重难点01 方程与不等式的解法（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“方程与不等式的解法”核心考点，涵盖一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程及不等式（组）五大模块，按“定义-解法-易错点-题型”架构梳理知识，通过考点精讲、方法归纳、真题典例及变式训练，系统突破运算难点，体现复习的针对性。 亮点在于“易错点精准剖析+分层实战训练”设计，如针对去分母漏乘等典型失误专项点拨，结合中考真题变式培养运算能力与推理意识。设“固根基”“验成效”两级练习，助力教师把控复习节奏，帮助学生高效掌握解题策略，提升中考应试能力。

第二章 方程与不等式 重难点01 方程与不等式的解法 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 7 重难点一 一元一次方程的解法 1. 一元一次方程的定义：只含一个未知数，未知数的最高次数为 1，且两边都是整式的方程 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值 能判断一个方程是否为一元一次方程；会验证某数是否为方程的解； 3.解法步骤: 1）基本步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1； 2）等式的基本性质： 性质 1：等式两边加（减）同一个数或式，等式仍成立； 性质 2（等式两边乘（除）同一个不为 0 的数，等式仍成立）。 4.易错点总结： 1）概念混淆 · 误将分式方程（如）当作一元一次方程，忽略 “整式方程” 的要求； · 忽略未知数的系数不为 0 的隐含条件，如方程 是一元一次方程，则 。 2. 解方程步骤失误 · 去分母漏乘：去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，容易漏乘不含分母的项。 例：解方程 ，两边乘 6 得（错误，应为 ）。 · 移项忘记变号：移项是从方程一边移到另一边，必须改变符号，容易和等式性质 1 的 “同加同减” 混淆。 · 去括号符号错误：括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号，容易漏变。 例：解方程，去括号得（错误，应为）。 · 系数化为 1 时出错。 题型01直接解一元一次方程 / 【典例】（2025·四川眉山·中考真题）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键：去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：． 【变式】 1．（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 【答案】(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误； (2)见解析． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、公式法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键． （1）根据解方程的步骤进行判断即可； （2）按照正确的步骤和方法解方程即可． 【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误； （2） …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 则 即第四步． 2．（2025·山东滨州·二模）解方程：； 【答案】； 【知识点】解一元一次方程 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； 【详解】解：（1）去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 题型02根据一元一次方程的解求参数的值 / 【典例】（2025·广西南宁·模拟预测）若是方程的解，则（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解的概念和一元一次方程的求解，正确计算是关键； 把代入方程可得关于m的方程，再解方程即可. 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即； 故选：D 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）已知是方程，那么m的值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，掌握方程的解的定义，解一元一次方程的方法是解题关键．根据方程的解得定义把代入方程转化为关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程， ∴， 解得：， 故选：D． 2．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．由关于的方程的解是，即可得，继而求得答案． 【详解】解：关于的方程的解是， ， 解得：． 故选：A． 重难点二 二元一次方程组的解法 1. 二元一次方程需要具备三个条件：含两个未知数，未知数最高次数为 1，整式方程；二元一次方程组：由两个（或多个）二元一次方程组成的方程组；方程组的解：同时满足方程组中所有方程的未知数的值； 2.二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法；关键是消元的思想； 3. 含参数的方程组问题：主要借助方程组解得概念直接代入和整体数学思想；利用整体思想代入求值；此种类型问题中所给条件通常是一个等式或者方程，通过适当变形，将条件式变成分式化简后的“样子”，再代入或者利用因式分解分解后再代入求值，一般难度要高于前几种类型。 题型01 直接解二元一次方程组 / 【典例】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 【变式】 1．（2025·山西·中考真题）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【分析】本题考查了解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； 利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 【详解】解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：． 【答案】． 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键．利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 题型02 根据二元一次方程组的解求参数的值 / 【典例】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：方程组的两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式】 1．（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解． 【详解】解：， 得：， ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为4， 故选：B． 2．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 题型03 根据二元一次方程组的解求代数式的值 / 【典例】（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 【变式】 1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、求一个数的平方根、利用二次根式的性质化简、加减消元法 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相减直接求解代数式的值是解题的关键．通过观察方程组中两个方程的系数，用第一个方程减去第二个方程，可直接求出的值． 【详解】解：， 得， ， ∴ ， 故选：B． 重难点三 一元二次方程的解法 1. 一元二次方程的定义：只含一个未知数，未知数最高次数为 2，且二次项系数不为 0 的整式方程，一般形式：；方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值； 2. 一元二次方程的四种常用解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法； 3.一元二次方程根的情况判断方法： 1）：方程有两个不相等的实数根； 2） ：方程有两个相等的实数根； 3） ：方程无实数根； 4. 一元二次方程根与系数关系： 若方程的两根为，则， 常用的变形：, 题型01 直接解一元二次方程 / 【典例】（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【答案】，； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法． 把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 【变式】 1．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     【答案】，； 【知识点】解一元二次方程——配方法、 【分析】本题考查解一元二次方程．利用配方法求解； 【详解】解：， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， 2．（2025·黑龙江·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ，则方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 题型02 利用判别式判断根的情况 / 【典例】（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 题型03 根据根的情况求参数的范围 / 【典例】（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 【变式】 1．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 题型04 利用根与系数关系求代数式的值 / 【典例】（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【变式】 1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 重难点四 分式方程的解法 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程; 2. 增根：分式方程化为整式方程后，使原分式方程的分母为 0 的根（增根不是原方程的解）; 3. 分式方程的解法基本步骤：去分母→解整式方程→检验（必考步骤） 4.分式方程常考类型：（1）直接解分式方程；（2）已知增根求参数；（3）已知方程无解求参数； 题型01 直接解分式方程 / 【典例】（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 【变式】 1．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 2．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 题型02 根据分式方程根的情况求参数的值 / 【典例】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 【变式】 1．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得，根据分式方程有增根可得，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 重难点五 一元一次不等式（组）的解法 1. 一元一次不等式的概念：只含一个未知数，未知数最高次数为 1，整式不等式； 2. 一元一次不等式组：由几个一元一次不等式组成的不等式组； 3. 不等式的解集：使不等式（组）成立的未知数的取值范围；不等式组的解集是各不等式解集的公共部分； 4. 一元一次不等式解法步骤： 去分母（不含分母的项易漏乘公分母）→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1； 5. 不等式组解法步骤：解每个不等式→找公共解集→表示解集； 题型01 利用不等式的基本性质证明不等式； / 【典例】（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【变式】 1. （2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求一个数的平方根、完全平方公式分解因式、不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键． （1）根据题意可得，再由可得，据此可证明结论； （2）根据，，可得，进一步可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2. （2025·福建泉州·模拟预测）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．例如： 已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵， ∴，……① ，……② ∴．……③ ∵，……④ ∴，即． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)在步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤______（填“①、②或③”）；步骤④用到的乘法公式名称为______（填“两数差的平方公式”或“平方差公式”）； (2)已知实数x，y满足，求证：．（注：无需写出每步的依据．） 【答案】(1)③；平方差公式； (2)见解析 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据不等式的性质及平方差公式即可得出结果； （2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题． 【详解】（1）解：步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤③，步骤④用到的乘法公式名称为平方差公式； 故答案为：③；平方差公式； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型02 直接解一元一次不等式（组） / 【典例】（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 【变式】 1．（2025·江苏连云港·二模）解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法，能求出两个不等式解集的公共解集． 分别解出两个不等式的解集，再找公共解集即可． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：； ∴不等式组解集为：． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 1．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了根据一元一次方程的解求参数，解一元一次不等式，首先移项得到，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】 移项得， ∵关于的方程有负根， ∴ ∴． 故选：A． 2．（2025·四川绵阳·二模）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程化为，解得，故原方程有实数根，符合题意； 当时，当，即时，原方程有两个实数根， 综上，满足条件的k的取值范围为， 故选：B． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的整数解、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 4．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了加减消元法、同底数幂的除法等知识点，准确求解方程组是解题的关键． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后整体代入即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴． 故选C． 5．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 6．（2025·新疆昌吉·模拟预测）关于方程，下列说法不正确的是（   ） A．该方程是一元二次方程 B．解方程时，两边同时除以即可 C．该方程适合用因式分解法求解 D．该方程有两个不等的实数根 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解． 【详解】解：A、方程整理得，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意； B、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，故该说法错误，符合题意； C、， 移项得 ， 提取公因式得 ， 即 ， ∴ 方程根为 或 . 用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意； D、由得： ， 故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意； 故选：． 7．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 8．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 9．（2025·广西·一模）解下列方程或方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、加减消元法 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，二元一次方程组，掌握相应的运算法则是关键． （1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）①+②得：，解得． 把代入①得：，解得． 方程组的解为． 10．（2025·江苏·一模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键．先去分母，再解整式方程，最后检验即可得解． 【详解】解： 去分母得： 解得． 检验：当时，， 原方程的解为． 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 【答案】(1)见解析； (2),． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题； （2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题知， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：当时，关于x的一元二次方程为， 整理得， 则或， 解得，． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 【答案】或1或2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键． 先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】原方程是分式方程， 且， 两边同时乘以得：， ， 方程只有一个实数解， 若原分式方程有解， ， 解得：， ， 解得：，符合题意； 若原分式方程有增根，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或1或2． 3．（2025·广西·三模）（1）对于整数x，规定，例如：，求：的值． （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2）；0． 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，求不等式组的解集，分式的化简求值． （1）根据所给新定义计算出若干的值，得到，再求所求的式子的值即可． （2）先求得不等式组的解集，再把原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ，则； ，则； ，则； …， ； ∴ ； （2）解：解不等式，可得：； 解不等式，可得：， ∴不等式组的解集为， ∵是不等式组的整数解， ∴的值可以取； ． ∵的值可以取； ∴当时，，舍去； 当时，原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 重难点01 方程与不等式的解法 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 7 重难点一 一元一次方程的解法 1. 一元一次方程的定义：只含一个未知数，未知数的最高次数为 1，且两边都是整式的方程 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值 能判断一个方程是否为一元一次方程；会验证某数是否为方程的解； 3.解法步骤: 1）基本步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1； 2）等式的基本性质： 性质 1：等式两边加（减）同一个数或式，等式仍成立； 性质 2（等式两边乘（除）同一个不为 0 的数，等式仍成立）。 4.易错点总结： 1）概念混淆 · 误将分式方程（如）当作一元一次方程，忽略 “整式方程” 的要求； · 忽略未知数的系数不为 0 的隐含条件，如方程 是一元一次方程，则 。 2. 解方程步骤失误 · 去分母漏乘：去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，容易漏乘不含分母的项。 例：解方程 ，两边乘 6 得（错误，应为 ）。 · 移项忘记变号：移项是从方程一边移到另一边，必须改变符号，容易和等式性质 1 的 “同加同减” 混淆。 · 去括号符号错误：括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号，容易漏变。 例：解方程，去括号得（错误，应为）。 · 系数化为 1 时出错。 题型01直接解一元一次方程 / 【典例】（2025·四川眉山·中考真题）解方程： 【变式】 1．（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 2．（2025·山东滨州·二模）解方程：； 题型02根据一元一次方程的解求参数的值 / 【典例】（2025·广西南宁·模拟预测）若是方程的解，则（　　） A．1 B．3 C． D． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）已知是方程，那么m的值是（   ） A． B． C． D．3 2．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 重难点二 二元一次方程组的解法 1. 二元一次方程需要具备三个条件：含两个未知数，未知数最高次数为 1，整式方程；二元一次方程组：由两个（或多个）二元一次方程组成的方程组；方程组的解：同时满足方程组中所有方程的未知数的值； 2.二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法；关键是消元的思想； 3. 含参数的方程组问题：主要借助方程组解得概念直接代入和整体数学思想；利用整体思想代入求值；此种类型问题中所给条件通常是一个等式或者方程，通过适当变形，将条件式变成分式化简后的“样子”，再代入或者利用因式分解分解后再代入求值，一般难度要高于前几种类型。 题型01 直接解二元一次方程组 / 【典例】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【变式】 1．（2025·山西·中考真题）解方程组： 2．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：． 题型02 根据二元一次方程组的解求参数的值 / 【典例】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式】 1．（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 题型03 根据二元一次方程组的解求代数式的值 / 【典例】（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【变式】 1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 重难点三 一元二次方程的解法 1. 一元二次方程的定义：只含一个未知数，未知数最高次数为 2，且二次项系数不为 0 的整式方程，一般形式：；方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值； 2. 一元二次方程的四种常用解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法； 3.一元二次方程根的情况判断方法： 1）：方程有两个不相等的实数根； 2） ：方程有两个相等的实数根； 3） ：方程无实数根； 4. 一元二次方程根与系数关系： 若方程的两根为，则， 常用的变形：, 题型01 直接解一元二次方程 / 【典例】（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【变式】 1．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     2．（2025·黑龙江·模拟预测）解方程：． 题型02 利用判别式判断根的情况 / 【典例】（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式】 1．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 题型03 根据根的情况求参数的范围 / 【典例】（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式】 1．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 2．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 题型04 利用根与系数关系求代数式的值 / 【典例】（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【变式】 1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 重难点四 分式方程的解法 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程; 2. 增根：分式方程化为整式方程后，使原分式方程的分母为 0 的根（增根不是原方程的解）; 3. 分式方程的解法基本步骤：去分母→解整式方程→检验（必考步骤） 4.分式方程常考类型：（1）直接解分式方程；（2）已知增根求参数；（3）已知方程无解求参数； 题型01 直接解分式方程 / 【典例】（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【变式】 1．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 2．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 题型02 根据分式方程根的情况求参数的值 / 【典例】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【变式】 1．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 2．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 重难点五 一元一次不等式（组）的解法 1. 一元一次不等式的概念：只含一个未知数，未知数最高次数为 1，整式不等式； 2. 一元一次不等式组：由几个一元一次不等式组成的不等式组； 3. 不等式的解集：使不等式（组）成立的未知数的取值范围；不等式组的解集是各不等式解集的公共部分； 4. 一元一次不等式解法步骤： 去分母（不含分母的项易漏乘公分母）→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1； 5. 不等式组解法步骤：解每个不等式→找公共解集→表示解集； 题型01 利用不等式的基本性质证明不等式； / 【典例】（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【变式】 1.（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 2.（2025·福建泉州·模拟预测）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．例如： 已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵， ∴，……① ，……② ∴．……③ ∵，……④ ∴，即． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)在步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤______（填“①、②或③”）；步骤④用到的乘法公式名称为______（填“两数差的平方公式”或“平方差公式”）； (2)已知实数x，y满足，求证：．（注：无需写出每步的依据．） 题型02 直接解一元一次不等式（组） / 【典例】（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【变式】 1．（2025·江苏连云港·二模）解不等式组 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）解不等式组： 1．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·二模）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C． D． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 5．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 6．（2025·新疆昌吉·模拟预测）关于方程，下列说法不正确的是（   ） A．该方程是一元二次方程 B．解方程时，两边同时除以即可 C．该方程适合用因式分解法求解 D．该方程有两个不等的实数根 7．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 8．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 9．（2025·广西·一模）解下列方程或方程组： (1)； (2)． 10．（2025·江苏·一模）解方程：． 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 3．（2025·广西·三模）（1）对于整数x，规定，例如：，求：的值． （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $