重难点01 四边形的折叠问题（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 重难点01 四边形的折叠问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 18 重难点一 平行四边形的折叠问题 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD 注意：定义既可以作为判定使用，也可以作为性质使用，具有双重作用。 2．平行四边形的性质: （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称图形但不是轴对称图形． 3．平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（简单记忆为：平分+平行得等腰） （2）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （3）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 4. 平行四边形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AD//BC,AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法3 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AD//BC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 题型01平行四边形折叠产生的角度问题 / 【典例】（2025·广东广州·二模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 题型02平行四边形折叠产生的线段问题 / 【典例】（2025·河南商丘·三模）如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·浙江宁波·一模）如图，在 中， ， 为对角线 的中点， 为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使点 和点 重合．若 ，则 的长为 ． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ． 题型03平行四边形折叠产生的面积问题 / 【典例】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ． 【变式】 1．（2025·吉林长春·三模）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为 ． 2．（2025·河北保定·一模）如图，平行四边形中，，，对角线，沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，连接交于点．则的面积是 ． 题型04 平行四边形折叠产生的最值问题 / 【典例】（2025·河北唐山·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式】 1．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为 ． 2．（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，平行四边形中，，点P为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点D的对应点为点Q，直线交于点M，当点Q在上时，的长为 ，当有最小值时，的长为 ． 重难点二 矩形的折叠问题 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质： （1）边：对边平行且相等；邻边垂直； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线：对角线相等且互相平分； （4）整体：中心对称图形、轴对称图形； 3. 矩形的判定方法 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形, 且 ∴四边形ABCD是矩形 方法2 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵在四边形ABCD中， ， ∴四边形ABCD是矩形 方法3 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形, 且 ∴四边形ABCD是矩形 题型01 矩形折叠产生的角度问题 / 【典例】（2025·广东广州·一模）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 题型02 矩形折叠产生的线段问题 / 【典例】（2025·四川内江·模拟预测）如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ） A．3.8 B．3.6 C．3.5 D．3.4 【变式】 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形为矩形，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东临沂·二模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则的长为 ． 题型03 矩形折叠产生的最值问题 / 【典例】（2025·河南开封·二模）如图，矩形中，，，点是上一动点（不与、重合），连接，将沿折叠得，点在上，将沿折叠，使点恰好落在射线上，连接，则的最小值为 【变式】 1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在矩形中，，，为边上的动点，连结，，将沿折叠得，再将沿折叠得（与为对应点），当点落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是 ． 2．（2025·湖北黄石·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为   ． 重难点三 菱形的折叠问题 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边：对边平行，四边相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形； （5）面积=底×高=对角线乘积的一半． 3. 菱形的判定方法： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 方法2 四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 方法3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵AC//BD,AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是菱形 题型01 菱形折叠产生的线段问题 / 【典例】（2025·湖北·模拟预测）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 【变式】 1．（2025·河南信阳·一模）如图，菱形的顶点在轴上，于点，将菱形沿所在的直线折叠，点的对应点为．连接，若，点的横坐标为，则点的坐标为 ． 2．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ． 题型02 菱形折叠产生的最值问题 / 【典例】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，且，，点，分别是线段，上的两个动点，连接，，，当的值最小时，线段的长为 ． 【变式】 1．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 2．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 重难点四 正方形的折叠问题 1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边：四边都相等，邻边垂直； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线：对角线相等且互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形（4条对称轴）。 3．正方形的判定： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形 在四边形ABCD中 ∴四边形ABCD是正方形 方法2 一组邻边相等的矩形是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法3 一个角是直角的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 题型01 正方形折叠产生的线段问题 / 【典例】（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【变式】 1．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ． 2．（2025·贵州·二模）数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． (1)如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)如图③，当时，与对角线交于点，求的长． 题型02 正方形折叠产生的最值问题 / 【典例】（2025·广东深圳·二模）边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 【变式】 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，正方形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，过点P作，交于点Q． （1）当点Q是中点时，长为 ； （2）当最小时，长为 ． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为，连接．若，，，则线段的长为（    ） A．6 B． C． D． 2．（2025·河北邢台·一模）如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（   ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．乙对，丙错 D．三人的说法都对 3．（2025·河北唐山·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（   ） A． B． C．2 D． 4．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ． 5．（2025·湖北·一模）如图，把一张平行四边形纸片按所示方法进行两次折叠，得到 （1）若，则 (用含α的代数式表示)； （2）若，则的长度为 ． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ． 第6题 第7题 7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（     ）． A． B． C．12 D．5 8．（2025·天津河东·一模）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，连接交于点．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 第8题 第9题 9．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，，是的中点，是边上一动点，连接，，将沿折叠得到，连接．当取得最小值时，的长为 ． 1．（2025·山西临汾·二模）问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题． 成果展示 (1)“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点，，发现，请证明他们发现的结论； (2)“希望”小组：如图2，，分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论； (3)教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长． 2．（2025·山东临沂·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点． 【操作判断】 （1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 　　 ；的度数为 　　 ． 【迁移探究】 （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长； （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长； 【综合应用】 （3）如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿PQ折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 3．（2025·山东·一模）问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点，分别是，边上的点，将菱形沿折叠． 猜想证明：（1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决：（2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上点处，若，，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，的面积 ． 4．（2025·四川成都·二模）数学活动课上，同学们进行纸片折叠操作活动，具体过程如下： (1)如图1，将正方形纸片沿折叠使点的对称点落在边上(不与两端点重合)，点的对称点为点，交于点． ①求证：； ②试探究线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． (2)如图2，如果将正方形纸片换成矩形纸片继续探究，将矩形纸片按照（1）中方式操作，，，，求折叠后重叠部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 重难点01 四边形的折叠问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 18 重难点一 平行四边形的折叠问题 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD 注意：定义既可以作为判定使用，也可以作为性质使用，具有双重作用。 2．平行四边形的性质: （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称图形但不是轴对称图形． 3．平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（简单记忆为：平分+平行得等腰） （2）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （3）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 4. 平行四边形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AD//BC,AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法3 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AD//BC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 题型01平行四边形折叠产生的角度问题 / 【典例】（2025·广东广州·二模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质及三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质和折叠的性质得，再由三角形的外角性质得到，然后根据三角形内角和定理解答即可求解，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， 故选：． 【变式】 1．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ， 故选：B． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02平行四边形折叠产生的线段问题 / 【典例】（2025·河南商丘·三模）如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及菱形的面积公式的综合运用．关键在于利用折叠性质得出与的关系，进而求出菱形面积，再结合面积公式求出边上的高． 【详解】 解：由折叠性质，可知垂直平分，如图，设交点为，则， 四边形是平行四边形，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，则， ， ， 在中，， 设边上的高为，则， 即：，解得， 即边上的高为： ． 故选：D ． 【变式】 1．（2025·浙江宁波·一模）如图，在 中， ， 为对角线 的中点， 为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使点 和点 重合．若 ，则 的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作，过点D作交的延长线于点M，连接，证明四边形为矩形，得出，根据，得出为等腰直角三角形，结合，得出，即可得，根据 为对角线 的中点，结合轴对称可得，，得出，，求出，从而求出，根据直角三角形的性质得出，设，得出，根据三角形内角和固定得出，解直角三角形得出，即可列出方程，求出即可解答． 【详解】解：过点A作，过点D作交的延长线于点M，连接，如图所示： ∵在 中，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ， ， ∵ 为对角线 的中点，结合轴对称可得，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形，折叠的性质得到，，如图所示，过点作于点，设，则，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型03平行四边形折叠产生的面积问题 / 【典例】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，由折叠得，，因为点恰好落在的延长线上的点处，所以，，所以，则，，即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ∴， 由折叠得， ∵点恰好落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·吉林长春·三模）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，解答本题的关键重叠部分是等腰三角形． 根据翻折的性质及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴， 所以， ∴三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点作， 则有， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·河北保定·一模）如图，平行四边形中，，，对角线，沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，连接交于点．则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，先求出的长度，再判定四边形是菱形，然后判定和，利用相似三角形的性质求得和的长度，即可求解； 【详解】解：， ， 是平行四边形， ∴， ， 沿折叠，点落在上点处，折痕交于点， ，， ， 平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ∴，， ∴， 平行四边形中，， ，， ，， ∴，， ， ， ， ， ， ； 故答案为： 题型04 平行四边形折叠产生的最值问题 / 【典例】（2025·河北唐山·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】当时，取得最小值，设，得到，，得到，即可求出答案． 【详解】解：当时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∵将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上． ∴， ∴，， 设，则， 故点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， 即的长为， 故选：A 【变式】 1．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长到点，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ∵是的中点 则是的中位线， ∴， 当取最小值时，有最小值， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， 又， ∴， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为． 故答案为：． 2．（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，平行四边形中，，点P为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点D的对应点为点Q，直线交于点M，当点Q在上时，的长为 ，当有最小值时，的长为 ． 【答案】 2 【分析】当点Q在上时，由角平分线的定义及平行四边形的性质可知，即可求出；由角平分线的定义及平行四边形的性质可知，当最小时，最小，而时最小，此时为等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：如图，点Q在上时，Q与M重合， ∵以为对称轴折叠得到， ∴，， ∵平行四边形中，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以为对称轴折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当有最小值时，则最小，而时最小，如图所示， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴的长为； 故答案为：2；． 重难点二 矩形的折叠问题 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质： （1）边：对边平行且相等；邻边垂直； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线：对角线相等且互相平分； （4）整体：中心对称图形、轴对称图形； 3. 矩形的判定方法 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形, 且 ∴四边形ABCD是矩形 方法2 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵在四边形ABCD中， ， ∴四边形ABCD是矩形 方法3 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形, 且 ∴四边形ABCD是矩形 题型01 矩形折叠产生的角度问题 / 【典例】（2025·广东广州·一模）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，由折叠得是解题的关键．根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， ． 故选：B． 【变式】 1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 2．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 题型02 矩形折叠产生的线段问题 / 【典例】（2025·四川内江·模拟预测）如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ） A．3.8 B．3.6 C．3.5 D．3.4 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．连接交于点，根据翻折的性质知，垂直平分，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：连接交于点， 如图， 由折叠的性质可得，垂直平分，即， ， 为的中点， ， ∴在中，， ， ，即 ， 解得 ， ∵垂直平分， ， ， ， ， ∴在中，， 故选： B． 【变式】 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形为矩形，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数，矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，延长交于点，可得四边形为矩形，推出，，由折叠可得：，，，推出，进而得到，，得到，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，， 由折叠可得：，，， ， ， ，， ， ， 故选：D． 2．（2025·山东临沂·二模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】该题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点；证明是正方形，求得，，由三角函数的定义算出，据此计算即可求解； 【详解】解：由折叠可得：， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， 则， 故答案为：． 题型03 矩形折叠产生的最值问题 / 【典例】（2025·河南开封·二模）如图，矩形中，，，点是上一动点（不与、重合），连接，将沿折叠得，点在上，将沿折叠，使点恰好落在射线上，连接，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，正切的定义，勾股定理，二次函数的性质，根据题意得出，设，则，根据得出，根据勾股定理可得，则当取得最小值时，取得最小值，进而根据二次函数的性质求得的最小值，即可求解． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵点恰好落在射线上， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∵ ∴当时，取得最小值为 ∴的最小值为 故答案为：． 【变式】 1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在矩形中，，，为边上的动点，连结，，将沿折叠得，再将沿折叠得（与为对应点），当点落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形与折叠，相似三角形的判定和性质是关键． 如图所示，点重合时，，设，则，，在中，；如图所示，点在上，，；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，点重合时， ∵折叠， ∴， 在中，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 如图所示，点在上， 根据折叠得到，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 根据上述计算得到， ∴，整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意； 当时，，即点在延长线上，不符合题意； ∴， ∴当点落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是， 故答案为： ． 2．（2025·湖北黄石·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为   ． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得：，进而可确定点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，，由于，故当最小时的面积最小，因为，故只需要求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧， 如图，作，，垂足分别为、， 四边形是矩形，， ，， ，， 四边形是矩形， ， ∵， 当最小时， 的面积最小， ， ， 当点在上时，最小，最小为， 面积的最小值为， 故答案为： 重难点三 菱形的折叠问题 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边：对边平行，四边相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形； （5）面积=底×高=对角线乘积的一半． 3. 菱形的判定方法： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 方法2 四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 方法3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵AC//BD,AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是菱形 题型01 菱形折叠产生的线段问题 / 【典例】（2025·湖北·模拟预测）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的折叠，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质及折叠的性质，用勾股定理列方程解决问题． 过作于，由四边形是菱形，可得是等边三角形，又，即得，在中，，，从而，设，则，，在中，由勾股定理即可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是菱形，边长为， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·河南信阳·一模）如图，菱形的顶点在轴上，于点，将菱形沿所在的直线折叠，点的对应点为．连接，若，点的横坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令与的交点为，根据菱形和折叠的性质，得到，进而得出，再由勾股定理求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是菱形，， ，，， ，菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为， ， ，即， ， 点的横坐标为， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点B的坐标为， 故答案为：． 2．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，由菱形的性质得，，由角三角形的特征得，设，由折叠得：，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，能构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， 设， 则，， 由折叠得：， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型02 菱形折叠产生的最值问题 / 【典例】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，且，，点，分别是线段，上的两个动点，连接，，，当的值最小时，线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，在上取一点，使，连接，，过点A作于点H，推出的最小值为的长，再利用勾股定理求出，利用面积法求出的长,证明得即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴点与点F关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵四边形是菱形，， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， 解得， 此时，点在上，且点与点重合，连接，如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当F在上时，有最小值，最小值为； 如图，过点E作交于延长线点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：． 2．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 重难点四 正方形的折叠问题 1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边：四边都相等，邻边垂直； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线：对角线相等且互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形（4条对称轴）。 3．正方形的判定： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形 在四边形ABCD中 ∴四边形ABCD是正方形 方法2 一组邻边相等的矩形是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法3 一个角是直角的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 题型01 正方形折叠产生的线段问题 / 【典例】（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【变式】 1．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 2．（2025·贵州·二模）数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． (1)如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)如图③，当时，与对角线交于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质得到，，根据折叠的性质得，求出，即可得到答案； （2）由正方形的性质和折叠的性质得到，求出，得到，即可得到 （3）延长，交的延长线于点，设，由正方形的性质和折叠的性质得到，继而得到，求出，得到，证明，得到，由求出． 【详解】（1）解：正方形， ，， 根据折叠的性质得，， 故答案为：； （2）解：如图，由折叠的性质，得，， 正方形的边长为6， ，，， ，， ， ， ； （3）（3）如图，延长，交的延长线于点， 设， 在正方形中，，， ， 由折叠的性质，得， ， ， ， ， 过点作于点， ，， 在中，， ， 解得， ， ， ， 又， ， ， 由（2）知，， ． 题型02 正方形折叠产生的最值问题 / 【典例】（2025·广东深圳·二模）边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，全等三角形的判定和性质．根据证明得，取的中点H，连接，证明G点的运动轨迹为以为直径，中点H为圆心的圆，可得当C，G，H共线时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点H，连接． ∵A、B为定点， ∴G点的运动轨迹为以为直径，中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，的值最小， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵C，G，H共线时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式】 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，连接，根据勾股定理求出，由折叠可得，根据，由当点三点共线时，最小，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， 如图：连接， ∴在中，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，最小， 如图： ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，正方形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，过点P作，交于点Q． （1）当点Q是中点时，长为 ； （2）当最小时，长为 ． 【答案】 【分析】（1）过点P作于点M，交于点N，则四边形是矩形，由正方形的性质得，则，，可证明，则，所以，再证明，得，由得，推导出，则，所以，由，得，所以，则，求得，于是得到问题的答案； （2）取的中点H，连接交于点P，交于点Q，连接，因为点E是边的中点，所以，则，所以垂直平分，则，作于点T，于点F，可证明，推导出，再证明，得，所以，可知的值最小，再证明，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）如图，过点P作于点M，交于点N，则， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图，取的中点H，连接交于点P，交于点Q，连接，则， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为， 作于点T，于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于点T，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为，连接．若，，，则线段的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，平行四边形性质及折叠的性质，过A作，根据折叠得到，，，，，再证，结合利用正玄余玄求出即可得到答案； 【详解】解：过A作， ∵平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为，， ∴，，，，， ∵四边形是平行四边形， ， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·河北邢台·一模）如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（   ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．乙对，丙错 D．三人的说法都对 【答案】C 【分析】甲：如图所示，当时，证明可得结论； 乙：如图所示，当落在上时，点E和重合，证明四边相等即可； 丙：当点P靠近点C时，在四边形外部，此时，推出，即可判断． 【详解】解：甲：如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，故甲正确； 乙：如图所示，当落在AD上时，点E和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿AP翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故乙正确； 丙：如图所示， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ，故丙错误； 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2025·河北唐山·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】当时，取得最小值，设，得到，，得到，即可求出答案． 【详解】解：当时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∵将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上． ∴， ∴，， 设，则， 故点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， 即的长为， 故选：A 4．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，由折叠得，，因为点恰好落在的延长线上的点处，所以，，所以，则，，即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ∴， 由折叠得， ∵点恰好落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·湖北·一模）如图，把一张平行四边形纸片按所示方法进行两次折叠，得到 （1）若，则 (用含α的代数式表示)； （2）若，则的长度为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查平行四边形的性质、翻折变换、三角形的内角和相关知识，具有一定的综合性．要求考生灵活掌握平行四边形相关知识以及翻折的相关性质解决问题． （1）求出，，根据三角形内角和定理进行解答即可； （2）分三种情况分别进行解答即可． 【详解】解：(1)由折叠知，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴，， ∴， ∴． (2)在中，． ∵为直角三角形， ∴有以下情况： ①当时，， ∴， ∴，． 设，则 由（1）知． ∴， ∴ ②当时， ③当时，， 则，此种情况不存在． 综上所述，的长度为或 故答案为：或 6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形，折叠的性质得到，，如图所示，过点作于点，设，则，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（     ）． A． B． C．12 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是图形的翻折变换及勾股定理．先根据翻折变换的性质得出，再先设，则，，在中由勾股定理可求出，得到，在和中由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵由翻折而成， ∴， ∴，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：，即， ∴，即， 在中，由勾股定理可得， 故选：A． 8．（2025·天津河东·一模）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，连接交于点．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设为直线上一点，根据折叠的性质，矩形的性质，证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接，设为直线上一点， ∵在矩形中，点是的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故选项D正确； ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，故选项错误； ∵，故选项A错误； ∵， ∴， ∵为的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：；故选项B错误； 故选D． 9．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，，是的中点，是边上一动点，连接，，将沿折叠得到，连接．当取得最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得出，，再利用勾股定理求得，结合折叠的性质可得出，从而可得出当点落在上时，，此时的值最小，再利用证明，从而可得，再利用正切求得，进而求得当取得最小值时，的长． 【详解】解：如图1，∵四边形是正方形，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，点在上，延长交于点G，作于点H， 则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2025·山西临汾·二模）问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题． 成果展示 (1)“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点，，发现，请证明他们发现的结论； (2)“希望”小组：如图2，，分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论； (3)教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质； （1）由四边形是平行四边形，得到，，根据折叠的性质得，，即可得到，； （2）根据折叠的性质得，，，，证明，得到； （3）过作交延长线于，先求出，，根据折叠的性质得，，，，再证明，得， 设，则，，在中，根据得到，最后根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据折叠的性质得，，，， 又∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：过作交延长线于， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得，，，， ∴，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．（2025·山东临沂·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点． 【操作判断】 （1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 　　 ；的度数为 　　 ． 【迁移探究】 （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长； （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长； 【综合应用】 （3）如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿PQ折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 【答案】（1），；（2）见解析，3；（3）6，4 【分析】（1）由折叠得，，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明△是等边三角形即可求出角度； （2）当点落在对角线上点时，设，分别出、、，用勾股定理即可求解即可； （3）设，求出与重叠部分面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值． 【详解】解：（1）线段与线段的位置关系为，理由如下： 如图1，连接， 由折叠得：，， 、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； ，理由如下： 将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ； 故答案为：，； （2）如图2，点落在对角线上点时， 在矩形中， ，，， ， 设，由折叠得：，， ，，， ， ， 解得：， ； （3）， ， 设， ， 解得， 翻折后的三角形为， ，， ①当点在与之间或在对角线上时，如图4，图5， ， ， 此时折后与重叠部分面积， ， 在，当时，即，的最大值； 3．（2025·山东·一模）问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点，分别是，边上的点，将菱形沿折叠． 猜想证明：（1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决：（2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上点处，若，，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，的面积 ． 【答案】（1）四边形为菱形；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据折叠的性质可知，易得，进而证明四边形为平行四边形，然后根据“邻边相等的平行四边形为菱形”，即可获得答案； （2）过点作于点，首先证明为等边三角形，进而可得，，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由三角函数解得的值，进而可得的长度，然后在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （3）过点作，交延长线于点，根据题意可得，在中，由三角函数解得的值，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）四边形为菱形．理由如下： 四边形为菱形， ， 将菱形沿折叠，点的对应点与点重合， ，， ， ，， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形； （2）如下图，过点作于点， 四边形为菱形，， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ； （3）如下图，过点作，交延长线于点， 四边形为菱形，，且点为的一个三等分点， ，，， ， ， ， 设，则，， 由折叠的性质可得，， 在中，， 即，解得， ． 4．（2025·四川成都·二模）数学活动课上，同学们进行纸片折叠操作活动，具体过程如下： (1)如图1，将正方形纸片沿折叠使点的对称点落在边上(不与两端点重合)，点的对称点为点，交于点． ①求证：； ②试探究线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． (2)如图2，如果将正方形纸片换成矩形纸片继续探究，将矩形纸片按照（1）中方式操作，，，，求折叠后重叠部分的面积． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据，推导出，证明相似即可； ②连接，连接，作于点，如图所示，证明和，即可证明线段的和差关系； （2）先利用三角函数关系求出，，，这些线段长，再分别求出、、的面积，最后利用折叠后重叠部分的面积计算即可． 【详解】（1）①证明：由折叠可知， 故， 又， ， 又， ； ②证明：，理由如下： 连接，连接，作于点，如图1所示， 由折叠可知， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又，， ， 从而， 故， 即． （2）解：设，由折叠可得， ，则有， 解得， 此时． 又由（1）①中可知， ， ， ，， ， ， ， 折叠后重叠部分的面积， ． 2 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $