船，每条船最多坐6人，至少需要几条船？ 解析： 用除法计算：27 ÷ 6 = 4 …… 3； 4条船可以坐24人，还剩下3人； 剩下的3人还需要1条船； 所以至少需要4+1=5条船。 答：至少需要5条船。 【跟踪练习3】 有40块饼干，每盒装7块，最多能装满几盒？ 答案及解析：40 ÷ 7 = 5 …… 5。想7×5=35，最接近40且小于40，余数5。剩下的5块不够装满1盒，所以最多能装满5盒。答：最多能装满5盒。 培优练习 一、选择题 1．把许多瓶矿泉水平均分给8个人，如果有剩余，不可能剩（    ）瓶。 A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【分析】把许多瓶矿泉水平均分给8个人，可以把8看作是除数，根据在有余数的除法中，余数要小于除数，逐项分析各个选项，找出正确答案，即可解答。 【详解】A．8＝8，不符合。 B．6＜8，符合。 C．5＜8，符合。 D．3＜8，符合。 把许多瓶矿泉水平均分给8个人，如果有剩余，不可能剩8瓶。 故答案为：A 2．刘老师将一些曲奇饼干平均分给8个小朋友或者9个小朋友，都能正好分完，这些曲奇饼干可能有（    ）块。 A．81 B．72 C．64 D．17 【答案】B 【分析】根据题意，饼干平均分给8个小朋友或者9个小朋友都可以分完，说明饼干的数量可以被8整除，也可以被9整除，据此逐项分析选项，即可选出答案。 【详解】根据分析可得： A．81÷8＝10（块）……1（块），81÷9＝9，81不能被8整除，可以被9整除，故不符合题意； B．72÷8＝9（块），72÷9＝8（块），72可以被8整除，也可以被9整除，故符合题意； C．64÷8＝8（块），64÷9＝7（块）……1（块），64可以被8整除，不能被9整除，故不符合题意； D．17÷8＝2（块）……1（块），17÷9＝1（块）……8（块），17不能被8整除，也不能被9整除，故不符合题意； 故答案为：B 3．体育课上同学们站成一排后，按“1、2、3、4、1、2、3、4…”循环报数。冬冬排在最后一个，他报的数是“3”，这一排的人数可能是（    ）人。 A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】可知4人为一组，最后一名同学报的是“3”，即总人数除以4余3，据此选择即可 【详解】A．33÷4＝8（组）……1（人）。 B．34÷4＝8（组）……2（人）。 C．35÷4＝8（组）……3（人）。 D．36÷4＝9（组）。 所以冬冬排在最后一个，他报的数是“3”，这一排的人数可能是35人。 故答案为：C 4．观察下列图形的排列规律，第2025个图形是（    ）。 ●□☆●●□☆●●☐☆●●☐☆… A．● B．□ C．☆ D．无法确定 【答案】A 【分析】观察图形可知，●□☆●四个一组为一循环周期，即个数能被4整除的图形为●，不能整除的余数为1、2、3的图形分别为●、□、☆，由此可知，余数是几，就是第几个图形，据此解答。 【详解】 第2025个图形是●。 故答案为：A 5．在准备年货时，湛湛妈妈买了几袋同一种糖果，付了50元，找回26元。她买的糖果不可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，湛湛妈妈买了几袋同一种糖果，付了50元，找回26元，可以先用50减去26算出这些糖果一共花了多少钱。接着用得数依次除以选项中的糖果的价格，然后看哪个选项对应的得数有余数即可。 【详解】50－26＝24（元） A．24÷3＝8（袋），即湛湛妈妈可能买了8袋糖果。 B．24÷4＝6（袋），即湛湛妈妈可能买了6袋糖果。 C．24÷5＝4（袋）……4（元），不可能是这袋。 D．24÷6＝4（袋），即湛湛妈妈可能买了4袋糖果。 故答案为：C 二、填空题 6．4个小朋友分面包。下面算式中每个数分别表示什么意思？（填序号） ①每人分3个    ②还剩3个    ③平均分给4人 ④还剩3人    ⑤一共有15个面包    ⑥每人分4个 【答案】⑤；③；①；② 【分析】根据题意，数出一共有15个面包。用面包的总数除以小朋友的人数，算出的商是平均每人分几个面包，余数是还剩几个面包。所以，商是几，就把几个面包圈起来，表示一个小朋友分得面包个数。没有圈的就是剩下的面包。 【详解】如图： 15÷4＝3（个）……3（个） 所以，15个面包，平均分给4个小朋友，每个小朋友分得3个，还剩3个。 具体如下： 7．43÷6＝…… 想：43里面最多有（    ）个6，商（    ）。 【答案】7；1； ； 7；7 【分析】根据6的乘法口诀，看哪个乘积最接近43且小于43，根据口诀“六七四十二”、“六八四十八” ，因为42＜43，48＞43，所以43里面最多有7个6，因为43里面最多有7个6，所以商是7，余数是1。 【详解】根据分析可知： 43÷6＝7……1 想：43里面最多有7个6，商7。 8．（    ）里最大能填几？ ( )×4＜26          6×( )＜35 22＞( )×6          48＞( )×7 5×( )＜31          69＞( )×7 【答案】 6 5 3 6 6 9 【分析】根据题意，用大于号左侧或小于号右侧的数除以另一侧的已知数，若不能除尽，则所得的商就是能填的最大的数；若能除尽，则商减1就是能填的最大的数。 【详解】26÷4＝6……2，所以6×4＜26； 35÷6＝5……5，所以6×5＜35； 22÷6＝3……4，所以22＞3×6； 48÷7＝6……6，所以48＞6×7； 31÷5＝6……1，所以5×6＜31； 69÷7＝9……6，所以69＞9×7。 9．有53个桃子，每9个装一盘，能装( )盘，还剩( )个。 【答案】 5 8 【分析】已知有53个桃子，每9个装一盘，求能装多少盘就是求53里面有几个9，用除法计算，商就是盘数，余数就是剩下的个数。据此解答。 【详解】53÷9＝5（盘）……8（个） 所以能装5盘，还剩8个。 10．盒子里珠子的数量在40～50个之间，把这些珠子平均分成6堆，还剩1个；平均分成7堆，也还剩1个。盒子里有( )个珠子。 【答案】43 【分析】平均分成6堆，还剩1个，平均分成7堆，也还剩1个，找出在40~50块之间6和7的共同的倍数，即用6×7，再加上还剩下的1个，即可得解。 【详解】6×7＋1 ＝42＋1 ＝43（个） 所以盒子里有43个珠子。 三、判断题 11．用小棒摆三角形，如果小棒有剩余，可能会剩3根。( ) 【答案】 × 【分析】用小棒摆三角形，每个三角形需要3根小棒。总小棒数除以3的余数表示剩余的小棒数，余数必须小于除数3，因此余数只能是0、1或2。当小棒有剩余时（余数不为0），剩余小棒数只能是1根或2根，不可能为3根。 【详解】每个三角形需要3根小棒。如果小棒有剩余，则剩余的小棒数一定小于3，即可能剩1根或2根，不可能剩3根。因此，题目中的说法是错误的。 故答案为：× 12．△○○△○○△○○……，第13个是○。( ) 【答案】× 【分析】序列“△○○△○○△○○……”以△○○为周期重复出现，每3个图形为一个周期。用13除以3得到余数，余数为1是三角形，余数为2是圆，没有余数是圆，由此判断。 【详解】序列的排列规律是每3个图形重复一次，即△、○、○为一个周期。13÷3＝4（组）……1（个），余数为1，对应周期中的第1个图形△。所以，第13个图形是△，不是○。 故答案为：× 13．在有余数的除法中，商是20，除数是4，余数最大时，这个数是80。( ) 【答案】× 【分析】在有余数的除法中，余数必须小于除数。除数是4，余数最大是3。被除数等于商乘除数加余数，即20×4＋余数。据此计算出被除数，再进行判断。 【详解】已知商是20，除数是4，余数最大为3。 20×4＋3 ＝80＋3 ＝83 所以，余数最大时，被除数是83，而不是80。 故答案为：× 14．一个除法算式的除数是151，余数最大是151。( ) 【答案】× 【分析】根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即余数最大为：除数－1，据此解答即可。 【详解】151－1＝150 一个除法算式的除数是151，余数最大是150。原题说法错误。 故答案为：× 15．用47根彩带做玫瑰花，每3根做一朵，最多可以做16朵，还剩1根彩带。( ) 【答案】× 【分析】用总彩带数除以每朵需要的根数，商为最多可做的朵数，余数为剩下的根数。据此解答。 【详解】根据题意，47根彩带，每3根做一朵玫瑰花。 47÷3＝15（朵）……2（根） 商15表示最多可以做15朵，余数2表示剩余2根彩带。所以题目的结论错误。 故答案为：× 四、计算题 16． （个）……（个） （束）……（个） 【答案】17；3；5；2； 17；5；3；2 【分析】根据题图可知，一共有17个气球，每束有5个，有这样的3束，还剩下2个气球，气球的总个数除以气球的束数，商表示每束的个数，余数表示剩下气球的个数；气球的总个数除以每束气球的个数，商表示气球的束数，余数表示剩下气球的个数，据此解答。 【详解】根据分析可得： 17÷3＝5（个）……2（个） 17÷5＝3（束）……2（个） 17．列竖式计算。 57÷7＝    48÷6＝    29÷9＝    39÷5＝ 【答案】8……1；8；3……2；7……4 【分析】除法的计算方法：一商，二乘，三减，四比。 （1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面； （2）乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面； （3）减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面； （4）比：将余数与除数比一比，余数必须比除数小。 【详解】57÷7＝8……1   48÷6＝8     29÷9＝3……2     39÷5＝7……4                       五、解答题 18．文具店做促销活动。准备把“5个本子、4支钢笔和1把尺子”装成一个礼盒进行销售。这些物品能包装成几个礼盒？ 文具店现有物品 本子 45个 钢笔 18支 尺子 7把 【答案】4个 【分析】我们要先分别算出每种物品能装几个礼盒，再看哪一种物品算出来的数量最少，这个最少的数量就是最终能包装的礼盒总数。 【详解】本子：45÷5＝9（个） 钢笔：18÷4＝4（个）……2（支） 尺子：7÷1＝7（个） 4＜7＜9 答：这些物品能包装成4个礼盒。 19．水果店运来55个哈密瓜。 (1)如果每筐最多装8个哈密瓜，那么至少需要多少个筐？ (2)每个哈密瓜7元，妈妈带60元，最多能买多少个哈密瓜？ 【答案】(1)7个 (2)8个 【分析】（1）根据题意，用哈密瓜的总个数除以每筐最多装的个数，求出商和余数，剩下的哈密瓜还要1个筐子，则用商加1，等于至少需要多少个筐。 （2）根据题意，用妈妈带的钱数除以每个哈密瓜的钱数，求出商和余数，剩下的钱不够买一个哈密瓜，则商就是最多能买多少个哈密瓜。 【详解】（1）55÷8＝6（个）……7（个） 6＋1＝7（个） 答：那么至少需要7个筐。 （2）60÷7＝8（个）……4（元） 答：最多能买8个哈密瓜。 20．婷婷和妈妈一起去超市购物。 (1)购物卡里有50元，买了一块香皂后，剩下的钱能买几条毛巾？ (2)请你再提出一个用除法解决的数学问题并解答。 【答案】(1)5条 (2)示例：妈妈微信钱包里只剩24元了，最多能买几支牙膏？ 24÷7＝3（支）……3（元） 答：最多能买3支牙膏。 【分析】（1）根据减法的意义，用50－5先算出买一块香皂之后还剩多少钱，再用剩下的钱除以每条毛巾的价钱，即可得出剩下的钱能买几条毛巾。     （2）根据题干的数学信息，结合学过的数学知识，提出问题并解答即可。本题答案不唯一，例如：妈妈微信钱包里只剩24元了，最多能买几支牙膏？ 【详解】（1）50－5＝45（元） 45÷8＝5（条）……5（元） 答：剩下的钱能买5条毛巾。 （2）妈妈微信钱包里只剩24元了，最多能买几支牙膏？ 24÷7＝3（支）……3（元） 答：最多能买3支牙膏。 （本题答案不唯一） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $