专题03 等差数列的前n项和（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题03 等差数列的前n项和 题型一：等差数列前n项和基本量的计算 2 题型二：含绝对值的等差数列前n项和 3 题型三：等差数列奇偶项的和 3 题型四：等差数列片段和的性质 5 题型五：两个等差数列前n项和之比的问题 6 题型六：等差数列前n项和的最值问题 8 题型七：等差数列前n项和的应用 9 题型八：等差数列通项公式及前n项和的综合计算 10 题型一：等差数列前n项和基本量的计算 1．（湖南怀化市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）已知等差数列的前n项和为，则 ． 2．（2026·广东佛山·一模）设等差数列的前项和为.若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 3．（2026·安徽芜湖·一模）等差数列的前项和为，满足，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．9 B．27 C．36 D．45 5．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 题型二：含绝对值的等差数列的前n项和 6．（25-26高二上·云南楚雄·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 7．（25-26高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，则数列的前10项和为 . 9．（25-26高二上·天津武清·月考）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 10．（25-26高二上·山西临汾·月考）在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 题型三：等差数列奇偶项的和 11．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为 ． 12．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 13．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 14．（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 15．（24-25高二·全国·课堂例题）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 题型四：等差数列片段和的性质 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 18．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．60 B．50 C．90 D．70 19．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和，，，则 ． 20．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．154 B．164 C．186 D．196 题型五：两个等差数列前n项和之比的问题 21．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知，分别为等差数列，的前n项和， 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·广东广州·月考）等差数列与的前项和分别为和，若，那么 . 23．（25-26高二上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 . 24．（25-26高二上·广东惠州·期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型六：等差数列前n项和的最值问题 26．（2026高三·广东江苏·专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 27．（2026·浙江·一模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为 . 28．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 29．（24-25高二上·海南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 30．（24-25高三上·江西赣州·月考）已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 题型七：等差数列前n项和的应用 31．（25-26高三上·福建福州·期末）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（    ） A．7千克 B．6千克 C．5千克 D．4千克 32．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知某砖塔有15层．该塔底层（第一层）的底面面积为，所有层的底面面积之和为，且该塔自下而上每层底面面积依次构成递减的等差数列，则该塔自下而上数第6层的底面面积为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·重庆·期末）某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 34．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（   ） A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克 35．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 题型八：等差数列通项公式及前n项和的综合计算 36．【多选题】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 37．【多选题】（25-26高二上·湖南·期末）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为14 38．【多选题】（25-26高三上·山东聊城·期末）是等差数列的前项和，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D． 39．【多选题】（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 40．【多选题】（25-26高二上·河南许昌·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．成立的最大正整数的值为15 41．【多选题】（25-26高二上·吉林长春·期末）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为12 D．数列前项和为，最大 42．【多选题】（25-26高二上·河北·期末）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等差数列的前n项和 题型一：等差数列前n项和基本量的计算 2 题型二：含绝对值的等差数列前n项和 3 题型三：等差数列奇偶项的和 3 题型四：等差数列片段和的性质 5 题型五：两个等差数列前n项和之比的问题 6 题型六：等差数列前n项和的最值问题 8 题型七：等差数列前n项和的应用 9 题型八：等差数列通项公式及前n项和的综合计算 10 题型一：等差数列前n项和基本量的计算 1．（湖南怀化市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）已知等差数列的前n项和为，则 ． 【答案】1 【分析】设出首项和公差，结合题意建立方程组，求解首项即可. 【详解】设首项为，公差为，且， 可得，解得. 故答案为：1 2．（2026·广东佛山·一模）设等差数列的前项和为.若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，进而结合题意列出关于的方程解得，再根据通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 因为， 所以，即，解得， 所以 故选：B 3．（2026·安徽芜湖·一模）等差数列的前项和为，满足，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，满足， 所以，解得， 所以由，即，解得， 故选：C 4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．9 B．27 C．36 D．45 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式化简即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 则. 故选：D 5．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据等差数列的性质，即可求解； （2）首先求首项，再代入等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由等差数列的性质可知； （2）设等差数列的首项为，所以， 得， 所以. 题型二：含绝对值的等差数列的前n项和 6．（25-26高二上·云南楚雄·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 7．（25-26高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，数列是从第2项起以1为公差的等差数列，由此可求得数列的通项公式及； （2）根据数列的项的正负，分，和三种情况分析并求得. 【详解】（1）由题意，，， 则数列是从第2项起以1为公差的等差数列， 所以， 因此，当时， ； 当时，，符合， 故. （2）由（1），令，得，即当或时，； 当时，. 当时，； 当时，，符合； 当时，. 故. 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，则数列的前10项和为 . 【答案】52 【分析】先利用求出数列的通项公式，再根据通项公式求出的前10项和. 【详解】，当时，； 当时，满足上式；所以. 数列的前10项和为. 故答案为：52 9．（25-26高二上·天津武清·月考）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求解和，再根据等差数列定义求解通项公式； （2）计算前6项为正项，后4项为负项，再结合等差数列求和公式求解即可; （3）结合等差数列求和公式分类讨论和时数列的求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 由，得，即， 联立，解得，故， 所以. （2）由（1）知，若，解得， 故时，，时，， 所以， 又因为 所以数列的前10项和为. （3）由（2）知故，时，， 所以； 当时，， 所以 综上所述. 10．（25-26高二上·山西临汾·月考）在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入通项公式计算即可； （2）讨论时，，时，前3项取相反数求和，从第4项开始直接用原数列求和，利用等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 因为在等差数列中，， 所以，解得. 所以的通项公式为. （2）令，解得，令，解得. 当时，，则. 此时. 当时， 因此，的前项和 题型三：等差数列奇偶项的和 11．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列下标的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为前项的和是99，其中奇数项和， 所以偶数项和， ， 所以，所以由，解得， 因为， . 故答案为： 12．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质进行计算即可. 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 13．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列. 奇数项和为    ① 偶数项和为    ② 因为， 所以，解得. 所以，即等差数列的项数为21. 故选：A. 14．（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 15．（24-25高二·全国·课堂例题）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质及前和公式求解. 【详解】在等差数列中，设， 依题意，，解得， 而，， 所以. 故选：D 题型四：等差数列片段和的性质 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 17．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和的性质或基本量法均可求解. 【详解】方法一：因为是等差数列，前项和是， 所以仍成等差数列， 由，知 ，， 所以成等差数列，所以，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则， 所以，得，解得， 所以， 故选：D. 18．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．60 B．50 C．90 D．70 【答案】C 【分析】由等差数列的前项和性质进行求解． 【详解】成等差数列， 又， 所以，所以， 故选：C 19．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和，，，则 ． 【答案】24 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：24. 20．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．154 B．164 C．186 D．196 【答案】C 【分析】根据等差数列片段和的性质有成等差数列，再由等差中项的性质列方程求值. 【详解】由题知成等差数列， 所以，即，解得. 故选：C 题型五：两个等差数列前n项和之比的问题 21．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知，分别为等差数列，的前n项和， 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】由. 故选：C. 22．（25-26高一上·广东广州·月考）等差数列与的前项和分别为和，若，那么 . 【答案】 【分析】根据等差中项以及等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】因为与是等差数列，， 同理可得，且， 所以. 故答案为：. 23．（25-26高二上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 24．（25-26高二上·广东惠州·期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件设，，再利用和之间的关系即可求出. 【详解】因为，由已知条件不妨设， 所以. 故选：D. 25．（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和的公式特征，结合，可设，，得，再利用数列的前项和与通项的关系求出再计算即得. 【详解】因分别是等差数列的前项和，由， 可设，，则， 于是， ， 则. 故选：A. 题型六：等差数列前n项和的最值问题 26．（2026高三·广东江苏·专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等差数列通项公式可得公差，再利用等差数列前项和公式求解判断. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，则， 而，解得，则，， 由和，得，则， ，由，得数列单调递减，当时，， 则当时，，所以使得的的最小值为4051. 故选：B 27．（2026·浙江·一模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意确定且，再结合等差数列通项公式列出不等式即可求解. 【详解】因为是中的唯一最大项， 所以且， 即且，又， 解得， 即的取值范围为， 故答案为： 28．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 29．（24-25高二上·海南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 【答案】8 【分析】由等差数列的性质得到，公差，为递增数列，从而得到当时，取得最小值 【详解】由已知数列为等差数列，则，又，所以， 所以，数列为递增数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 30．（24-25高三上·江西赣州·月考）已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据条件可知，，列出不等式组得出，得，即可求使得的的最大值， 【详解】设的公差为，由题意得， 即，解得， 即， ∴， 所以 由，解得，即的最大值为. 故选：C. 题型七：等差数列前n项和的应用 31．（25-26高三上·福建福州·期末）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（    ） A．7千克 B．6千克 C．5千克 D．4千克 【答案】C 【分析】设等差数列的首项和公差，根据已知条件列出不等式，再结合总质量求出首项的最小值，进而得到最重盒子质量的最小值. 【详解】依题意设十个盒子的质量构成的等差数列为，首项为，公差为（）， 则这十个盒子的质量分别为：， 则前三位盒子总质量为：， 后三位盒子总质量为：， 依题意可得：，化简得：， ，即， 由，且， 所以，有，解得， 又因为是关于的减函数， 当取最大值时，取得最小值，. 故选：C. 32．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知某砖塔有15层．该塔底层（第一层）的底面面积为，所有层的底面面积之和为，且该塔自下而上每层底面面积依次构成递减的等差数列，则该塔自下而上数第6层的底面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为且，且，，由等差数列的前n项和公式求基本量，再由等差数列的通项公式求第6层的底面面积. 【详解】设等差数列的公差为，且，由题意得，， 而，可得，则解得， 故. 故选：B 33．（25-26高二上·重庆·期末）某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 【答案】(1)322 (2)12 【分析】（1）根据等差数列前项和公式计算即可. （2）根据等差数列前项和公式列不等式求解即可. 【详解】（1）设第一排原有个座位，由题意可知，解得. 故该体育场观众席第一排原有322个座位. （2）由（1）知，第一排原有322个座位，则改造后第一排的座位数为个. 因为改造后为12排，且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律， 所以改造后第12排的座位数为个. 所以改造后的总座位数为. 由题意知，解得. 因为为整数，所以的最小值为12. 34．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（   ） A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克 【答案】C 【分析】设等差数列的首项和公差，根据已知条件列出不等式，再结合总质量求出首项的最小值，进而得到最重盒子质量的最小值. 【详解】依题意设十个盒子的质量构成的等差数列为，首项为，公差为（）， 则这十个盒子的质量分别为：， 则前三位盒子总质量为：， 后三位盒子总质量为：， 依题意可得：，化简得：， ，即， 由，且， 所以，有，解得， 又因为是关于的减函数， 当取最大值时，取得最小值，. 故选：C. 35．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式列式，再利用单调性确定答案. 【详解】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和， 则，显然数列是递增数列， ，由，得， 所以该会场的座位至少有21排. 故选：B 题型八：等差数列通项公式及前n项和的综合计算 36．【多选题】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 【答案】ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，B，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解判断C，D. 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，当时，取得最大值，C选项正确； 所以数列是首项，的等差数列，A选项正确； ，则，B选项错误； ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为，D选项正确. 故选：ACD 37．【多选题】（25-26高二上·湖南·期末）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为14 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意可得，，由，即可判断；对于B，结合A，可得，从而得，即可判断；对于C，由题意等差数列单调递减，且，，即可判断；对于D，由B可知，从而可得，结合，即可判断. 【详解】对于A，因为，即， 所以，又因为， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，， 所以，所以，故B错误； 对于C，由题意等差数列单调递减，且，， 即数列的前7项为正，从第8项起为负，所以最大， 即取得最大值时，，故C正确； 对于D，由B可知，所以 ， 所以，且， 所以成立的最大整数为14，故D正确. 故选：ACD. 38．【多选题】（25-26高三上·山东聊城·期末）是等差数列的前项和，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，根据等差数列的前项和公式和性质求解判断即可；对于B，设等差数列的公差为，求出，利用二次函数的性质进行判断；对于CD，利用B选项求出的进行判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 根据等差数列的性质，若，则， 所以，即，故，A正确； 对于B，设等差数列的公差为，由A选项可知，， 则，所以，所以， 所以， 当时，无最大值，故B错误； 对于C，， 又，所以，C错误； 对于D，， ，所以，故D正确； 故选：AD 39．【多选题】（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 【答案】BCD 【分析】由已知结合等差数列的项与和的性质推出，，即得，，由此可判断每个选项的正误即可. 【详解】由，可得，即， 又由，，即， 得，且，则， 所以，所以的最大值为，无最小值. 且数列中最小， 故B，C，D均正确，A错误. 故选：BCD. 40．【多选题】（25-26高二上·河南许昌·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．成立的最大正整数的值为15 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质可得，进而求得，再结合等差数列前项和公式及性质逐一判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 则，即，因此， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，等差数列是首项为正，公差为负的递减等差数列， 且是开口向下的二次函数，无最小值，C错误； 对于D，由选项C知，，当时，，当时，， 因此成立的最大正整数的值为15，D正确. 故选：AD 41．【多选题】（25-26高二上·吉林长春·期末）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为12 D．数列前项和为，最大 【答案】ABD 【分析】根据题意得，可判断AB；可判断C；求出，令，数列为递减数列，求得，，可判断D. 【详解】因为等差数列中，， 所以， 又，所以，故A正确； 因为当时，，当时，， 所以的最大值为，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，所以， 令，所以数列为递减数列， ，. 由得 ， 所以数列的前项和最大时，， 即数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD. 42．【多选题】（25-26高二上·河北·期末）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】设等差数列的公差为，由结合通项公式可得，再借助等差数列的性质及前项和逐项分析判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，，由，得， 即，因此，， 对于A，由，得，若，数列单调递增， 则，矛盾，因此，A正确； 对于B，由，得，则，， 而，则，，B正确； 对于C，由，得，而，则与异号， ，而的正负不确定，因此的符号不确定，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：AB 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $