专题02 等差数列的概念及其通项公式（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题02 等差数列的概念及其通项公式 题型一：等差数列的判断 2 题型二：通项公式的基本计算 3 题型三：等差中项的应用 3 题型四：等差数列的证明 5 题型五：等差数列性质的应用 6 题型六：等差数列的实际应用题 8 题型七：等差数列的单调性 9 题型一：等差数列的判断 1．（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·辽宁·模拟预测）“数列满足”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．【多选题】（25-26高二上·安徽滁州·月考）若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列是公差为的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 4．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 5．（25-26高二上·广西·月考）对于数列，设甲：，对任意，，乙：为等差数列．则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：通项公式的基本计算 6．（2025高三·全国·专题练习）若等差数列的各项非零，且，则的值为 ． 7．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知等差数列前三项的和为，则的公差为（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 8．（2026·河北·模拟预测）已知等差数列满足，则 ． 9．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知为等差数列，，则的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 10．（2026·河南南阳·模拟预测）记等差数列的公差为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：等差中项的应用 11．（25-26高二上·四川·期末）若成等差数列，则正数的值为 . 12．（25-26高二上·天津西青·期末）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 13．（2026·湖南长沙·三模）已知，若在之间插入3个数，使得这5个数成等差数列，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 14．（25-26高二上·云南昭通·期末）在2和10中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数依次为 ． 15．（25-26高二上·北京·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（   ） A． B． C．9 D．5 题型四：等差数列的证明 16．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 17．（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足：，，若数列满足：，求解下列问题. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的通项公式. 18．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 19．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 20．（2025高二上·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，.证明：数列为等差数列. 题型五：等差数列性质的应用 21．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知数列为等差数列，，，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 22．（25-26高二上·福建泉州·月考）在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 23．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 . 24．（25-26高二上·河南周口·月考）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，且满足 ，数列是等差数列，则 ． 25．（25-26高三上·北京·月考）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．27 B．18 C．6 D．3 题型六：等差数列的实际应用题 26．（24-25高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 27．（24-25高三上·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 28．（2024·四川绵阳·三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 29．（2024·河南郑州·模拟预测）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ） A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺 30．（24-25高二上·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 题型七：等差数列的单调性 31．【多选题】（25-26高二上·安徽安庆·期末）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 32．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．【多选题】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 34．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列的概念及其通项公式 题型一：等差数列的判断 2 题型二：通项公式的基本计算 3 题型三：等差中项的应用 3 题型四：等差数列的证明 5 题型五：等差数列性质的应用 6 题型六：等差数列的实际应用题 8 题型七：等差数列的单调性 9 题型一：等差数列的判断 1．（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可. 【详解】若成立，则，符合等差数列的定义， 所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立. 若数列是等差数列,设其公差为，则,. . 所以, 所以.即必要性成立. 所以甲是乙的充分必要条件. 故选：A. 2．（2026·辽宁·模拟预测）“数列满足”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，以及充分不必要条件的概念，判断结果. 【详解】由，可得， 当时，可得，由等差数列定义可知数列是以为公差的等差数列， 当为等差数列且公差为时，不满足， 所以“数列满足”是“为等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3．【多选题】（25-26高二上·安徽滁州·月考）若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列是公差为的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的定义逐项判断. 【详解】选项A，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故A正确； 选项B，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故B正确； 选项C，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故C不正确 选项D，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故D正确． 故选：ABD 4．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析. (2) (3)是数列中的项，是第5项，理由见解析. 【分析】（1）将原等式进行变形，根据等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）中的数列是等差数列先求出其通项公式，进而可求得结果. （3）若是数列中的项，则是数列中的项，然后代入数列的通项公式中求出即可. 【详解】（1）数列是等差数列，理由： 因为数列满足：，，所以. 所以，所以数列是等差数列. （2）由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3， 所以，所以. 所以. （3）若是数列中的项，则是数列中的项， 令，则，解得. 所以是数列中的第5项. 5．（25-26高二上·广西·月考）对于数列，设甲：，对任意，，乙：为等差数列．则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如通项公式为的数列，满足，不是等差数列； 反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 题型二：通项公式的基本计算 6．（2025高三·全国·专题练习）若等差数列的各项非零，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设的公差为，则，即． 令，从而． 故答案为：. 7．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知等差数列前三项的和为，则的公差为（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【详解】由等差数列前三项的和为，得，解得， 又，所以的公差. 故选：D 8．（2026·河北·模拟预测）已知等差数列满足，则 ． 【答案】8 【分析】设等差数列的公差为，由已知可得，进而计算可求. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 所以，所以； 所以. 故答案为：. 9．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知为等差数列，，则的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为. 因为， 所以，即，解得. 故选：C 10．（2026·河南南阳·模拟预测）记等差数列的公差为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列通项公式，结合已知等式及不等式，列出关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】在等差数列中，由，得， 整理得，由，得，因此， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 题型三：等差中项的应用 11．（25-26高二上·四川·期末）若成等差数列，则正数的值为 . 【答案】 【分析】根据等差中项的定义列关系式，再利用对数的运算法则以及对数函数的性质化简求出. 【详解】由题意可知，且， 则，则，得. 故答案为： 12．（25-26高二上·天津西青·期末）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 13．（2026·湖南长沙·三模）已知，若在之间插入3个数，使得这5个数成等差数列，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为成等差数列， 所以，可得， 所以， 故选：B 14．（25-26高二上·云南昭通·期末）在2和10中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数依次为 ． 【答案】 【分析】设所求三个数依次为，则成等差数列，根据等差中项列方程组求解即可. 【详解】设所求三个数依次为，则成等差数列， 因此，解得，，． 故答案为：． 15．（25-26高二上·北京·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（   ） A． B． C．9 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，由等差数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由数列为等差数列，可得， 因为，所以，所以. 故选：B. 题型四：等差数列的证明 16．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】(1)对递推式进行同除变形，构造出新数列，通过证明其相邻两项的差为常数，从而证明该数列为等差数列. (2)先由第一问的结论求出原数列的通项，再对通项的倒数裂项，用裂项相消法求和，最后通过放缩证明和式小于. 【详解】（1）已知，两边同时除以，得：， 令，则上式可写为：，则是公差为的等差数列， 首项，因此，数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由上一小问可知，即：， 因此， 对和式进行裂项相消：， 继续化简可得， 因为，所以，即. 17．（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足：，，若数列满足：，求解下列问题. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对取倒数，再由，根据等差数列的定义求证即可. （2）由（1）可求数列的通项公式，再由即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 18．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 19．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 【答案】证明见解析 【分析】由得到，结合等差数列定义即可得证. 【详解】证明：因为，由和数学归纳法可知，对任意正整数，都有， 由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列. 20．（2025高二上·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，.证明：数列为等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，根据等差中项法即可判断其是等差数列. 【详解】由， 当时，， 两式相减得， 即，① 则，② 由①②整理得，， 所以； 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足， 所以对于均成立， 故数列为等差数列，且首项为，公差为. 题型五：等差数列性质的应用 21．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知数列为等差数列，，，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列下标和的性质求解. 【详解】因为是等差数列，，所以， 所以， 故选：C. 22．（25-26高二上·福建泉州·月考）在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【分析】根据韦达定理求得，由等差数列的性质可得的值. 【详解】因为，为方程的两根，所以. 又数列是等差数列，所以. 故选：C. 23．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 . 【答案】2026 【分析】先由对数运算法则求出，再由等差数列下标性质即可计算求解. 【详解】由题意， 因为是等差数列，所以， 所以. 故答案为： 24．（25-26高二上·河南周口·月考）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，且满足 ，数列是等差数列，则 ． 【答案】 【分析】根据题中条件和等差数列的性质可得，即可根据是等差数列，得求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以， 即， 化简得：， 即， 又因为，所以，解得， 则， 又因为数列是等差数列， 所以，即， 所以． 故答案为： 25．（25-26高三上·北京·月考）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．27 B．18 C．6 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求得，根据均值不等式，求得当时，取得最小值，从而可得答案． 【详解】在等差数列中，设公差为， 由得 根据基本不等式，有， 当且仅当即，即时， 取得最小值， 故． 故选：D 题型六：等差数列的实际应用题 26．（24-25高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D 27．（24-25高三上·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 28．（2024·四川绵阳·三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【答案】B 【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得. 【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得, 故选：B. 29．（2024·河南郑州·模拟预测）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ） A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺 【答案】D 【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出春分的日影长. 【详解】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故春分的日影长为12.5尺. 故选：D 30．（24-25高二上·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 【答案】 【分析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，根据题意得到方程组，解得答案. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，， 则根据题意有， 解得，所以戊所得为. 故答案为：. 题型七：等差数列的单调性 31．【多选题】（25-26高二上·安徽安庆·期末）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【答案】AB 【分析】由，计算即可判断A；求出，利用配方法得：，即可判断数列是递增数列；由，得数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增，即可判断C D. 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 32．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 33．【多选题】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【分析】选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数. 【详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 34．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析公差三种情况，当时无最大值，当时， 不一有最大值，即可得出论. 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 35．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $