7.1.2两条直线垂直同步培优讲义（6知识点+5题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

7.1.2两条直线垂直同步培优讲义 （6知识点+5题型+过关检测） 【题型1 垂线定义的理解】 1 【题型2 画垂线】 3 【题型3 垂线段最短】 5 【题型4 点到直线的距离】 6 【题型5 与垂直有关的计算】 8 · 理解垂线的定义，掌握垂线的表示方法，能准确判断两条直线是否垂直； · 熟练掌握过一点画已知直线垂线的方法，理解“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实； · 掌握垂线段的性质（垂线段最短），理解点到直线的距离的定义，能准确测量或计算点到直线的距离； · 能解决与垂直有关的角度计算、线段长度比较等基础培优题型，培养几何推理和计算能力。 03 知识•梳理 知识点1. 垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 表示方法：若直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD（或CD⊥AB），垂足为O，可写作“AB⊥CD，垂足为O”。 关键提醒：① 垂直是相交的特殊情况，只有相交且夹角为90°时，两条直线才互相垂直；② 互相垂直的两条直线，四个交角都是直角；③ 垂线是相互的，不能单独说某一条直线是垂线。 知识点2. 垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 关键提醒：① “过一点”可以是直线上的点，也可以是直线外的点；② “有且只有”表示存在性（有一条）和唯一性（只有一条），缺一不可；③ 该性质仅适用于同一平面内，空间中不成立。 知识点3.垂线的画法 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 知识点4. 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 知识点5. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 关键提醒：① 点到直线的距离是“长度”，不是垂线段本身（垂线段是图形，距离是数值）；② 测量点到直线的距离时，必须先画出垂线段，再测量其长度；③ 若点在直线上，则点到这条直线的距离为0。 知识点6. 补充要点 ① 若两条直线互相垂直，则它们相交所成的四个角都是90°；反之，若两条直线相交所成的一个角是90°，则这两条直线互相垂直； ② 两条直线垂直，可推出相关角为90°，反之，由角为90°可推出两条直线垂直（互逆关系，常用于计算和推理）。 04 题型•汇总 【题型1 垂线定义的理解】 解题关键 紧扣垂线的定义，判断两条直线是否垂直，核心看相交角是否为90°；注意区分“垂直”与“相交”的关系，以及垂线的相互性。 【典例1】．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 跟随训练1-1．如图，已知，平分，，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，角的和差． 先根据角平分线的定义求出的度数，再结合垂线的定义得到的度数，最后通过角的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 跟随训练1-2．如图，直线相交于点O，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，求得，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【题型2 画垂线】 解题关键 掌握画垂线的工具（直尺、三角板）和步骤，分两种情况：① 过直线上一点画已知直线的垂线；② 过直线外一点画已知直线的垂线；注意画完后标注垂足和垂直符号。 【典例2】．过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【详解】解：A．没有垂直于，故该选项不符合题意； B．没有过点，故该选项不符合题意； C．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； D．为线段，不是直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 跟随训练2-1．利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 跟随训练2-2．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 【题型3 垂线段最短】 解题关键 牢记“垂线段最短”的性质，核心应用：比较直线外一点到直线上各点的线段长度，最短的一定是垂线段；解决实际问题（如最短路径）时，优先考虑作垂线段。 【典例3】．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 跟随训练3-1．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 跟随训练3-2．下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（    ） A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的 B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近 C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子 D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离 【答案】D 【分析】本题考查了对几何基本事实的理解． 逐一分析各选项对应的原理，找出体现“垂线段最短”的选项即可． 【详解】解：A选项拉紧的墨线是直的对应几何基本事实两点确定一条直线； B选项走笔直公路比弯曲小路更近对应几何基本事实两点之间，线段最短； C选项至少两颗钉子固定木条对应几何基本事实两点确定一条直线； D选项测量跳远成绩取落点到起跳线的垂直距离，直接体现了垂线段最短这一基本事实； 故选：D． 【题型4 点到直线的距离】 解题关键 明确点到直线的距离的定义（垂线段的长度），区分“垂线段”与“距离”（图形与数值）；计算或判断时，先确认垂线段，再求其长度。 【典例4】．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键． 根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 故选：C． 跟随训练4-1．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 跟随训练4-2．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：A． 【题型5 与垂直有关的计算】 解题关键 利用垂线的定义（夹角为90°）、对顶角相等、邻补角互补等知识，结合已知角度，计算未知角度；注意找准垂直关系对应的直角，理清角与角之间的和差关系。 【典例5】．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，垂线的定义．先利用垂直关系确定角的和，根据比例设未知数求解角，紧接着利用对顶角相等转化角，再利用角平分线求出角度，最后利用平角求出目标角． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， 设，， ∴，解得， ∴， 由对顶角相等，可得：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 跟随训练5-1．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 跟随训练5-2．直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角的性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则可求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此根据对顶角相等可得答案； （2）求出的度数，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：点在直线上，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴， ∴F、O、G三点共线， ∴点在直线上． 05 过关•检测 1．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断选项A；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可选项B；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断选项C；根据平角的定义以及，即可判断选项D． 【详解】解：， ， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故A选项结论正确，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角至少有3个， 故B选项结论正确，不符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线， 故C选项结论错误，符合题意； ，， ， 故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直的性质、同角的余角相等、对顶角相等、角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键． 3．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查对垂线定义的理解． 根据直线垂直的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上，原说法正确，符合题意； B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足可能在它们的延长线（或反向延长线）上，原说法错误，不符合题意； C．过线段或射线外一点可以画出一条直线与之垂直，原说法错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线上一点可画一条直线与该直线垂直，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 4．下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 5．立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：该女生获得满分但未加分， ， 选项A、B不符合题目要求，选项D符合题目要求， 又， 选项C错误，不符合题目要求． 故选：D． 6．如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，根据垂线段最短；两点之间，线段最短解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据垂线段最短，两点之间，线段最短可得：四种方案中最节省材料的是， 故选：． 7．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 8．如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①；②与互余；③与互补；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，余角，补角，角的和差关系，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算，余角和补角定义，角的和差计算． 根据角平分线定义可得和，利用平角即可判定①，结合余角和平角的定义即可判断②，结合余角和补角得定义即可判断③，利用角和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵A、O、B三点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵平分，平分， ∴， ∵A、O、B三点在同一直线上， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵A、O、B三点在同一直线上， ， ∵平分， ∴， ， 即与互补， 故③正确； ∵， ∴， 故④正确； 故选：D． 9．如图，点在直线上，，且平分，．则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查角的计算、角平分线的性质，根据角平分线的性质得到角度是解题的关键． 首先根据平角得到的度数，再根据角平分线的性质得到的度数，再结合得到的度数，进而即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 10．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 11．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 12．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 13．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 14．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 15．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 16．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 17．如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18．已知：如图，点是直线上一点，过点作射线平分，过点作，垂足为点，若．求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，利用角平分线得，结合垂直与平角定义计算即可解题． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴∠， ∵点在直线上， ∴， ∴， 故的度数为． 19．如图，直线、相交于，射线平分，，若，则和的度数各是多少？ 【答案】，． 【分析】此题主要考查了垂线定义以及角平分线的定义；直接利用角平分线的定义得出，可得，进而根据平角的定义即可得出进而利用垂直的定义得出的度数． 【详解】解：∵平分，且， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 20．如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 【答案】(1) (2)图见解析；射线在左侧时的度数为，当射线在右侧时的度数为 【分析】本题考查角的计算，垂线的定义； （1）根据题意先求得，根据，得出，再根据，即可求解． （2）分两种情况，①当射线在左侧时，②当射线在右侧时，补全图形后根据垂线定义结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：补全图形如下， 由（1）可知，， 因为，所以． ①当射线在左侧时，如图1，， 所以． ②当射线在右侧时，如图2，， 所以． 21．已知． (1)如图1，若在的内部，且，求的大小； (2)如图2，绕点顺时针旋转，保持在的内部． ①若．请证明是的平分线； ②请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义、垂直的性质，关键是结合图形中角的位置关系，利用已知角的度数建立等式来推导未知角． （1）观察图形可知由、、三部分组成，因此直接用的度数减去与的度数和，即可求出． （2）①由得，结合，先算出的度数；再用的度数减去得到的度数，比较两角相等即可． ②将拆分为，而，代入、的已知条件，化简后即可得到两角的数量关系． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； ②解：∵，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2两条直线垂直同步培优讲义 （6知识点+5题型+过关检测） 【题型1 垂线定义的理解】 2 【题型2 画垂线】 3 【题型3 垂线段最短】 5 【题型4 点到直线的距离】 6 【题型5 与垂直有关的计算】 7 · 理解垂线的定义，掌握垂线的表示方法，能准确判断两条直线是否垂直； · 熟练掌握过一点画已知直线垂线的方法，理解“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实； · 掌握垂线段的性质（垂线段最短），理解点到直线的距离的定义，能准确测量或计算点到直线的距离； · 能解决与垂直有关的角度计算、线段长度比较等基础培优题型，培养几何推理和计算能力。 03 知识•梳理 知识点1. 垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 表示方法：若直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD（或CD⊥AB），垂足为O，可写作“AB⊥CD，垂足为O”。 关键提醒：① 垂直是相交的特殊情况，只有相交且夹角为90°时，两条直线才互相垂直；② 互相垂直的两条直线，四个交角都是直角；③ 垂线是相互的，不能单独说某一条直线是垂线。 知识点2. 垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 关键提醒：① “过一点”可以是直线上的点，也可以是直线外的点；② “有且只有”表示存在性（有一条）和唯一性（只有一条），缺一不可；③ 该性质仅适用于同一平面内，空间中不成立。 知识点3.垂线的画法 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 知识点4. 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 知识点5. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 关键提醒：① 点到直线的距离是“长度”，不是垂线段本身（垂线段是图形，距离是数值）；② 测量点到直线的距离时，必须先画出垂线段，再测量其长度；③ 若点在直线上，则点到这条直线的距离为0。 知识点6. 补充要点 ① 若两条直线互相垂直，则它们相交所成的四个角都是90°；反之，若两条直线相交所成的一个角是90°，则这两条直线互相垂直； ② 两条直线垂直，可推出相关角为90°，反之，由角为90°可推出两条直线垂直（互逆关系，常用于计算和推理）。 04 题型•汇总 【题型1 垂线定义的理解】 解题关键 紧扣垂线的定义，判断两条直线是否垂直，核心看相交角是否为90°；注意区分“垂直”与“相交”的关系，以及垂线的相互性。 【典例1】．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．如图，已知，平分，，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如图，直线相交于点O，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型2 画垂线】 解题关键 掌握画垂线的工具（直尺、三角板）和步骤，分两种情况：① 过直线上一点画已知直线的垂线；② 过直线外一点画已知直线的垂线；注意画完后标注垂足和垂直符号。 【典例2】．过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【题型3 垂线段最短】 解题关键 牢记“垂线段最短”的性质，核心应用：比较直线外一点到直线上各点的线段长度，最短的一定是垂线段；解决实际问题（如最短路径）时，优先考虑作垂线段。 【典例3】．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 跟随训练3-1．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 跟随训练3-2．下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（    ） A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的 B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近 C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子 D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离 【题型4 点到直线的距离】 解题关键 明确点到直线的距离的定义（垂线段的长度），区分“垂线段”与“距离”（图形与数值）；计算或判断时，先确认垂线段，再求其长度。 【典例4】．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 跟随训练4-2．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型5 与垂直有关的计算】 解题关键 利用垂线的定义（夹角为90°）、对顶角相等、邻补角互补等知识，结合已知角度，计算未知角度；注意找准垂直关系对应的直角，理清角与角之间的和差关系。 【典例5】．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，求的度数． 跟随训练5-1．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 跟随训练5-2．直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 05 过关•检测 1．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 3．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 4．下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 6．如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 7．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①；②与互余；③与互补；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，点在直线上，，且平分，．则 ． 10．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 11．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 12．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 13．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 14．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 15．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 16．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 17．如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 18．已知：如图，点是直线上一点，过点作射线平分，过点作，垂足为点，若．求的度数． 19．如图，直线、相交于，射线平分，，若，则和的度数各是多少？ 20．如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 21．已知． (1)如图1，若在的内部，且，求的大小； (2)如图2，绕点顺时针旋转，保持在的内部． ①若．请证明是的平分线； ②请直接写出与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $