数学一模突破卷（山东专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在﹣3，，2，四个数中，最大的数是（　　） A．﹣3 B． C． D．2 2．下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C. D. 禁止驶入 两侧变窄 环岛行驶 两侧通行 3．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风5C液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风﹣5C液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 4．中国天宫空间站搭载的巡天空间望远镜，是航天员的“千里眼”，它未来计划对整个太空进行普查，预计发现数以亿计的天体，如果巡天望远镜最终发现了30600000000个天体，这个数字用科学记数法表示为（　　） A．3.6×1010 B．30.6×109 C．3.06×1010 D．3.06×109 5．已知a≠0，则下列运算错误的是（　　） A．3a﹣2a＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a2•a＝a3 D．a6÷a2＝a4 6．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　　） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 7．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 8．从﹣1，1，2这三个数中不重复地任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为（　　） A． B． C． D． 9．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是（1，1） B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．当x＞1时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数y＝x2的图象与函数的图象有3个不同的公共点 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+bx+c﹣5≥0的x的取值范围是x≤﹣3或x≥1．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知点P（2+a，3a﹣6）在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则a＝　 　 ． 12．公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝　 　 cm2． 13．我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（6+i）+（2﹣3i）＝（6+2）+（i﹣3i）＝8﹣2i． 根据上述材料，将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上，BE＝DF，M为EF的中点，点N在边AB上，∠AMN＝45°．若AB＝7，AM＝5，则MN的长为　 　 ． 15．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3）…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则y2026的值为　 　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值． 17．（8分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹． （2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形． （3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB＝∠DAE＝90°，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形． 18．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是线段BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求DE+DF的值． 他们用两种方法表示△ABC的面积： 方法一：如图，作AG⊥BC于点G，计算△ABC的面积． 解答过程如下：… 方法二：连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAC•DF． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出DE+DF＝　 　 ． 【学以致用】 如图2，直线y与x轴交于点A，且经过点D（2，m），已知点C的坐标为（6，0）． （1）求直线CD的解析式； （2）在直线CD上有一动点P，且点P到直线AD的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点P的坐标． 19．（10分）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（x＜2），B（2≤x＜3），C（3≤x＜4），D（x≥4）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 　 　 人，并补全条形图； （2）在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是 . （3）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数； （4）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长． 21.（9分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： （1）探究原理： 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆OP、量角器90°刻度线OC与铅垂线OG相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角∠QOK=∠GOC，请说明这两个角相等。 （2）实地测量： ①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为37°，测得旗杆底部B处的俯角为22°，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离QB为12米. 请用小红所测得的数据求旗杆AB的高度.（结果精确到1米. 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93 ，tan22°≈0.40） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为θ，则他由此计算出旗杆的高度为12 tanθ米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了1.5m，请你帮小明分析一下原因. 22．（11分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）， （1）若（﹣1，0），（0，5）两点在该函数图象上，求此函数的表达式； （2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3）若c＝2b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为8，直接写出b的值． 23．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝30°，点D在AC边上，BD平分∠ABC，AD＝2，求AB的长； （2）如图2，若∠BAC＝30°，点D在AC边上（点D不与点A，C重合），将射线BD绕点B顺时针旋转60°，在旋转后的射线上取一点E，连接AE，使得AE＝BE，过点E作EG⊥AC于点G，过点D作DH⊥AB于点H，探索线段BC，EG，DH之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点D在直线AB下方，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AD，AE，∠EAD＝75°，AB＝6，当四边形ADBE的面积取最小值时，在直线AB上取一点P，连接DP，将△DBP沿BD翻折到四边形ADBE所的平面内得到△BDQ，连接AQ，当AQ取最小值时，请直接写出△ADQ的面积． 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在﹣3，，2，四个数中，最大的数是（　　） A．﹣3 B． C． D．2 1．【答案】C． 【详解】解：∵﹣32， ∴最大的数是：． 故选：C． 2．下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C. D. 禁止驶入 两侧变窄 环岛行驶 两侧通行 2．【答案】A． 【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风5C液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风﹣5C液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 3．【答案】B． 【详解】解：根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图，东风﹣5C洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 4．中国天宫空间站搭载的巡天空间望远镜，是航天员的“千里眼”，它未来计划对整个太空进行普查，预计发现数以亿计的天体，如果巡天望远镜最终发现了30600000000个天体，这个数字用科学记数法表示为（　　） A．3.6×1010 B．30.6×109 C．3.06×1010 D．3.06×109 4．【答案】C． 【详解】解：30600000000＝3.06×1010． 故选：C． 5．已知a≠0，则下列运算错误的是（　　） A．3a﹣2a＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a2•a＝a3 D．a6÷a2＝a4 5．【答案】B． 【详解】解：A选项：3a﹣2a＝（3﹣2）a＝a，故A正确； B选项：（﹣2a2）3＝（﹣2）3•（a2）3＝﹣8a6，故B错误； C选项：a2•a＝a2+1＝a3，故C正确； D选项：a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故D正确． 故选：B． 6．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　　） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 6．【答案】A． 【详解】解：∵方程， ∴题中用“…，…”表示缺失的条件可能为甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：A． 7．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 7．【答案】B． 【详解】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣55°＝35°， ∵∠BDC+∠A＝180°， ∴∠BDC＝180°﹣35°＝145°． 故选：B． 8．从﹣1，1，2这三个数中不重复地任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为（　　） A． B． C． D． 8．【答案】B． 【详解】解：∵方程ax2+bx+1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4a≥0且a≠0， 从﹣1，1，2这三个数中不重复地任取两个数分别作为a，b的值， ∴序对（a，b）所有可能：（﹣1，1），（﹣1，2），（1，﹣1），（1，2），（2，﹣1），（2，1）， 当有序对（a，b）为（﹣1，1）时，Δ＝b2﹣4a＝12﹣4×（﹣1）＝1+4＝5＞0， 故符合题意； 当有序对（a，b）为（﹣1，2）时，Δ＝b2﹣4a＝22﹣4×（﹣1）＝4+4＝8＞0， 故符合题意； 当有序对（a，b）为（1，﹣1）时，Δ＝b2﹣4a＝（﹣1）2﹣4×1＝1﹣4＝﹣3＜0， 故不符合题意； 当有序对（a，b）为（1，2）时，Δ＝b2﹣4a＝22﹣4×1＝4﹣4＝0， 故符合题意； 当有序对（a，b）为（2，﹣1）时，Δ＝b2﹣4a＝（﹣1）2﹣4×2＝1﹣8＝﹣7＜0， 故不符合题意； 当有序对（a，b）为（2，1）时，Δ＝b2﹣4a＝12﹣4×2＝1﹣8＝﹣7＜0， 故不符合题意； 故满足条件的有3种，概率为：， 故选：B． 9．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是（1，1） B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．当x＞1时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数y＝x2的图象与函数的图象有3个不同的公共点 9．【答案】C． 【详解】解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点（0，0）， ∴函数的图象的对称中心为（1，2），故A选项错误； ∵由图可知，函数在x＜0时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在x＜1时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在x＞0时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，有最小值，为2， ∴函数在x＞0时，有最小值，为y＝2， ∴函数在x＞1时，有最小值，为y＝2+2＝4，故C选项正确； ∵由函数y＝x2与函数，可得， 即x3﹣2x2＝0，解得x1＝2，x2＝x3＝0， ∴二次函数y＝x2的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+bx+c﹣5≥0的x的取值范围是x≤﹣3或x≥1．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．【答案】C． 【详解】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得，， 解得，∴abc＞0，故①正确； ∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，∴y＝﹣x2﹣2x+8， 当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，∴x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确； ∵对称轴为直线x1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）， 又∵a＜0，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣1时，函数取最大值9， ∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误； ∵1，∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴为直线x＝﹣1对称， ∴y1＝y2，故④正确； ∵抛物线过（﹣3，5），（1，5），∴抛物线与直线y＝5交点的横坐标为﹣3，1， ∵抛物线开口向下，∴满足ax2+bx+c﹣5≥0的x的取值范围是﹣3≤x≤1，故⑤错误； 故选：C． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知点P（2+a，3a﹣6）在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则a＝　 　 ． 11．【答案】1 【详解】解：∵点P（2+a，3a﹣6）在第四象限且到两坐标轴的距离相等， ∴点P的横、纵坐标互为相反数， ∴2+a+3a﹣6＝0， 解得a＝1， 故答案为：1． 12．公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝　 　 cm2． 12．【答案】4 【详解】解：由题意知，∠ACB＝90°，设⊙O的半径为r，则， ∴，即， 解得r2＝4， ∴， 故答案为：4． 13．我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（6+i）+（2﹣3i）＝（6+2）+（i﹣3i）＝8﹣2i． 根据上述材料，将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）　 　 ． 13．【答案】1+i 【详解】解：由题意得：， 即将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）为：1+i， 故答案为：1+i． 14．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上，BE＝DF，M为EF的中点，点N在边AB上，∠AMN＝45°．若AB＝7，AM＝5，则MN的长为　 　 ． 14．【答案】 【详解】解：作NQ⊥AM于点Q，则∠AQN＝∠MQN＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上， ∴AD＝AB＝7，∠EAF＝90°， ∵BE＝DF，∴AF+AE＝AD+DF+AB﹣BE＝AD+DF+AB﹣DF＝14， ∵M为EF的中点，AM＝5，∴AM＝EM＝FMEF，∴∠QAN＝∠AEF，EF＝2AM＝10， ∵AE2+AF2＝EF2＝102＝100，且AF＝14﹣AE，∴AE2+（14﹣AE）2＝100， 解得AE＝6或AE＝8（不符合题意，舍去），∴AF＝14﹣6＝8， ∵点N在边AB上，∠AMN＝45°，∴∠QNM＝∠AMN＝45°，∴QN＝QM， ∵∠AQN＝∠EAF，∠QAN＝∠AEF，∴△AQN∽△EAF，∴， ∴QAQNQM， ∵AM＝QA+QMQM+QM＝5，∴QM， ∴MNQM， 故答案为：． 15．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3）…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则y2026的值为　 　 ． 15．【答案】 【详解】解：由题知， ∵点C1在反比例函数y的图象上，∴． ∵点C1为OB1的中点，∴点B1坐标可表示为（）． ∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴OA1＝A1B1，则， 解得x1＝2（舍负）， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当n＝2026时， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值． 16．【详解】（1）解：原式 ＝3． （2）解： ， ∵a2﹣1≠0，a（a﹣1）≠0， ∴a≠1或a≠﹣1或a≠0， ∴当a＝2时， 原式． 17．（8分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹． （2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形． （3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB＝∠DAE＝90°，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形． 17．【详解】解：（1）如图1所示，△ABD和△BCD是偏等积三角形； （2）如图2所示，△ABC和△DEF是偏等积三角形； （3）如图3所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H． ∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠HAC+∠DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°． ∴∠BAH＝∠DAC． 在△ABH和△ACD中，， ∴△ABH≌△ACD（AAS），∴BH＝CD， ∵S△ABEBH•AE，S△ACDAD•CD， ∵AE＝AD，CD＝BH， ∴S△ABE＝S△ACD， 又由图知，这两个三角形不全等， ∴△ACD与△ABE为偏等积三角形． 18．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是线段BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求DE+DF的值． 他们用两种方法表示△ABC的面积： 方法一：如图，作AG⊥BC于点G，计算△ABC的面积． 解答过程如下：… 方法二：连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAC•DF． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出DE+DF＝　 　 ． 【学以致用】 如图2，直线y与x轴交于点A，且经过点D（2，m），已知点C的坐标为（6，0）． （1）求直线CD的解析式； （2）在直线CD上有一动点P，且点P到直线AD的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点P的坐标． 18．【详解】解：【问题探究】 （1）作AG⊥BC于点G， ∵AB＝AC＝13，BC＝10， ∴BG＝CG＝5， 在Rt△ABG中，AG12， 则S△ABCBC•AG60； （2）连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB•DEAC•DF（DE+DF）＝60， 则DE+DF， 故答案为：； 【学以致用】 （1）把D（2，m）代入y得：m＝×2+，解得m＝3； ∴D（2，3）， 设直线CD解析式为yx 将点C（6，0）和点D（2，3）代入yx得，解得 ∴直线CD解析式为yx； （2）过D作DG⊥AC于G，过P作PH⊥AC于H，连接AP， 当P在线段CD上时，如图： yx，令y＝0得x＝﹣2，∴A（﹣2，0）， ∵D（2，3），C（6，0），∴AC＝8，AD＝5，DG＝3， ∵S△ACD＝S△ADP+S△ACP，点P到直线AD的距离为2， ∴8•PH，解得PH， 即点P的纵坐标为：x，解得：x，∴P（，）； 当P在线段CD延长线上时，如图： ∵S△ACD＝S△ACP﹣S△ADP， ∴，解得PH，同理可得：P（，）； 综上所述，P的坐标为（，）或（，）． 19．（10分）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（x＜2），B（2≤x＜3），C（3≤x＜4），D（x≥4）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 　 　 人，并补全条形图； （2）在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是 . （3）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数； （4）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 19．【详解】解：（1）B组人数为50﹣（9+15+6）＝20（人）， 补全图形如下： 故答案为：20； （2）A组在扇形图中所占的百分比是1-28%-52%-16%=4%，360°×4%=14.4° 故答案为：14.4° （3）500×（52%+16%）＝340（人）， 答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数约为340人； （4）学期末比学期初有提高。理由不唯一，符合题意即可. 例如：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了；学期末一周参与劳动的时间不低于3h的人数较学期初有增加. 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长． 20．【详解】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，点C是的中点， ∴，OA＝OB， 根据垂径定理得：OC⊥AB， 在△ABD中，OA＝OB，AC＝CD， ∴OC是△ABD的中位线，∴OC∥BD， ∵OC⊥AB，∴BD⊥AB，即BD⊥OB， 又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线； （2）解：∵AO＝2，∴OC＝OB＝OA＝2，∴AB＝OA+OB＝4， ∵BD是⊙O的切线，OC⊥AB，∴∠COE＝∠FBE＝90°， ∵点E是OB的中点，∴OE＝BE， 在△COE和△FBE中，， ∴△COE≌△FBE（ASA），∴OC＝BF＝2， ∵∠FBE＝90°，∴△ABF是直角三角形， 由勾股定理得：AF， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，即BH⊥AF， 由三角形面积公式得：S△ABFAF×BHAB×BF， ∴BH． 21.（9分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： （1）探究原理： 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆OP、量角器90°刻度线OC与铅垂线OG相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角∠QOK=∠GOC，请说明这两个角相等。 （2）实地测量： ①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为37°，测得旗杆底部B处的俯角为22°，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离QB为12米. 请用小红所测得的数据求旗杆AB的高度.（结果精确到1米. 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93 ，tan22°≈0.40） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为θ，则他由此计算出旗杆的高度为12 tanθ米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了1.5m，请你帮小明分析一下原因. 21．【详解】（1）∵∠QOC=∠KOG=90° ∴∠QOC-∠COK=∠KOG-∠COK 即∠QOK=∠GOC （2）①如图，过点P做PC⊥AB于点C，则四边形PCBQ是矩形， ∴PC=QB=12m， 在Rt△PCB中，∵∠CPB=22°，tan∠CPB， ∴BC=PCtan22°≈12×0.40=4.8m 在Rt△PCA中，∵∠CPA=37°，tan∠CPA， ∴AC=PCtan37°≈12×0.75=9m AB=AC+BC=9+4.8=13.8≈14m 答：旗杆AB的高度约为14m. ②测量时，测角仪到地面有一定距离，小明计算出的结果还要加上测角仪到地面的距离，才等于旗杆的高度. 22．（11分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）， （1）若（﹣1，0），（0，5）两点在该函数图象上，求此函数的表达式； （2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3）若c＝2b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为8，直接写出b的值． 22．【答案】（1）函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；（2）0＜m＜6；（3）b的值为2或． 【详解】解：（1）已知（﹣1，0），（0，5）两点在函数y＝﹣x2+bx+c图象上，把（﹣1，0），（0，5）代入得：，解得， ∴此函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5； （2）函数y＝﹣x2+4x+5的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C， 令y＝0，得：﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝5或﹣1，∴B（5，0） 令x＝0，得：y＝5，∴C（0，5）， ∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴顶点A的坐标为（2，9）， 平移后顶点坐标为（2，9﹣m）． 过点A作y轴的平行线交BC于点H，如图， 设直线BC的解析式为y＝kx+5，把点B的坐标代入得： 5k+5＝0，解得k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5， 当x＝2时，y＝3，∴H（2，3）， 函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9，解得0＜m＜6； （3）b的值为2或．理由如下： 若c＝2b2，则y＝﹣x2+bx+2b2， ∴函数的对称轴为直线， 当，即b≥0时，x＝0时，y取得最大值，即2b2＝8， 解得：b＝2或﹣2（不合题意，舍去）； 当，即﹣4＜b＜0时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（不合题意，舍去）； 当，即b≤﹣4时， x＝﹣2时，y取得最大值，即﹣（﹣2）2﹣2b+2b2＝8， 解得：b＝3（舍去）或﹣2（舍去）； 综上所述，b的值为2或． 23．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝30°，点D在AC边上，BD平分∠ABC，AD＝2，求AB的长； （2）如图2，若∠BAC＝30°，点D在AC边上（点D不与点A，C重合），将射线BD绕点B顺时针旋转60°，在旋转后的射线上取一点E，连接AE，使得AE＝BE，过点E作EG⊥AC于点G，过点D作DH⊥AB于点H，探索线段BC，EG，DH之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点D在直线AB下方，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AD，AE，∠EAD＝75°，AB＝6，当四边形ADBE的面积取最小值时，在直线AB上取一点P，连接DP，将△DBP沿BD翻折到四边形ADBE所的平面内得到△BDQ，连接AQ，当AQ取最小值时，请直接写出△ADQ的面积． 23．【详解】解：（1）∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， 又∵BD平分∠ABC，∴， ∴∠BAC＝∠ABD＝30°，∴AD＝DB＝2， 在Rt△DBC中，， 由勾股定理得，， 在Rt△ABC中，； （2），证明如下： 如图，连接ED，过点E作EK⊥AB， ∵AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形， ∴EK为△AEB的中垂线，∴AK＝BK， 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，2BC＝AB， ∴AK＝BK＝BC，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°， 又∵∠EBD＝60°，∴∠EBK+∠KBD＝∠KBD+∠DBC＝60°， ∴∠EBK＝∠DBC， 在△BEK和△BDC中，， ∴△BEK≌△BDC（ASA），∴BE＝BD， ∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD，∠BDE＝60°， 又∵DH⊥AB，∠BAC＝30°， ∴∠ADH＝90°﹣∠BAC＝60°， ∴∠ADE+∠EDH＝∠EDH+∠HDB＝60°，∴∠ADE＝∠HDB， ∵AE＝BE，∴AE＝DE， 又∵EG⊥AD，∴AG＝GD，即， 在Rt△ADH中，∠HAD＝30°，，， ∴AG＝GD＝DH， 在△EGD和△BHD中，， ∴△EGD≌△BHD（SAS），∴EG＝BH， ∵2BC＝AB，∴AH+BHEG＝2BC＝AB， 即； （3）如图，将BA绕点B逆时针旋转60°得BH，连接AH，DH， ∵BE＝BD，∠EBD＝60°，∴∠EBA+∠ABD＝∠ABD+∠DBH＝60°， ∴∠EBA＝∠DBH， 在△EBA和△DBH中，， ∴△EBA≌△DBH（SAS），∴∠AEB＝∠BDH， 又∵AB＝BH＝6，∠ABH＝60°，∴△ABH为等边三角形， ∴S四边形ADBE＝S△ABD+S△ABE＝S△ABD+S△BDH＝S△ABH﹣S△ADH， ∵△ABH的面积为定值，要使四边形ADBE的面积最小，∴△ADH的面积为最大， ∵∠EAD＝75°，∴∠AEB+∠ADB＝360°﹣∠EAD﹣∠EBD＝225°， ∴∠ADB+∠BDH＝225°， ∴∠ADH＝360°﹣（∠ADB+∠BDH）＝135°， ∴如图构造△ADH的外接圆⊙O，劣弧的圆周角为180°﹣∠ADH＝45°， ∴圆心角为45°×2＝90°，即∠AOH＝90°， ∴半径为，即⊙O是定圆， ∴点D的轨迹是以点O为圆心，半径为的上运动， 当OD⊥AH时，△ADH的面积最大，记此时D为D'， ∵OA＝OH，BA＝BH，∴OB垂直平分AH，∴点O，D，B三点共线， 记AH与OB的交点为G， ∵点P是AB上一动点，△D′BP沿D′B翻折得△BD'Q， ∴BP＝BQ，∠PBD'＝∠D'BQ， ∵等边三角形△ABH中，BO⊥AH，∴∠ABG＝∠HBG， ∴∠D′BQ＝∠D'BH，∴点Q在直线BH上， 当AQ'⊥BH时，AQ有最小值，即点Q'为BH中点，连接D'Q'，GQ'， ∵OB垂直平分AH，即点G为AH的中点，∴GQ'∥AB， ∴△GHQ'∽△AHB，∴由三角形中位线定理得：，∴， ∵，∴在Rt△ABG 中，， ∴，∴， ∵点G为等腰Rt△AOH斜边AH中点，∴， ∴， 过点Q'作Q'M⊥BG， ∵Q'M∥GH，∴△MBQ'∽△GBH， 又∵点Q'为BH中点，∴，∴，解得， ∴SΔAD'Q'＝S△ABH﹣S△ABQ'﹣SΔAD'G﹣S△GHQ﹣SΔGD'Q' ． 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B A B B C C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 1 12．4 13． 1+i 14． 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）【详解】（1）解：原式（2分） ＝3．（4分） （2）解： ，（6分） ∵a2﹣1≠0，a（a﹣1）≠0， ∴a≠1或a≠﹣1或a≠0，（7分） ∴当a＝2时， 原式．（8分） 17．（8分）【详解】解：（1）如图1所示，△ABD和△BCD是偏等积三角形；（2分） （2）如图2所示，△ABC和△DEF是偏等积三角形；（4分） （3）如图3所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H． ∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠HAC+∠DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°． ∴∠BAH＝∠DAC．（5分） 在△ABH和△ACD中，， ∴△ABH≌△ACD（AAS），∴BH＝CD，（6分） ∵S△ABEBH•AE，S△ACDAD•CD， ∵AE＝AD，CD＝BH， ∴S△ABE＝S△ACD，（7分） 又由图知，这两个三角形不全等， ∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．（8分） 18．（8分）【详解】解：【问题探究】 （1）作AG⊥BC于点G， ∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴BG＝CG＝5， 在Rt△ABG中，AG12， 则S△ABCBC•AG60；（2分） （2）连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB•DEAC•DF（DE+DF）＝60， 则DE+DF， 故答案为：；（3分） 【学以致用】 （1）把D（2，m）代入y得：m＝×2+，解得m＝3； ∴D（2，3），（4分） 设直线CD解析式为yx 将点C（6，0）和点D（2，3）代入yx得，解得 ∴直线CD解析式为yx；（5分） （2）过D作DG⊥AC于G，过P作PH⊥AC于H，连接AP， 当P在线段CD上时，如图： yx，令y＝0得x＝﹣2，∴A（﹣2，0）， ∵D（2，3），C（6，0），∴AC＝8，AD＝5，DG＝3，（6分） ∵S△ACD＝S△ADP+S△ACP，点P到直线AD的距离为2， ∴8•PH，解得PH， 即点P的纵坐标为：x，解得：x， ∴P（，）；（7分） 当P在线段CD延长线上时，如图： ∵S△ACD＝S△ACP﹣S△ADP，∴， 解得PH，同理可得：P（，）； 综上所述，P的坐标为（，）或（，）．（8分） 19．（10分）【详解】解：（1）B组人数为50﹣（9+15+6）＝20（人），（2分） 补全图形如下： （4分） 故答案为：20； （2）A组在扇形图中所占的百分比是1-28%-52%-16%=4%，360°×4%=14.4° 故答案为：14.4°（6分） （3）500×（52%+16%）＝340（人）， 答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数约为340人；（8分） （4）学期末比学期初有提高.（9分） 由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了， ∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高．（10分） 20．（10分）【详解】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴，OA＝OB， 根据垂径定理得：OC⊥AB，（2分） 在△ABD中，OA＝OB，AC＝CD，∴OC是△ABD的中位线，∴OC∥BD，（3分） ∵OC⊥AB，∴BD⊥AB，即BD⊥OB，（4分） 又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；（5分） （2）解：∵AO＝2，∴OC＝OB＝OA＝2，∴AB＝OA+OB＝4， ∵BD是⊙O的切线，OC⊥AB， ∴∠COE＝∠FBE＝90°，（6分） ∵点E是OB的中点，∴OE＝BE， 在△COE和△FBE中，， ∴△COE≌△FBE（ASA），（7分） ∴OC＝BF＝2， ∵∠FBE＝90°，∴△ABF是直角三角形， 由勾股定理得：AF，（8分） ∵AB是⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，即BH⊥AF， 由三角形面积公式得：S△ABFAF×BHAB×BF，（9分） ∴BH．（10分） 21．（9分）【详解】（1）∵∠QOC=∠KOG=90° ∴∠QOC-∠COK=∠KOG-∠COK 即∠QOK=∠GOC （3分） （2）①如图，过点P做PC⊥AB于点C，则四边形PCBQ是矩形， ∴PC=QB=12m， （4分） 在Rt△PCB中，∵∠CPB=22°，tan∠CPB， ∴BC=PCtan22°≈12×0.40=4.8m （5分） 在Rt△PCA中，∵∠CPA=37°，tan∠CPA， ∴AC=PCtan37°≈12×0.75=9m （7分） AB=AC+BC=9+4.8=13.8≈14m 答：旗杆AB的高度约为14m. （8分） ②测量时，测角仪到地面有一定距离，小明计算出的结果还要加上测角仪到地面的距离，才等于旗杆的高度.（9分） 22．（11分） 【详解】解：（1）已知（﹣1，0），（0，5）两点在函数y＝﹣x2+bx+c图象上，把（﹣1，0），（0，5）代入得：，（1分） 解得，∴此函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；（3分） （2）函数y＝﹣x2+4x+5的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C， 令y＝0，得：﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝5或﹣1， ∴B（5，0）（4分） 令x＝0，得：y＝5，∴C（0，5）， ∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴顶点A的坐标为（2，9），（5分） 平移后顶点坐标为（2，9﹣m）．（6分） 过点A作y轴的平行线交BC于点H，如图， 设直线BC的解析式为y＝kx+5，把点B的坐标代入得：5k+5＝0，解得k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，（7分） 当x＝2时，y＝3，∴H（2，3）， 函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9， 解得0＜m＜6；（8分） （3）b的值为2或．理由如下： 若c＝2b2，则y＝﹣x2+bx+2b2，∴函数的对称轴为直线， 当，即b≥0时， x＝0时，y取得最大值，即2b2＝8， 解得：b＝2或﹣2（不合题意，舍去）；（9分） 当，即﹣4＜b＜0时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（不合题意，舍去）；（10分） 当，即b≤﹣4时， x＝﹣2时，y取得最大值，即﹣（﹣2）2﹣2b+2b2＝8， 解得：b＝3（舍去）或﹣2（舍去）； 综上所述，b的值为2或．（11分） 23．（11分）【详解】解：（1）∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， 又∵BD平分∠ABC，∴， ∴∠BAC＝∠ABD＝30°，∴AD＝DB＝2，（1分） 在Rt△DBC中，， 由勾股定理得，， 在Rt△ABC中，；（2分） （2）.（3分） 证明如下：如图，连接ED，过点E作EK⊥AB， ∵AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形，∴EK为△AEB的中垂线，∴AK＝BK， 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，2BC＝AB， ∴AK＝BK＝BC，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°， 又∵∠EBD＝60°，∴∠EBK+∠KBD＝∠KBD+∠DBC＝60°，∴∠EBK＝∠DBC， 在△BEK和△BDC中，， ∴△BEK≌△BDC（ASA），（4分） ∴BE＝BD，∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝BD，∠BDE＝60°， 又∵DH⊥AB，∠BAC＝30°，∴∠ADH＝90°﹣∠BAC＝60°， ∴∠ADE+∠EDH＝∠EDH+∠HDB＝60°，∴∠ADE＝∠HDB， ∵AE＝BE，∴AE＝DE， 又∵EG⊥AD，∴AG＝GD，即，（6分） 在Rt△ADH中，∠HAD＝30°，，， ∴AG＝GD＝DH， 在△EGD和△BHD中，，∴△EGD≌△BHD（SAS）， ∴EG＝BH， ∵2BC＝AB，∴AH+BHEG＝2BC＝AB， 即；（7分） （3）如图，将BA绕点B逆时针旋转60°得BH，连接AH，DH， ∵BE＝BD，∠EBD＝60°，∴∠EBA+∠ABD＝∠ABD+∠DBH＝60°， ∴∠EBA＝∠DBH， 在△EBA和△DBH中，， ∴△EBA≌△DBH（SAS），∴∠AEB＝∠BDH， 又∵AB＝BH＝6，∠ABH＝60°，∴△ABH为等边三角形， ∴S四边形ADBE＝S△ABD+S△ABE＝S△ABD+S△BDH＝S△ABH﹣S△ADH， ∵△ABH的面积为定值，要使四边形ADBE的面积最小， ∴△ADH的面积为最大，（9分） ∵∠EAD＝75°，∴∠AEB+∠ADB＝360°﹣∠EAD﹣∠EBD＝225°， ∴∠ADB+∠BDH＝225°，∴∠ADH＝360°﹣（∠ADB+∠BDH）＝135°， ∴如图构造△ADH的外接圆⊙O，劣弧的圆周角为180°﹣∠ADH＝45°， ∴圆心角为45°×2＝90°，即∠AOH＝90°， ∴半径为，即⊙O是定圆， ∴点D的轨迹是以点O为圆心，半径为的上运动， 当OD⊥AH时，△ADH的面积最大，记此时D为D'，（10分） ∵OA＝OH，BA＝BH，∴OB垂直平分AH，∴点O，D，B三点共线， 记AH与OB的交点为G， ∵点P是AB上一动点，△D′BP沿D′B翻折得△BD'Q， ∴BP＝BQ，∠PBD'＝∠D'BQ， ∵等边三角形△ABH中，BO⊥AH，∴∠ABG＝∠HBG，∴∠D′BQ＝∠D'BH， ∴点Q在直线BH上， 当AQ'⊥BH时，AQ有最小值，即点Q'为BH中点，连接D'Q'，GQ'， ∵OB垂直平分AH，即点G为AH的中点，∴GQ'∥AB，∴△GHQ'∽△AHB， ∴由三角形中位线定理得：，∴， ∵，∴在Rt△ABG 中，， ∴，∴， ∵点G为等腰Rt△AOH斜边AH中点，∴， ∴， 过点Q'作Q'M⊥BG， ∵Q'M∥GH，∴△MBQ'﹣△GBH， 又∵点Q'为BH中点，∴，∴，解得， ∴SΔAD'Q'＝S△ABH﹣S△ABQ'﹣SΔAD'G﹣S△GHQ﹣SΔGD'Q' ．（11分） 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(8分) A 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) y A D A O d ⊙ D C 图1 图2 19.(10分) 学期初调查数据条形图 人数 2420 12 …6 0 D劳动时间 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) D H 21.(9分) 37 22 0 Q B 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) E B B E H A D A Q D D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[X][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 日 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D1 9.A1[B][C1[D1 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 11 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(8分) A 图1 图2 图3 D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) E A B D 图1 图2 19.(10分) 学期初调查数据条形图 人数 2420 5 12 9. 84 -6… 0 A B C D劳动时间 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) D 21.(9分) 旧 B 77 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) E B B E H B A A D A G D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在﹣3，，2，四个数中，最大的数是（　　） A．﹣3 B． C． D．2 2．下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C. D. 禁止驶入 两侧变窄 环岛行驶 两侧通行 3．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风5C液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风﹣5C液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 4．中国天宫空间站搭载的巡天空间望远镜，是航天员的“千里眼”，它未来计划对整个太空进行普查，预计发现数以亿计的天体，如果巡天望远镜最终发现了30600000000个天体，这个数字用科学记数法表示为（　　） A．3.6×1010 B．30.6×109 C．3.06×1010 D．3.06×109 5．已知a≠0，则下列运算错误的是（　　） A．3a﹣2a＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a2•a＝a3 D．a6÷a2＝a4 6．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　　） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 7．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 8．从﹣1，1，2这三个数中不重复地任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为（　　） A． B． C． D． 9．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是（1，1） B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．当x＞1时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数y＝x2的图象与函数的图象有3个不同的公共点 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+bx+c﹣5≥0的x的取值范围是x≤﹣3或x≥1．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知点P（2+a，3a﹣6）在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则a＝　 　 ． 12．公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝　 　 cm2． 13．我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（6+i）+（2﹣3i）＝（6+2）+（i﹣3i）＝8﹣2i． 根据上述材料，将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上，BE＝DF，M为EF的中点，点N在边AB上，∠AMN＝45°．若AB＝7，AM＝5，则MN的长为　 　 ． 15．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3）…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则y2026的值为　 　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值． 17．（8分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹． （2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形． （3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB＝∠DAE＝90°，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形． 18．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是线段BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求DE+DF的值． 他们用两种方法表示△ABC的面积： 方法一：如图，作AG⊥BC于点G，计算△ABC的面积． 解答过程如下：… 方法二：连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAC•DF． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出DE+DF＝　 　 ． 【学以致用】 如图2，直线y与x轴交于点A，且经过点D（2，m），已知点C的坐标为（6，0）． （1）求直线CD的解析式； （2）在直线CD上有一动点P，且点P到直线AD的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点P的坐标． 19．（10分）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（x＜2），B（2≤x＜3），C（3≤x＜4），D（x≥4）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 　 　 人，并补全条形图； （2）在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是 . （3）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数； （4）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长． 21.（9分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： （1）探究原理： 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆OP、量角器90°刻度线OC与铅垂线OG相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角∠QOK=∠GOC，请说明这两个角相等。 （2）实地测量： ①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为37°，测得旗杆底部B处的俯角为22°，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离QB为12米. 请用小红所测得的数据求旗杆AB的高度.（结果精确到1米. 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93 ，tan22°≈0.40） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为θ，则他由此计算出旗杆的高度为12 tanθ米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了1.5m，请你帮小明分析一下原因. 22．（11分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）， （1）若（﹣1，0），（0，5）两点在该函数图象上，求此函数的表达式； （2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3）若c＝2b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为8，直接写出b的值． 23．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝30°，点D在AC边上，BD平分∠ABC，AD＝2，求AB的长； （2）如图2，若∠BAC＝30°，点D在AC边上（点D不与点A，C重合），将射线BD绕点B顺时针旋转60°，在旋转后的射线上取一点E，连接AE，使得AE＝BE，过点E作EG⊥AC于点G，过点D作DH⊥AB于点H，探索线段BC，EG，DH之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点D在直线AB下方，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AD，AE，∠EAD＝75°，AB＝6，当四边形ADBE的面积取最小值时，在直线AB上取一点P，连接DP，将△DBP沿BD翻折到四边形ADBE所的平面内得到△BDQ，连接AQ，当AQ取最小值时，请直接写出△ADQ的面积． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $