7.2.1平行线的概念同步培优讲义（5知识点+5题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

7.2.1平行线的概念同步培优讲义 （知识点+题型+过关检测） 【题型1 平面内两直线的位置关系】 3 【题型2 立体图形中平行的棱】 5 【题型3 用直尺、三角板画平行线】 7 【题型4 平行公理的应用】 10 【题型5 平行公理推论的应用】 12 · 理解平行线的定义，明确平行线的两个核心特征（在同一平面内、不相交），能准确识别平面内的平行线。 · 掌握平面内两条直线的位置关系，能区分“平行”与“相交”，知道重合直线的特殊性（不计入位置关系）。 · 牢记平行公理及推论，能准确复述公理和推论的内容，理解其几何意义。 · 掌握用直尺、三角板画平行线的规范步骤，能独立完成过直线外一点画已知直线平行线的操作。 03 知识•梳理 知识点1：平行线的定义（核心重点） 1. 定义内容 文字语言：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 符号表示：平行用符号“∥”表示，读作“平行于”。若直线AB与直线CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”；若直线l与直线m平行，记作“l∥m”。 补充说明：单独的一条直线，不能说它是平行线，平行线是“两条直线”的位置关系（相互依存，不能单独存在）。 2. 定义的两个核心条件（缺一不可，高频易错点） ① 前提条件：在同一平面内（这是关键！）。 解释：如果两条直线不在同一平面内，即使它们不相交，也不能叫做平行线（例如：长方体的一条长和一条不在同一面上的高，不相交但也不平行，这样的直线叫做“异面直线”，七年级暂不深入学习）。 ② 核心特征：不相交。 解释：这里的“不相交”，是指两条直线向两方无限延伸后，始终没有公共点；如果两条直线有一个公共点，就是相交；如果两条直线完全重合，不属于平行（重合直线算作一条直线，不计入“两条直线”的位置关系）。 3. 易错点提醒 ① 忽略“同一平面内”的前提，误将空间中不相交的两条直线判定为平行线； ② 将“不相交”理解为“没有交点且不延伸”，忽略直线可以无限延伸的特征； ③ 混淆“平行”与“重合”，认为重合的两条直线是平行线（重合直线不是平行线，也不是相交直线）。 知识点2：平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行（不考虑重合）。 1. 相交：两条直线有且只有一个公共点（交点）； 2. 平行：两条直线没有公共点（向两方无限延伸后仍不相交）； 补充：重合直线：两条直线完全重叠，有无数个公共点，七年级教材中，通常不把重合作为两条直线的独立位置关系，可看作一条直线。 知识点3：平行公理（基本事实） 1. 公理内容：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2. 关键词解读（必记）： ① “经过直线外一点”：不能是“直线上一点”（如果点在直线上，画不出与这条直线平行的直线，只能画出与它重合的直线）； ② “有且只有一条”：“有”表示存在性（能画出这样的一条直线），“只有”表示唯一性（只能画出一条，不能画出两条或更多）。 3. 易错点：忽略“直线外一点”的前提，误说“经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 知识点4：平行公理的推论（重点应用） 1. 推论内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 2. 符号表示：若直线a∥b，直线c∥b，则a∥c（可通俗记为“平行于同一条直线的两条直线互相平行”）。 3. 几何意义：体现了平行线的“传递性”，是后续进行平行线推理的重要依据，可用于判断两条直线是否平行。 4. 易错点：混淆推论的逻辑关系，误说“如果两条直线互相平行，那么它们都平行于第三条直线”（因果关系颠倒，推论是“由两条直线都平行于第三条，推出这两条互相平行”）。 知识点5：用直尺、三角板画平行线（规范操作，对应题型3） 1. 作图工具：无刻度直尺、三角板（七年级常用）。 2. 规范步骤（以“过直线l外一点P，画直线l的平行线”为例）： ① 放：把三角板的一条直角边与已知直线l重合； ② 靠：用直尺紧紧靠住三角板的另一条直角边（确保直尺与三角板垂直，不松动）； ③ 移：沿着直尺，将三角板沿着直尺的方向平移，直到三角板与已知直线l重合的直角边，平移到经过点P的位置； ④ 画：用铅笔沿着三角板的这条直角边，画出一条直线m； ⑤ 标注：直线m即为过点P且与直线l平行的直线，可标注“m∥l”。 3. 注意事项（易错点）： ① 平移三角板时，直尺不能移动，三角板不能倾斜，确保平移后直角边与原直线平行； ② 画直线时，要画成直线（向两方无限延伸），不能画成线段或射线； ③ 作图痕迹要清晰，保留三角板平移的痕迹和直尺、三角板的贴合痕迹。 04 题型•汇总 【题型1 平面内两直线的位置关系】 核心思路：紧扣“同一平面内”这一前提，根据“是否有公共点”判断位置关系——有且只有一个公共点为相交，没有公共点为平行，排除重合情况（七年级不考虑）；重点区分“相交”“平行”的特征，规避忽略“同一平面内”的错误。 【典例1】．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 跟随训练1-1．根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线不经过点M，故本选项不合题意； B．点M在直线上，故本选项不合题意； C．点M在直线上，故本选项不合题意； D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意； 故选：D． 跟随训练1-2．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线．根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：因为选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D， 故选：D． 【题型2 立体图形中平行的棱】 核心思路：先明确立体图形（如长方体、正方体）的面和棱的特征，找出“在同一平面内、不相交”的棱；注意：立体图形中，不在同一面上的棱，即使不相交，也不是平行线（异面直线）；重点区分“平面内平行”与“立体中平行”的区别，只找同一面上的平行棱。 【典例2】．如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的定义． 跟随训练2-1．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)正面：；上面：；右面：．（答案不唯一） (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的定义，平行公理． （1）根据平行线的定义解答即可； （2）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）； （2）解：．理由如下： ， ． 跟随训练2-2．观察下图所示的长方体，回答下列问题． (1)用符号表示两棱的位置关系： ， ， ， ； (2)与所在的直线不相交，它们 平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】【答题空1】∥ 【答题空2】⊥ 【答题空3】⊥ 【答题空4】∥ 【答题空5】不是 【答题空6】同一平面 【分析】根据长方体的结构特点及平行线、垂线的定义可知：，，，，与所在的直线不相交,它们不是平行线,在同一平面内,两条不相交的直线才是平行线, 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴ 故答案为：，，，． （2）与不在同一平面内，与所在的直线不相交，它们不是平行线， ∴平行线的定义，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线． 不是，同一平面． 【点睛】本题考查平行线的定义，相交线，掌握平行线的定义是解题关键． 【题型3 用直尺、三角板画平行线】 核心思路：严格遵循“放、靠、移、画、标注”五步规范操作，重点确保“平移三角板时直尺不动、三角板不倾斜”，画出的直线要向两方无限延伸，保留作图痕迹；常见题型为“过直线外一点画已知直线的平行线”，注意区分“直线外一点”与“直线上一点”（直线上一点无法画平行线）。 【典例3】．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)比较大小：________（填“”、“”或“”），理由：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图、平行线的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质画图即可； （2）根据垂线的定义画图即可； （3）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图直线所示． （2）解：如图直线所示． （3）解：如图， ， ，理由为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 跟随训练3-1．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的平行线； (3)线段__________的长度是点到的距离． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查画垂线和平行线，点到直线的距离，熟练掌握垂线和平行线的定义，点到直线的距离，是解题的关键： （1）借助网格特点，垂线的定义，画图即可； （2）利用平移思想画出即可； （3）根据点到直线的垂线段的长为点到直线的距离，作答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：∵， ∴线段的长度是点到的距离． 跟随训练3-2．如图，点、、都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）． (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段_________的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解答 (2) (3) 【分析】（1）利用网格的边长与角度特征，构造同位角相等来作平行线，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】（1）解：①即为所求； ②即为所求； （2）解：线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格中的平行线与垂线作图、点到直线的距离定义，以及垂线段最短的性质，熟练利用网格特征和几何基本性质是解题的关键． 【题型4 平行公理的应用】 核心思路：牢记推论内容（平行于同一条直线的两条直线互相平行），符号表示为“若a∥b，c∥b，则a∥c”；解题时，先找出“与同一条直线平行”的两条直线，再根据推论判断这两条直线互相平行，重点规避因果关系颠倒的错误。 【典例4】．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 跟随训练4-1．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 跟随训练4-2．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 【题型5 平行公理推论的应用】 【典例5】．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 跟随训练5-1．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 跟随训练5-2．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 05 过关•检测 1．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，关键考虑点与直线的位置关系． 分点在直线上和不在直线上两种情况，根据平行公理判断． 【详解】解：分两种情况讨论： ①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）； ②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）． ∴ 这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 2．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 3．下列说法中，不正确的是(    ) A．对顶角相等 B．八棱柱有16个顶点 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查几何基本概念，包括对顶角性质、棱柱顶点数、平行公理和线段公理． 【详解】解：A．对顶角相等是几何基本性质，A正确； B．八棱柱有8个侧面，顶点数为，B正确； C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项C未指定“直线外一点”，若点在直线上，则不存在过该点的直线与已知直线平行，C不正确； D．两点之间线段最短是几何公理，D正确； 故选：C． 4．如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键． 【详解】解：∵已知，， ∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出， ∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行， 故选：D． 5．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，根据初中数学教材中的相关概念判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系． ∴两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：C． 6．下列说法中，正确的是（    ） A．任何数的平方都大于0 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．如果，那么 D．两点之间的线段叫做两点之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了平方的性质、平行线的定义、等式的性质以及两点间距离的定义． 逐一分析每个选项的正误即可． 【详解】解：0的平方是0，并不大于0，A选项错误； 平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，缺少同一平面内的条件，B选项错误； 若，等式两边同时平方，等式仍然成立，即，C选项正确； 两点之间的距离是指两点之间线段的长度，而非线段本身，D选项错误； 故选：C． 7．下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 8．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 9．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有 条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相 ． 【答案】 3 垂直 【分析】本题考查了正方体的结构特征，熟练掌握基本特征是解题的关键 根据正方体的结构特征，其12条棱分为3组互相平行的棱，每组4条；每个顶点处的三条棱两两垂直。 【详解】正方体的12条棱可分为3组，每组4条棱互相平行，因此每条棱有且仅有3条棱与它平行；与同一个顶点相连的三条棱互相垂直． 故答案为：3，垂直； 10．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 11．若，，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴则与的位置关系是是平行， 故答案为：平行． 12．如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．据此解答即可． 【详解】解：与线段平行的线段有：． 故答案为：． 13．如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 14．观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键． （1）根据平行线的定义即可得解； （2）根据平行线的定义即可得解． 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面． 15．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为D；并完成填空： ①线段______的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“＞”“＜”或“＝”） (2)过点A画的平行线，点E在格点上． 【答案】(1)见解析；①；②＞ (2)见解析 【分析】本题考查了垂线、点到直线的距离、垂线段最短、平行线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①根据垂线的定义解题即可； ②根据垂线段最短解题即可； （2）根据平行线的定义作图即可． 【详解】解：（1）图形如图所示： ①线段的长度表示点P到直线OA的距离； 故答案为：； ②垂线段最短，即； 故答案为：； （2）如图，直线即为所求． 16．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键． （1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得； （2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可； （3）借助网格，结合平行线的判定画图即可． 【详解】（1）． 故答案为：． （2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高． （3）解：如图，取点D，连接，即为所求作． 17．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 【答案】(1)正面（答案不唯一） 上面（答案不唯一） 右面（答案不唯一） (2)    ，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （）正面、、、是平行的，、平行，、平行；上面相互平行，平行；右侧平行，平行；据此分别找出一组平行线即可； （）与都与平行，所以平行；′与′平行，′与垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． （）根据平行线的定义作答即可． 【详解】（1）解：正面、、、是平行的，、平行； ∴正面：（答案不唯一）， 上面：上面相互平行，平行； ∴； 右侧：平行，平行 ∴； 故答案为：正面：；上面：；右侧：；（答案不唯一） （2）解：∵，，，， ∴，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3）解：图中所在的直线与所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直线也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.1平行线的概念同步培优讲义 （5知识点+5题型+过关检测） 【题型1 平面内两直线的位置关系】 3 【题型2 立体图形中平行的棱】 4 【题型3 用直尺、三角板画平行线】 5 【题型4 平行公理的应用】 6 【题型5 平行公理推论的应用】 7 · 理解平行线的定义，明确平行线的两个核心特征（在同一平面内、不相交），能准确识别平面内的平行线。 · 掌握平面内两条直线的位置关系，能区分“平行”与“相交”，知道重合直线的特殊性（不计入位置关系）。 · 牢记平行公理及推论，能准确复述公理和推论的内容，理解其几何意义。 · 掌握用直尺、三角板画平行线的规范步骤，能独立完成过直线外一点画已知直线平行线的操作。 03 知识•梳理 知识点1：平行线的定义（核心重点） 1. 定义内容 文字语言：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 符号表示：平行用符号“∥”表示，读作“平行于”。若直线AB与直线CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”；若直线l与直线m平行，记作“l∥m”。 补充说明：单独的一条直线，不能说它是平行线，平行线是“两条直线”的位置关系（相互依存，不能单独存在）。 2. 定义的两个核心条件（缺一不可，高频易错点） ① 前提条件：在同一平面内（这是关键！）。 解释：如果两条直线不在同一平面内，即使它们不相交，也不能叫做平行线（例如：长方体的一条长和一条不在同一面上的高，不相交但也不平行，这样的直线叫做“异面直线”，七年级暂不深入学习）。 ② 核心特征：不相交。 解释：这里的“不相交”，是指两条直线向两方无限延伸后，始终没有公共点；如果两条直线有一个公共点，就是相交；如果两条直线完全重合，不属于平行（重合直线算作一条直线，不计入“两条直线”的位置关系）。 3. 易错点提醒 ① 忽略“同一平面内”的前提，误将空间中不相交的两条直线判定为平行线； ② 将“不相交”理解为“没有交点且不延伸”，忽略直线可以无限延伸的特征； ③ 混淆“平行”与“重合”，认为重合的两条直线是平行线（重合直线不是平行线，也不是相交直线）。 知识点2：平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行（不考虑重合）。 1. 相交：两条直线有且只有一个公共点（交点）； 2. 平行：两条直线没有公共点（向两方无限延伸后仍不相交）； 补充：重合直线：两条直线完全重叠，有无数个公共点，七年级教材中，通常不把重合作为两条直线的独立位置关系，可看作一条直线。 知识点3：平行公理（基本事实） 1. 公理内容：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2. 关键词解读（必记）： ① “经过直线外一点”：不能是“直线上一点”（如果点在直线上，画不出与这条直线平行的直线，只能画出与它重合的直线）； ② “有且只有一条”：“有”表示存在性（能画出这样的一条直线），“只有”表示唯一性（只能画出一条，不能画出两条或更多）。 3. 易错点：忽略“直线外一点”的前提，误说“经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 知识点4：平行公理的推论（重点应用） 1. 推论内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 2. 符号表示：若直线a∥b，直线c∥b，则a∥c（可通俗记为“平行于同一条直线的两条直线互相平行”）。 3. 几何意义：体现了平行线的“传递性”，是后续进行平行线推理的重要依据，可用于判断两条直线是否平行。 4. 易错点：混淆推论的逻辑关系，误说“如果两条直线互相平行，那么它们都平行于第三条直线”（因果关系颠倒，推论是“由两条直线都平行于第三条，推出这两条互相平行”）。 知识点5：用直尺、三角板画平行线（规范操作，对应题型3） 1. 作图工具：无刻度直尺、三角板（七年级常用）。 2. 规范步骤（以“过直线l外一点P，画直线l的平行线”为例）： ① 放：把三角板的一条直角边与已知直线l重合； ② 靠：用直尺紧紧靠住三角板的另一条直角边（确保直尺与三角板垂直，不松动）； ③ 移：沿着直尺，将三角板沿着直尺的方向平移，直到三角板与已知直线l重合的直角边，平移到经过点P的位置； ④ 画：用铅笔沿着三角板的这条直角边，画出一条直线m； ⑤ 标注：直线m即为过点P且与直线l平行的直线，可标注“m∥l”。 3. 注意事项（易错点）： ① 平移三角板时，直尺不能移动，三角板不能倾斜，确保平移后直角边与原直线平行； ② 画直线时，要画成直线（向两方无限延伸），不能画成线段或射线； ③ 作图痕迹要清晰，保留三角板平移的痕迹和直尺、三角板的贴合痕迹。 04 题型•汇总 【题型1 平面内两直线的位置关系】 核心思路：紧扣“同一平面内”这一前提，根据“是否有公共点”判断位置关系——有且只有一个公共点为相交，没有公共点为平行，排除重合情况（七年级不考虑）；重点区分“相交”“平行”的特征，规避忽略“同一平面内”的错误。 【典例1】．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 跟随训练1-1．根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 立体图形中平行的棱】 核心思路：先明确立体图形（如长方体、正方体）的面和棱的特征，找出“在同一平面内、不相交”的棱；注意：立体图形中，不在同一面上的棱，即使不相交，也不是平行线（异面直线）；重点区分“平面内平行”与“立体中平行”的区别，只找同一面上的平行棱。 【典例2】．如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 跟随训练2-2．观察下图所示的长方体，回答下列问题． (1)用符号表示两棱的位置关系： ， ， ， ； (2)与所在的直线不相交，它们 平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【题型3 用直尺、三角板画平行线】 核心思路：严格遵循“放、靠、移、画、标注”五步规范操作，重点确保“平移三角板时直尺不动、三角板不倾斜”，画出的直线要向两方无限延伸，保留作图痕迹；常见题型为“过直线外一点画已知直线的平行线”，注意区分“直线外一点”与“直线上一点”（直线上一点无法画平行线）。 【典例3】．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)比较大小：________（填“”、“”或“”），理由：________． 跟随训练3-1．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的平行线； (3)线段__________的长度是点到的距离． 跟随训练3-2．如图，点、、都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）． (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段_________的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填“”“”或“”）． 【题型4 平行公理的应用】 核心思路：牢记推论内容（平行于同一条直线的两条直线互相平行），符号表示为“若a∥b，c∥b，则a∥c”；解题时，先找出“与同一条直线平行”的两条直线，再根据推论判断这两条直线互相平行，重点规避因果关系颠倒的错误。 【典例4】．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 跟随训练4-1．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 跟随训练4-2．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【题型5 平行公理推论的应用】 【典例5】．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 跟随训练5-1．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 跟随训练5-2．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 05 过关•检测 1．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 2．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，不正确的是(    ) A．对顶角相等 B．八棱柱有16个顶点 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间，线段最短 4．如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 5．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 6．下列说法中，正确的是（    ） A．任何数的平方都大于0 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．如果，那么 D．两点之间的线段叫做两点之间的距离 7．下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 8．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有 条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相 ． 10．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 11．若，，则与的位置关系是 ． 12．如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 13．如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 14．观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 15．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为D；并完成填空： ①线段______的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“＞”“＜”或“＝”） (2)过点A画的平行线，点E在格点上． 16．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 17．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $